基于響應(yīng)面法和粒子群算法的橋梁高聳臨時提升支架優(yōu)化

占玉林，許江輝，許 俊，邵俊虎，林智敏，何 鵬

（1.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031；2.中鐵第四勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063；3.成都大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，四川 成都 610106；4.中鐵上海工程局集團(tuán)第五工程有限公司，廣西 南寧 530200）

鋼拱橋具有造型美觀、跨越能力大、施工方式靈活等突出優(yōu)點，使其在橋梁建設(shè)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用。常見的鋼拱橋形式有鋼管混凝土拱橋、鋼箱拱橋等［1-3］。其施工方法大致分為：支架施工法、懸臂拼裝法、轉(zhuǎn)體施工法以及纜索吊裝法等［4-6］。支架整體提升方法屬于支架施工法的1種，起初應(yīng)用于建筑領(lǐng)域，隨著整體提升技術(shù)的不斷成熟，其憑借著拼裝精度高、結(jié)構(gòu)整體性好和施工安全可靠等優(yōu)點在大跨徑拱橋施工中逐漸得到推廣應(yīng)用［7-8］。拱肋整體提升支架作為大跨徑拱橋進(jìn)行安全吊裝施工的重要結(jié)構(gòu)，其在施工過程中受力復(fù)雜，強(qiáng)度和穩(wěn)定性問題十分突出。若支架尺寸過小，會造成結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和穩(wěn)定性降低，危及施工安全；而支架尺寸過大，則其利用率較低，增加工程造價［9-10］。目前，提升支架的設(shè)計計算理論尚不完善，在確定提升支架結(jié)構(gòu)參數(shù)時，需綜合考慮其安全性和經(jīng)濟(jì)性［11］。

目前，大量學(xué)者通過響應(yīng)面法［12-14］對結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計進(jìn)行了廣泛研究。徐征杰等［15］通過構(gòu)建響應(yīng)面函數(shù)獲得強(qiáng)風(fēng)化花崗巖地層在不同盾構(gòu)推進(jìn)速度下的最優(yōu)改良參數(shù)；成棣等［16］研究了多項式響應(yīng)面優(yōu)化方法和高斯徑向基函數(shù)響應(yīng)面優(yōu)化方法對于車輪踏面的優(yōu)化效果，發(fā)現(xiàn)響應(yīng)面方法適用于車輪踏面優(yōu)化，優(yōu)化后的車輪踏面磨耗指數(shù)降低明顯；宗周紅等［17］基于響應(yīng)面方法成功對大跨徑連續(xù)剛構(gòu)橋健康監(jiān)測有限元模型進(jìn)行了修正，模型優(yōu)化后計算得到的頻率跟實測頻率較吻合。Ren等［18］將響應(yīng)面法應(yīng)用于土木工程結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，通過仿真數(shù)據(jù)構(gòu)建二次多項式響應(yīng)面，并通過簡支梁和預(yù)制連續(xù)梁驗證了模型的準(zhǔn)確性，與傳統(tǒng)方法相比，該法高效且易收斂。

雖然上述學(xué)者通過理論分析、數(shù)值計算等方式對結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化，但實際工程中結(jié)構(gòu)各優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的隨優(yōu)化設(shè)計參數(shù)的變化規(guī)律往往并不統(tǒng)一，且可能相互沖突，協(xié)調(diào)其關(guān)系，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的最優(yōu)化有待研究。

本文針對橋梁高聳臨時提升支架（以下簡稱“提升支架”），建立相應(yīng)的數(shù)值模型，在運(yùn)用響應(yīng)面法求得提升支架各優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)響應(yīng)面函數(shù)的基礎(chǔ)上，構(gòu)建提升支架的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法尋找最優(yōu)解，得到提升支架的合理結(jié)構(gòu)形式。

1 基于響應(yīng)面法和粒子群算法優(yōu)化的基本原理

針對工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化，本文提出一種基于響應(yīng)面法和粒子群算法的優(yōu)化方法，其基本流程如圖1所示。

圖1 工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化流程圖

1.1 響應(yīng)面法基本原理

響應(yīng)面法（Response Surface Method，RSM）由Box 等［19］于1951 年提出，是一種構(gòu)建近似函數(shù)的方法。利用響應(yīng)面法構(gòu)造近似函數(shù)時，首先要確定近似函數(shù)的形式，然后運(yùn)用統(tǒng)計試驗設(shè)計方法在空間內(nèi)選取足夠多的樣本，最后運(yùn)用最小二乘法原理擬合試驗設(shè)計樣本的分析結(jié)果得到響應(yīng)面函數(shù)。通常響應(yīng)面函數(shù)采用二階函數(shù)形式，即

