借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

吳秀蘭

(江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)坂上初級(jí)中學(xué) 213100)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重借助實(shí)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)其參與到數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中，使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、得出結(jié)論，如此不僅能很好地提升其學(xué)習(xí)體驗(yàn)，而且可以留下深刻印象，更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的外延.尤其對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)結(jié)論教學(xué)中，借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，更容易使學(xué)生搞清楚結(jié)論成立的條件以及適用的問題情境，避免其死記硬背，張冠李戴.

1 情境鋪墊

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，尤其有關(guān)二次函數(shù)圖像方面的知識(shí)是日常測(cè)試以及中考的熱門考點(diǎn).為加深學(xué)生對(duì)二次函數(shù)圖像的認(rèn)識(shí)，并能以二次函數(shù)圖像為基礎(chǔ)，掌握特殊函數(shù)圖像的畫法，提高運(yùn)用數(shù)形結(jié)合知識(shí)解題的意識(shí)與能力，課堂上為學(xué)生展示如下情境：

運(yùn)用多媒體技術(shù)為學(xué)生展示二次函數(shù)y=x2-2x+3，要求學(xué)生回答以下問題：求該二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱軸；判斷方程x2-2x+3=0是否有實(shí)數(shù)根；畫出二次函數(shù)的圖像.學(xué)生積極聯(lián)系所學(xué)對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行變形可得y=x2-2x+1+2=(x-1)2+2，可以看到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，對(duì)稱軸為直線x=1.對(duì)于方程x2-2x+3=0，因Δ=4-4×3=-8<0，因此，該方程并沒有實(shí)數(shù)根.令x=0，可得y=3，其關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)，由此，不難畫出y=x2-2x+3的圖像.

課堂上要求學(xué)生回答上述問題，既鞏固其所學(xué)的二次函數(shù)圖像知識(shí)，又能為接下來(lái)的實(shí)驗(yàn)開展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

2 實(shí)驗(yàn)開展

實(shí)驗(yàn)情境一：待學(xué)生畫出二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖像后，提出以下實(shí)驗(yàn)問題，要求學(xué)生思考、探究：畫出-y=x2-2x+3的圖像，思考其和二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖像有什么關(guān)聯(lián)？你能得出什么結(jié)論？

對(duì)-y=x2-2x+3進(jìn)行變形得到y(tǒng)=-(x2-2x+3)=-(x-1)2-2，顯然其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-2)，圖像和y軸的交點(diǎn)為(0，-3)，該點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為(-2，-3)，由此學(xué)生不難畫出該二次函數(shù)的圖像.

而后要求學(xué)生將兩個(gè)函數(shù)圖像放在同一平面直角坐標(biāo)系中，觀察兩個(gè)函數(shù)圖像的聯(lián)系.學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真觀察與討論容易得出兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱.

實(shí)驗(yàn)情境二：課堂上給學(xué)生展示二次函數(shù)y=x2+2x+3，要求學(xué)生畫出該二次函數(shù)圖像，思考其與y=x2-2x+3圖像、-y=x2-2x+3圖像之間的聯(lián)系.同樣y=x2+2x+3=(x+1)2+2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，2)，對(duì)稱軸為直線x=-1，圖像和y軸的交點(diǎn)為(0，3)，其關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為(-2，3)，則容易畫出其圖像.

觀察可知二次函數(shù)y=x2+2x+3的圖像和二次函數(shù)y=x2-2x+3圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，和-y=x2-2x+3的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

實(shí)驗(yàn)情境三：在屏幕上展示y=x2-2|x|+3，要求學(xué)生聯(lián)系所學(xué)，結(jié)合上述情境積累的經(jīng)驗(yàn)畫出其圖像，思考該函數(shù)圖像的對(duì)稱軸是哪一條直線？

因該二次函數(shù)中帶有絕對(duì)值，結(jié)合所學(xué)的絕對(duì)值知識(shí)可知，x的正負(fù)不確定.因此，需要進(jìn)行分類討論，即，當(dāng)x≥0時(shí)，y=x2-2x+3；當(dāng)x<0時(shí)，y=x2+2x+3，則該函數(shù)的圖像是由兩個(gè)函數(shù)圖像構(gòu)成，分別取y=x2-2x+3圖像中x≥0的部分和y=x2+2x+3圖像中x<0的部分，得出其圖像.由圖可清晰地看到，函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

實(shí)驗(yàn)情境四：已知方程x2-2|x|+3=t，探討該方程根的個(gè)數(shù).解答該題可采用轉(zhuǎn)化思想，將其看成：y=x2-2|x|+3，y=t兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程根的個(gè)數(shù).由圖像可知函數(shù)的最小值為y=2，其和y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3.顯然其分以下四種情況：

當(dāng)t<2時(shí)，方程x2-2|x|+3=t無(wú)實(shí)根；當(dāng)t=2或t>3時(shí)方程x2-2|x|+3=t有兩個(gè)實(shí)根；當(dāng)t=3時(shí)，方程x2-2|x|+3=t有三個(gè)實(shí)根；當(dāng)2

實(shí)驗(yàn)情境五：畫出函數(shù)y=|x2-2x+3|的圖像，思考其與y=x2-2x+3圖像有什么關(guān)系？為什么？

學(xué)生通過畫圖探究，不難回答提出的問題.因二次函數(shù)y=x2-2x+3的開口向上且最小值為2.無(wú)論x取任何的實(shí)數(shù)，y>0均成立，則函數(shù)y=|x2-2x+3|的圖像和函數(shù)y=x2-2x+3圖像相同.

