助力探究 揭示本質(zhì)
——“用二分法求方程的近似解”教學(xué)實(shí)錄與反思

張國良 (江蘇省武進(jìn)高級中學(xué) 213149)

1 基本情況

1.1 授課對象

高一學(xué)生已初步理解了函數(shù)圖象與方程解之間的關(guān)系，具備用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的能力，這為理解函數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值符號提供了知識儲備．雖然學(xué)生熟悉一元二次方程解與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，但對于一元高次方程、超越方程與對應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)之間的聯(lián)系還比較模糊．另外，學(xué)生對計算器的使用不夠熟練，這些都給學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容造成一定困難．

1.2 教材分析

本節(jié)課是《普通高中教科書·數(shù)學(xué)》(蘇教版)必修第一冊第8章“8.1二分法求方程近似解”第2課時，要求學(xué)生能夠借助計算器或計算機(jī)用二分法求方程的近似解，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系．用二分法求方程的近似解既是本冊書中的內(nèi)容，又是對函數(shù)知識的拓展，既體現(xiàn)了函數(shù)在解方程中的重要應(yīng)用，同時又滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的圖形能力、判斷能力以及利用現(xiàn)代信息技術(shù)解決問題的能力．

教學(xué)目標(biāo) (1)能夠借助計算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法；(2)掌握用二分法求方程近似解的操作流程，感受信息技術(shù)的優(yōu)越性；(3)通過探究活動，體會數(shù)學(xué)的“逼近”思想，感受精確與近似的相對統(tǒng)一．

其實(shí)江大亮跑到對面的布拉格維申斯克經(jīng)商做買賣并不是心血來潮，大凡在黑河市做生意的都有長期護(hù)照，時不時的跑到人家的城市里觀觀光，撒撒野，是常有的事兒，就像是家常便飯一樣。人啊，真是沒有時不好說，過去老實(shí)巴腳的江大亮，在黑河做了幾年生意后心也活泛了，到那邊看看艷舞，到賭城里過把癮，找個模特般的俄羅斯美女開開葷，江大亮也不是沒干過，更何況肖點(diǎn)點(diǎn)的表姐早在兩年前就跑到那里做生意了，江大亮在肖點(diǎn)點(diǎn)表姐的店里考察了十多天，這一考察不要緊，真就讓他動心了，那邊的生意比咱們這邊好做得多，除了房租貴一點(diǎn)外，什么各種收費(fèi)，什么行政管理部門都比咱們這里少得多，江大亮一咬牙一跺腳就跑到布拉格維申斯克了。

教學(xué)重點(diǎn) 利用二分法求方程的近似解．

教學(xué)難點(diǎn) 二分法求方程近似解的操作流程．

2 教學(xué)過程

2.1 情境體驗(yàn)，感受思想

讓學(xué)生展示自己的解決策略，師生共同完成前三次的計算，組織同桌的兩位學(xué)生合作，一人計算，一人記錄，完成后面的計算過程，并展示學(xué) 生的成果．在此過程中教師借助幾何畫板顯示這個實(shí)數(shù)解的范圍逐步縮小，直觀形象地體現(xiàn)出二分法的思想(圖2)．通過這種活動來創(chuàng)造探究 機(jī)會，促進(jìn)學(xué)生主動探究，并注重學(xué)生參與、探究的實(shí)效，在提出問題、建構(gòu)數(shù)學(xué)、解決問題方面進(jìn)行有意識的引導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神與協(xié)作能力．

行文至此，想起李長吉的《金銅仙人辭漢歌》的詩句“憶君清淚如鉛水”?！敖疸~仙人”的“淚”，大概正是李長吉的“那一剎那的感覺”。是什么形成的他的感覺，是“東關(guān)酸風(fēng)射眸子”。這令人心酸的風(fēng)，看似射向了金銅仙人，實(shí)則是射向了李長吉。這與華君武由于枯燥的發(fā)言形成的他的“那一剎那”的“蒼老”的感覺，何其相似乃耳。這是人人都會遇到的常情常態(tài)，又何獨(dú)厚于畫家詩人?？蛇@“感覺”對常人來說，只是曇花一現(xiàn)，“感”過也就算了?？僧嫾以娙?，卻能杯水生波，令人玩味不盡，換言之，亦即藝術(shù)魅力，審美愉悅。

1061 隱源性腦卒中合并卵圓孔未閉患者的臨床特點(diǎn)分析 姜 樂，沈紅健，沈 芳，張 萍，吳 濤，鄧本強(qiáng)

計算機(jī)隨機(jī)給定10～90之間的二位整數(shù)，讓學(xué)生猜這個數(shù)，對于每次猜測的結(jié)果，計算機(jī)的提示是“對了”或“大了”或“小了”(圖1)．