式中：xi為設(shè)計參數(shù)；a0，bi和ci為待定系數(shù)，需由試驗樣本進(jìn)行確定；n為設(shè)計參數(shù)個數(shù)。

響應(yīng)面函數(shù)的待定系數(shù)向量A可由下式計算

式中：Y為響應(yīng)面函數(shù)預(yù)測向量；X為優(yōu)化參數(shù)矩陣；m為求解待定系數(shù)所需試驗樣本數(shù)量。

1.2 目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)

與單目標(biāo)優(yōu)化問題不同，由于多目標(biāo)優(yōu)化問題（Multi-objective Optimization Problem，MOP）［20-21］中的各個子優(yōu)化目標(biāo)間可能相互沖突，無法令所有優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)均達(dá)到最優(yōu)解，因此，需要尋找一組使所有優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)盡可能達(dá)到最優(yōu)的設(shè)計參數(shù)值。為獲得最優(yōu)解，本文基于多個優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)優(yōu)化問題，考慮到各參數(shù)的量綱不同，為了便于統(tǒng)一求解，對各目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行無量綱化處理，即

式中：yi為第i個目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)；yimax和yimin分別為yi的極大值和極小值。

則目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)Y可表示為

式中：ki為各優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的權(quán)重系數(shù)。

1.3 粒子群優(yōu)化算法原理

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是由Eberhart和Kennedy于1995年首次提出用于解決全局優(yōu)化問題的智能算法［22］。粒子群算法將粒子視為沒有體積和質(zhì)量的點，并為每個粒子設(shè)置速度和位置2 個參數(shù)。每個粒子以自身的最佳位置作為局部最優(yōu)目標(biāo)，以種群歷史的最優(yōu)位置為全局最優(yōu)目標(biāo)，在空間中進(jìn)行運(yùn)動［23-25］。每個粒子代表解空間的1個候選解，解的優(yōu)劣度由適應(yīng)度函數(shù)決定，本文中適應(yīng)度函數(shù)為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)Y。粒子群算法的進(jìn)化方程為

式中：i為粒子編號；j為粒子所處空間的位置；t為粒子迭代次數(shù)；vij為粒子速度；xij為粒子位置；pij為粒子i在第j維的最優(yōu)位置；pgj為全部粒子在第j維空間的最優(yōu)位置；w為慣性權(quán)重系數(shù)［26］；c1和c2為學(xué)習(xí)因子，取值范圍為1～2.5［19］；r1j和r2j為相互獨立的0～1之間的隨機(jī)數(shù)。

2 橋梁高聳臨時提升支架優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

某大跨徑提籃式鋼箱拱橋在施工過程中，中拱段采用低位拼裝+高聳門式支架整體提升，如圖2所示。提升支架為高87.5 m的鋼結(jié)構(gòu)，鋼管材料采用Q235 級鋼材，并由焊接拼裝制成。其中，承臺以上13.6 m范圍內(nèi)，采用鋼管混凝土，其余部分采用空心鋼管，支架由立柱與橫撐組成，立柱鋼管直徑為1 520 mm。由于提升支架高度高、提升重量大，提升過程安全風(fēng)險大，且造價高，為使得其兼顧受力性能與造價，對提升支架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。

圖2 橋梁高聳臨時提升支架整體提升現(xiàn)場施工示意圖

2.1 優(yōu)化設(shè)計參數(shù)和優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)選取

提升支架作為拱肋提升過程中的主要承重結(jié)構(gòu)，對結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和穩(wěn)定性要求較高，需保證其在拱肋提升過程中的受力和變形的安全性［27］。因此，選取鋼管混凝土立柱內(nèi)混凝土填充高度x1、鋼管外徑x2和鋼管壁厚x33個對提升支架結(jié)構(gòu)性能影響較大的因素為優(yōu)化設(shè)計參數(shù)，其原始設(shè)計值分別為：x1初=13.6 m，x2初=1 520 mm，x3初=16 mm。充分考慮提升支架的尺寸設(shè)計要求和實際情況，優(yōu)化參數(shù)x1、x2和x3的上下限取值分別為［0，27］m，［1 000，2 000］mm 和［10，22］mm。在保證提升支架結(jié)構(gòu)受力性能的同時，還應(yīng)考慮經(jīng)濟(jì)性要求，因此選取最大拉應(yīng)力y1、最大壓應(yīng)力y2、屈曲系數(shù)y3和工程造價y4作為提升支架的優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)。