繼續(xù)拋出如下問題，要求學(xué)生思考探究：二次函數(shù)y=x2-2x是由二次函數(shù)y=x2-2x+3怎樣移動(dòng)而來(lái)？分別畫出二次函數(shù)y=x2-2x和y=|x2-2x|的圖像.由二次函數(shù)圖像平移規(guī)律可知，要想得到二次函數(shù)y=x2-2x需要將二次函數(shù)y=x2-2x+3上的各點(diǎn)向下平移三個(gè)單位.令x2-2x=0，可得x1=0，x2=2，可知該函數(shù)圖像和x軸的交點(diǎn)分別為(0，0)，(2，0)且對(duì)稱軸為直線x=1，如此便不難畫出其圖像.但是怎樣畫出函數(shù)y=|x2-2x|的圖像呢？

圖1

課堂訓(xùn)練：實(shí)踐中為檢驗(yàn)學(xué)生是否真正地理解實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，課堂上展示如下習(xí)題，要求學(xué)生思考作答：

已知關(guān)于x的方程|x2+ax|=4有4個(gè)不相等的實(shí)根，則a的取值范圍是( ).

A.a<-4或a>4 B.a=4或a=-4

C.-4

解答該題可先畫出函數(shù)y=x2+ax的圖像，而后將y<0部分以x軸為對(duì)稱軸翻折到x軸上方，畫出函數(shù)y=|x2+ax|圖像， 觀察圖像可得選擇A項(xiàng).從解題過程來(lái)看，學(xué)生只有真正地吃透數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容以及實(shí)驗(yàn)結(jié)論，才能迅速找到解題思路.通過該課堂訓(xùn)練習(xí)題，可暴露出學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的不足，啟發(fā)其結(jié)合自身實(shí)際情況及時(shí)查漏補(bǔ)缺.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)論及教學(xué)啟示

3.1 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)論

課堂上組織學(xué)生開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，得出以下結(jié)論：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)，使用“-x”替換其中的“x”得到二次函數(shù)y=ax2-bx+c，兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；使用“-y”替換其中的“y”得到二次函數(shù)y=-ax2-bx-c，兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；使用“-x”、“-y”替換其中的“x”、“y”得到二次函數(shù)y=-ax2+bx-c，兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；圖像中y>0的部分和二次函數(shù)y=|ax2+bx+c|圖像一樣.圖像中y<0的部分需要將其關(guān)于x軸對(duì)稱得到y(tǒng)=|ax2+bx+c|圖像；判斷方程根的個(gè)數(shù)的問題時(shí)可采用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合方程特點(diǎn)，將其拆分成兩個(gè)函數(shù)，參考上述結(jié)論畫出函數(shù)圖像.圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程根的個(gè)數(shù).

3.2 借助數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的啟示

其一，做好實(shí)驗(yàn)鋪墊.為使學(xué)生做好數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的心理以及知識(shí)準(zhǔn)備，在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)之前應(yīng)做好鋪墊，注重從學(xué)生熟悉的知識(shí)切入，創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問題情境，更好地激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的興趣與積極性.在鋪墊環(huán)節(jié)應(yīng)注重設(shè)計(jì)問題，要求學(xué)生積極聯(lián)系所學(xué)思考作答，使其主動(dòng)地回顧已學(xué)知識(shí)，為實(shí)驗(yàn)的開展埋下伏筆.

其二，注重循序漸進(jìn).設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)注重遵循學(xué)生的認(rèn)知、學(xué)習(xí)規(guī)律，合理把握數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題的難度，循序漸進(jìn)，逐步深入，如此可避免學(xué)生出現(xiàn)畏難情緒，使其以高漲的熱情投入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中.實(shí)踐中按照由易到難的原則設(shè)計(jì)問題要求學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、探究，很好地滿足了學(xué)生的心理預(yù)期，尤其當(dāng)學(xué)生得出正確的探究結(jié)論時(shí)，成就感油然而生，在課堂上表現(xiàn)得更為積極、活潑.不僅如此，在完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后要設(shè)計(jì)課堂訓(xùn)練習(xí)題，要求學(xué)生作答進(jìn)一步夯實(shí)其所學(xué).

其三，給予啟發(fā)、引導(dǎo).對(duì)于部分學(xué)生而言圍繞實(shí)驗(yàn)開展深度學(xué)習(xí)活動(dòng)可能具有一定難度.為保證學(xué)生向著正確的方向思考問題，降低其實(shí)驗(yàn)探究難度，提高數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的成功率.學(xué)生實(shí)驗(yàn)過程中，教師應(yīng)注重走下講臺(tái)了解學(xué)生的探究進(jìn)度、探究思路，必要情況下使用多媒體技術(shù)給予引導(dǎo)，或者提出問題給予啟發(fā)，使其能夠頓悟，及時(shí)調(diào)整探究思路.

其四，重視實(shí)驗(yàn)總結(jié).完成數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)后應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生做好實(shí)驗(yàn)結(jié)論的總結(jié)，使其在以后解答相關(guān)數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)能夠靈活應(yīng)用，提高解題效率.同時(shí)，要求學(xué)生思考，實(shí)驗(yàn)結(jié)論的使用情境以及應(yīng)用結(jié)論時(shí)應(yīng)注意哪些細(xì)節(jié)等.實(shí)踐中專門給學(xué)生預(yù)留實(shí)驗(yàn)總結(jié)時(shí)間，并鼓勵(lì)學(xué)生相互交流心得，交換課堂筆記等，確保總結(jié)的內(nèi)容能夠涵蓋所有實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，避免有知識(shí)上的漏洞.