水牛是一種能高效利用低質(zhì)粗纖維飼料的動物[1]，并由于其具有抗寄生蟲性能好、牛犢生長期短、肉質(zhì)良好，乳量豐富等特點(diǎn)，因此水牛的養(yǎng)殖一直備受青睞。

2.2 師生討論，理解感悟

師：只要給出一個不超出該范圍的整數(shù)，采用正確的方法，都可以在7次以內(nèi)猜中，你們是否可以做到？

師：為什么采用正確的方法，7次以內(nèi)一定能猜中？

學(xué)生討論并回答．

師：上述猜數(shù)游戲中，每次猜數(shù)都將所給區(qū)間一分為二，進(jìn)行比較后得到新的區(qū)間，再一分為二，進(jìn)而使得所猜數(shù)逐步逼近計算機(jī)給出的數(shù)，這種思想就是二分法．

師：在游戲活動中我們也能學(xué)到很多知識，下面請同學(xué)們再舉例說明二分法的一些應(yīng)用．

生：輸電線路的故障檢測等．

師：我們今天就來一起研究用二分法求方程的近似解．

師：若精確到0.1呢？算幾次就可以了？

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程實(shí)數(shù)解的有關(guān)問題，如方程x2+3x-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，那么你能知道方程x3+3x-1=0的實(shí)數(shù)解的情況嗎？近似解呢？

2.3 活動探究，課堂建構(gòu)

師：請同學(xué)們對這個三次方程的實(shí)數(shù)解提出一些問題．

生1：該方程有無實(shí)數(shù)解？

黨的十九大報告指出：必須增強(qiáng)群眾工作本領(lǐng)，創(chuàng)新群眾工作體制機(jī)制和方式方法。邁進(jìn)新時代，面對新矛盾，做好群眾工作既要繼承傳統(tǒng)，又要務(wù)實(shí)創(chuàng)新；既要適應(yīng)新形勢新任務(wù)的要求，又要研究和把握新形勢下群眾工作的新特點(diǎn)新規(guī)律。各級黨員干部要以高度的政治責(zé)任感，在深入群眾、聯(lián)系群眾、宣傳群眾、組織群眾、服務(wù)群眾、團(tuán)結(jié)群眾中，不斷提高做好群眾工作的能力水平。

生2：該方程若有實(shí)數(shù)解，有幾個？

生3：這個實(shí)數(shù)解大概是多少？

利用計算器，求方程lgx=3-x的一個近似解．(精確到0.1)

通過對比分析四種不同槳葉結(jié)構(gòu)的攪拌槳在混合室內(nèi)示蹤劑擴(kuò)散云圖(圖2)可以發(fā)現(xiàn)，隨著時間的增加，示蹤劑的整體擴(kuò)散趨勢相同，與流場運(yùn)動規(guī)律相似，在0 s時將料液加入底部循環(huán)流范圍，在2 s、4 s時可以看出示蹤劑向混合室頂部擴(kuò)散，說明混合室底部以軸向速度為主。在2 s時5葉片和6葉片攪拌槳的混合室內(nèi)示蹤劑擴(kuò)散范圍相比3葉片和4葉片更大，在t=6 s時5葉片和6葉片攪拌槳的混合室內(nèi)NaCl已基本擴(kuò)散完成，綜合四種結(jié)構(gòu)的NaCl在t=4 s時的擴(kuò)散云圖，得到NaCl擴(kuò)散速度由快到慢依次為5葉片>6葉片>4葉片>3葉片。

生5：如何獲得方程x3+3x-1=0的近似解？

記f(x)=x3+3x-1，設(shè)方程x3+3x-1=0的實(shí)數(shù)解為x0，則x0∈(0,1)．

引導(dǎo)學(xué)生思考：還可以通過函數(shù)的單調(diào)性知道該方程只有一個實(shí)數(shù)解．

師：這個實(shí)數(shù)解在區(qū)間(0,1)內(nèi)，能否更精確些？

……

第四次：f(0.312 5)<0,f(0.375)>0

第一次：f(0)<0,f(0.5)>0

第二次：f(0.25)<0,f(0.5)>0

第三次：f(0.25)<0,f(0.375)>0

2018年全國高考生物試題大多提供特定情境，學(xué)生通過運(yùn)用科學(xué)思維，結(jié)合從題干中獲取的信息和所學(xué)知識解決問題，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)對學(xué)生生物核心素養(yǎng)的評價考查。