2.2 響應(yīng)面函數(shù)建立

上述提升支架4 個優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計參數(shù)均為3個，因此4 個優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的響應(yīng)面函數(shù)的形式為

由式（7）可見，4 個優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)響應(yīng)面函數(shù)的待定系數(shù)均為7個，至少需進(jìn)行7 次試驗建立各優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的響應(yīng)面函數(shù)。

為了求解優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的響應(yīng)面函數(shù)，依據(jù)提升支架結(jié)構(gòu)參數(shù)，運(yùn)用有限元分析軟件MIDASCIVIL，建立圖3 所示的橋梁高聳臨時提升支架數(shù)值模型。各構(gòu)件均采用梁單元模擬，柱頂鋼箱梁選取Q345 鋼材，鋼管立柱選取Q235 鋼材，承臺及鋼管內(nèi)灌注混凝土選取C30混凝土材料。樁基底部采用固結(jié)邊界條件，上部鋼結(jié)構(gòu)與承臺間采用剛性連接。施工過程中拱肋的重量以集中力的方式施加在支架頂部的鋼箱梁上。

圖3 橋梁高聳臨時提升支架有限元模型

為保證響應(yīng)面函數(shù)的精確性并驗證其擬合效果，改變數(shù)值模型中的優(yōu)化設(shè)計參數(shù)，共進(jìn)行19組試驗，數(shù)值模擬結(jié)果見表1。

根據(jù)響應(yīng)面法的基本原理，對表1 中的計算結(jié)果進(jìn)行多元回歸擬合，得到提升支架最大拉應(yīng)力y1、最大壓應(yīng)力y2、屈曲系數(shù)y3及工程造價y4這4個優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)響應(yīng)面函數(shù)的待定系數(shù)的取值，見表2。

表1 提升支架數(shù)值模擬結(jié)果

表2 優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的響應(yīng)面函數(shù)系數(shù)取值

為驗證響應(yīng)面函數(shù)的準(zhǔn)確性以及預(yù)測能力，通過回歸分析判斷其擬合度。判定系數(shù)R2表示響應(yīng)面函數(shù)擬合值與計算值之間的差異程度，在0～1之間取值，其值越大，則響應(yīng)面函數(shù)擬合就越接近實際情況；相對均方根誤差Re表示響應(yīng)面函數(shù)的精度，其值越小，表示響應(yīng)面函數(shù)的精度越高。響應(yīng)面函數(shù)的擬合度分析結(jié)果見表3。

表3 響應(yīng)面函數(shù)擬合度量值

由表3 可知，各響應(yīng)面函數(shù)的判定系數(shù)均接近1，且相對均方根誤差很小，由此驗證了各響應(yīng)面函數(shù)的擬合效果較好，可用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

2.3 目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)

為了構(gòu)造目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)Y，首先根據(jù)式（3），對4個優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的響應(yīng)面函數(shù)進(jìn)行無量綱化處理，得到考慮到提升支架對結(jié)構(gòu)安全性和經(jīng)濟(jì)性的不同設(shè)計需求，引入了2 個權(quán)重系數(shù)，即安全系數(shù)α和成本系數(shù)β。則得到目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，即

當(dāng)α＜β時，表示在結(jié)構(gòu)滿足正常使用和極限承載能力的前提下，比較注重結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)性；當(dāng)α=β時，表示在結(jié)構(gòu)設(shè)計中安全性和經(jīng)濟(jì)性同等重要；當(dāng)α＞β時，表示在結(jié)構(gòu)設(shè)計中相較結(jié)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)性，結(jié)構(gòu)的安全性更應(yīng)受到關(guān)注。

3 橋梁高聳臨時提升支架優(yōu)化

基于上述各優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的響應(yīng)面函數(shù)及目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，根據(jù)粒子群算法的基本原理，利用MATLAB 軟件編制相關(guān)優(yōu)化程序進(jìn)行尋優(yōu)分析。粒子數(shù)目取值為40，學(xué)習(xí)因子c1和c2取值均為2，慣性權(quán)重系數(shù)w取值為0.5，最大迭代次數(shù)取為1 000，3 個自變量x1，x2和x3的取值范圍分別取為［0，27］m，［1 000，2 000］mm和［10，22］mm。

由于單次尋優(yōu)的結(jié)果具有一定的隨機(jī)性，因此α與β取不同值，對目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)進(jìn)行多次優(yōu)化，取優(yōu)化的平均值作為最終的優(yōu)化結(jié)果。α和β在不同取值情況下，各優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的計算結(jié)果見表4。

表4 不同α和β組合下各優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)值

當(dāng)α=0.1 或α=0.2時，結(jié)構(gòu)最優(yōu)優(yōu)化設(shè)計參數(shù)得到造價雖然較低，但結(jié)構(gòu)的最大壓應(yīng)力過大，安全儲備小，因此過于重視結(jié)構(gòu)造價而降低結(jié)構(gòu)安全性是不合理的。

當(dāng)α=0.3 或α=0.4時，結(jié)構(gòu)的屈曲系數(shù)較大，但其不是控制結(jié)構(gòu)安全性的主要參數(shù)，同時最大拉應(yīng)力較小，最大壓應(yīng)力較大，結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度主要由最大壓應(yīng)力控制，最大壓應(yīng)力分別為90 和71 MPa，結(jié)構(gòu)的安全儲備較大，當(dāng)α由0.3 變?yōu)?.4時，造價增高19.4%。

當(dāng)α取0.5～0.9（對應(yīng)的β取0.5～0.1）時，結(jié)構(gòu)的最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力、屈曲系數(shù)在數(shù)值上變化不大，且結(jié)構(gòu)均處于較低應(yīng)力水平，材料得不到充分利用，對應(yīng)的造價逐漸增高，α=0.5和α=0.9時優(yōu)化所得到的造價相差71.46 萬元，這說明在本工程結(jié)構(gòu)中，當(dāng)α從0.5逐漸增加至0.9時，成本系數(shù)與安全系數(shù)的取值對優(yōu)化結(jié)果的影響相對比較小。

綜合上述對安全系數(shù)α和成本系數(shù)β的討論可知，當(dāng)α取為0.3左右，β取為0.7左右，結(jié)構(gòu)具有一定的安全儲備，同時兼顧了造價的經(jīng)濟(jì)性，4 個目標(biāo)優(yōu)化參數(shù)的優(yōu)化結(jié)果能夠達(dá)到相對理想的平衡。需要說明，當(dāng)α取為0.3，β取為0.7時并不是絕對意義上的最優(yōu)解，而是多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)Pareto前沿解集中的1個非支配解，在求該非支配解的過程中綜合考慮了結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、穩(wěn)定性和工程造價等多個目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，它是在滿足各目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)取得平衡狀態(tài)下的綜合較優(yōu)解。

優(yōu)化前后提升支架的各響應(yīng)面函數(shù)值如圖4 所示。由圖4可知：優(yōu)化后提升支架的最大拉應(yīng)力由50.1 MPa降低為38.6 MPa，減小幅度為23%；最大壓應(yīng)力由83.5 MPa 增加至90.47 MPa，增加8.3%；屈曲系數(shù)優(yōu)化前后變化較??；工程造價由412.21 萬元減少至405.76 萬元，降低幅度為1.6%。分析結(jié)果表明，在支架最大壓應(yīng)力和屈曲系數(shù)變化不大的情況下，結(jié)構(gòu)最大拉應(yīng)力明顯降低，安全度得到較大提升，此外，工程造價還能略微降低，優(yōu)化效果比較可靠。

圖4 優(yōu)化效果對比

4 結(jié)論

（1）本文提出的響應(yīng)面法和粒子群算法相結(jié)合的多目標(biāo)優(yōu)化方法能有效進(jìn)行提升支架的設(shè)計優(yōu)化。

（2）提升支架結(jié)構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)的響應(yīng)面函數(shù)擬合精度較高，響應(yīng)面函數(shù)可合理構(gòu)建結(jié)構(gòu)優(yōu)化參數(shù)與優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

（3）通過引入權(quán)重系數(shù)可將工程中的多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)閱文繕?biāo)優(yōu)化問題，為解決多個優(yōu)化目標(biāo)之間存在矛盾的情況提供了解決方法。

（4）當(dāng)安全系數(shù)和成本系數(shù)分別取0.3 和0.7時，提升支架的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)得到較優(yōu)解，優(yōu)化后在支架最大壓應(yīng)力和屈曲系數(shù)變化不大的情況下，結(jié)構(gòu)最大拉應(yīng)力明顯降低（降幅達(dá)23%），安全度得到較大提升，此外，工程造價還能略微降低，優(yōu)化效果顯著。