第五次：f(0.312 5)<0,f(0.343 75)>0

第六次：f(0.312 5)<0,f(0.328 125)>0

第七次：f(0.320 312 5)<0,f(0.328 125)>0

警官放過吳邦雄，轉(zhuǎn)頭盯住劉雁衡，不說話，想在氣勢上壓倒對方，見劉雁衡面無懼色，只好發(fā)話：“我們接到報告，這里，就在這里！”警官的右手食指戳向地面，“有人印發(fā)共匪轉(zhuǎn)單，進(jìn)行赤化宣傳?！?/p>

第八次：f(0.320 312 5)<0,f(0.324 218 75)>0

師：同學(xué)們，讓我們先做一個猜數(shù)游戲．

揭題 用二分法求方程的近似解．

師：若精確到0.01呢？

由學(xué)生討論并總結(jié)得出：欲近似到0.1，由兩個端點(diǎn)近似值都為0.3，則x0=0.3；欲近似到0.01，由兩個端點(diǎn)近似值都為0.32，則x0=0.32．

通過上述解題過程，結(jié)合幾何畫板，形象地給出一段區(qū)間，不斷地取一半，并表明每一段的兩個端點(diǎn)的符號．

本工程為南昌某別墅，地上3層，其中每層建筑面積為158m2，為防止地下水直接進(jìn)入機(jī)組造成板式換熱器反復(fù)清洗等問題，擬采用加裝中間換熱器的地下水源熱泵系統(tǒng)，設(shè)置1臺水-水熱泵機(jī)組，水源側(cè)配置2口抽灌兩用井，設(shè)計井深30m，每口井內(nèi)各設(shè)1臺深井泵，空調(diào)側(cè)配置1臺循環(huán)水泵，3層樓的臥室、書房以及客廳等均采用風(fēng)機(jī)盤管加地板輻射采暖相結(jié)合的空調(diào)模式，夏季用風(fēng)機(jī)盤管供冷，冬季可用風(fēng)機(jī)盤管或地板輻射采暖。

師生討論：(1)精確度如何達(dá)到？二分的次數(shù)如何確定？有無規(guī)律？(2)使用二分法有無前提條件？(3)二分法的一般思路和操作流程是什么？

2.4 鞏固反饋，總結(jié)提煉

生4：函數(shù)y=x3+3x-1的圖象是怎么樣的？

小組合作，一人計算，一人記錄，完成后通過投影展示學(xué)生的研究成果．

通過學(xué)生思考并用自己的語言把二分法的解題過程表達(dá)出來，并展示學(xué)生的成果，讓學(xué)生共同評價和完善補(bǔ)充．

生：二分法求方程的近似解就是每次都取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法，其實(shí)質(zhì)是不斷把函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間逐步縮小，使區(qū)間兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)近似值．

師：大家一起來完善用二分法求方程的近似解的操作流程．

用二分法求方程的近似解的操作流程如圖3所示．

2.5 體驗(yàn)交流，練習(xí)拓展

請學(xué)生談?wù)劺枚址ㄇ蠓匠探平獾囊恍w驗(yàn)，并進(jìn)行交流．例如：

目前民營經(jīng)濟(jì)已占據(jù)山東“半壁江山”，貢獻(xiàn)了全省50%以上的GDP，60%以上的投資，70%以上的稅收，占市場主體90%以上。當(dāng)然，山東民營經(jīng)濟(jì)在發(fā)展中也面臨一些亟須解決的問題，主要是民營市場主體絕對數(shù)量仍然偏少，產(chǎn)業(yè)層次不高，創(chuàng)新能力比較弱，自主知名品牌太少等。

(1)近似計算高中階段較少遇到，用二分法求方程的近似解是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)而科學(xué)的體現(xiàn)．

(2)無限逼近的思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想方法，如我國古代數(shù)學(xué)家劉徽用割圓術(shù)計算圓周率π也正是用無限逼近的思想．

(3)操作流程是一種算法思想．算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計算科學(xué)的重要基礎(chǔ)，通過本堂課讓學(xué)生感受到程序化思想，體會算法思想在解決問題和培養(yǎng)理性思維中的意義和作用．算法思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種不可或缺的重要數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

師：利用計算器，求方程10x=3-x的一個近似解．(精確到0.1)

師：結(jié)合上述方程lgx=3-x，你能得到什么結(jié)論？

借助幾何畫板作圖，幫助學(xué)生獲得y=10x與y=lgx的關(guān)于直線y=x的對稱關(guān)系，從而獲得這兩個方程的實(shí)數(shù)解的和為定值3．

·鞏固練習(xí)

下列函數(shù)圖象中，不能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是( )．

利用以上圖象，指出對于連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0，則函數(shù)在(a,b)上至少有一個零點(diǎn)；但f(a)f(b)>0，卻不能得出函數(shù)在(a,b)上一定沒有零點(diǎn)．

·課后拓展

左心室起源室早的心電圖特征如下:① 胸導(dǎo)聯(lián)符合右束支阻滯圖形。② V1導(dǎo)聯(lián)主波一般向上，呈Rs或rsR型，當(dāng)V1導(dǎo)聯(lián)為rS型時，通常滿足:r波時限/S波時限>50%，r波振幅/S波振幅>30%。胸導(dǎo)聯(lián)移行一般早于竇律。對于起源于主動脈瓣上的室早，心電圖V5、V6導(dǎo)聯(lián)呈R型，無s波。確定為左心室起源室早后，再具體定位在左冠竇(LCC)、右冠竇(RCC)或左右竇之間(R-LCC)，不同起源部位室早的心電圖特征如下，LCC:移行相對較早，V1或V1、V2導(dǎo)聯(lián)之間Ⅰ導(dǎo)聯(lián)主波向下；RCC:移行相對較晚，V2、V3導(dǎo)聯(lián)之間Ⅰ導(dǎo)聯(lián)主波向上；R-LCC:V1導(dǎo)聯(lián)呈QS型，下降支有頓挫，或V1導(dǎo)聯(lián)呈qrs型。

師：同學(xué)們有無其他方法求方程的近似解．

提示：如秦九韶法、迭代法等．

3 回顧反思

3.1 教學(xué)效果

利用信息技術(shù)與課程整合，動態(tài)圖象的演示，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、激活學(xué)生思維，掌握二分法的本質(zhì)，較好地完成了教學(xué)目標(biāo)．

3.2 教學(xué)反思

本節(jié)課通過猜數(shù)游戲創(chuàng)設(shè)情境，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生也在猜數(shù)過程中初步感受二分法的思想．利用幾何畫板求方程近似解的動態(tài)效果，優(yōu)勢有三：

(1)動態(tài)逼近

幾何畫板能動態(tài)展示零點(diǎn)所在的區(qū)間，直觀地體現(xiàn)“逼近”的過程，動態(tài)變化過程清晰明了，這樣有利于突破傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)，幫助學(xué)生揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高了探究活動的有效性，充分體現(xiàn)了信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的有機(jī)整合．

利用安居客及搜房網(wǎng)等地產(chǎn)網(wǎng)站為樣本源，搜索到分析區(qū)域內(nèi)小區(qū)樣本點(diǎn)的名稱、均價、地址、類型等資料，所查到的數(shù)據(jù)為2015-2016年小區(qū)的房屋均價。利用Google Earth提取四區(qū)范圍內(nèi)的住宅小區(qū)、交通、醫(yī)院、教育、公園等公共設(shè)施并數(shù)字化處理。將搜集到的這些數(shù)據(jù)，運(yùn)用ArcGIS的近鄰分析方法從三個方面量化影響因素數(shù)據(jù)分析計算所得的小區(qū)基本信息即為模型變量如表1所示。計算所得的這些最短距離用于地理空間數(shù)據(jù)庫的建立。

(2)形象直觀

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生也可以觀察圖形、猜測并驗(yàn)證，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增強(qiáng)對函數(shù)零點(diǎn)的感性認(rèn)識，形成豐厚的經(jīng)驗(yàn)背景，從而更有助于理解．

(3)操作簡單

上面已經(jīng)詳細(xì)地分析了已結(jié)束項(xiàng)目任務(wù)數(shù)據(jù)中任務(wù)經(jīng)緯度數(shù)據(jù)在完成與未完成情況下的密度分布狀況。但是未將經(jīng)緯度數(shù)據(jù)與定價數(shù)據(jù)結(jié)合到一起來研究，不能直觀、形象地看出其中的內(nèi)在聯(lián)系。所以利用Matlab中[4]的CFTOOL曲線擬合工具箱繪制出經(jīng)緯度數(shù)據(jù)與定價數(shù)據(jù)的三維曲線擬合圖。x1代表任務(wù)的維度，y1代表任務(wù)的經(jīng)度，z1代表任務(wù)的定價?，F(xiàn)在即可從三維曲線擬合圖中立體直觀地得出以下結(jié)論。

借助幾何畫板可實(shí)時作出函數(shù)圖象，一切操作都只靠工具欄和菜單實(shí)現(xiàn)，隱藏、顯示可以反復(fù)操作．

本節(jié)課由學(xué)生自主提出一些問題，主動探究，總結(jié)體驗(yàn)探究過程，從而獲得方法，體驗(yàn)到成功的樂趣．學(xué)生只有通過自主探究、創(chuàng)造性運(yùn)用知識、合作交流才能完成相關(guān)課題，這將促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式發(fā)生轉(zhuǎn)變，由被動接受、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練變?yōu)樽灾魈骄?、注重過程、合作交流，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．