高速磁浮系統(tǒng)最小能耗下的運(yùn)控曲線計算

張雷

（中鐵第四勘察設(shè)計院集團(tuán)有限公司電氣化設(shè)計研究院，武漢 430063）

高速磁浮交通牽引供電系統(tǒng)主要由牽引變電所、饋電電纜、軌旁開關(guān)站和長定子直線同步電機(jī)等組成[1-3]。

為了提高列車運(yùn)行時的加速度，高速磁浮牽引系統(tǒng)由傳統(tǒng)的1 套牽引變流器增加為2 套牽引變流器，并通過饋電電纜并聯(lián)，再由定子開關(guān)站決定是否給定子段供電[4-6]。

由2 套變流器進(jìn)行供電的工作模式被稱為雙端供電，是目前高速磁浮交通特有的供電方式。該方式很好地解決了單臺變流器工作時超過額定容量的問題，提高了整個牽引供電系統(tǒng)的可靠性。但是雙端變流器的并聯(lián)產(chǎn)生了環(huán)流[7-8]，進(jìn)而導(dǎo)致變流器電流波形發(fā)生畸變；除此之外，高速磁浮交通系統(tǒng)饋電電纜的損耗會隨著里程和電流頻率的變化而變化，電機(jī)銅耗也會因?yàn)榱熊嚨臓恳ψ兓兓?。因此在降低能耗的基礎(chǔ)上如何分配2 套變流器的電流是目前的研究熱點(diǎn)。

文獻(xiàn)[9]通過共用轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)器實(shí)現(xiàn)總負(fù)載電流控制，然后根據(jù)電流調(diào)節(jié)器和環(huán)流調(diào)節(jié)器對負(fù)載電流進(jìn)行分配，減小了線路中的損耗和環(huán)流；文獻(xiàn)[10]通過分析電纜長度和信號傳輸延時對控制性能的影響，提出對應(yīng)的補(bǔ)償方法，從而提高磁浮高速運(yùn)行時的控制性能；文獻(xiàn)[11]以混合型逆變器供電的交流傳動系統(tǒng)為對象，采用直流側(cè)獨(dú)立供電抑制零序環(huán)流，并提出了一種直流電容穩(wěn)壓控制策略；文獻(xiàn)[12]分析了死區(qū)效應(yīng)、直流母線波動以及中點(diǎn)電壓偏移這些非理想因素對環(huán)流的影響，并在此基礎(chǔ)上提出了直接模式控制策略，抑制了非理性因素對并聯(lián)系統(tǒng)導(dǎo)致的環(huán)流，但沒有考慮兩邊饋線阻抗不同對環(huán)流造成的影響；文獻(xiàn)[13]針對不同的線路區(qū)間采用不同的電流分配比來減小饋電電纜損耗，但不能根據(jù)線路情況實(shí)時調(diào)節(jié)分配比。

目前的算法都是在給定運(yùn)控曲線的基礎(chǔ)上通過電流分配策略來降低整個牽引系統(tǒng)的總能耗，并沒有考慮運(yùn)控曲線對系統(tǒng)總能耗的影響。因此本文提出以最小能耗方程作為目標(biāo)函數(shù)，然后通過等電流法或等電壓法去分配雙端變流器的電流，最后根據(jù)拉格朗日極值法得到高速磁浮列車的運(yùn)控曲線。經(jīng)仿真計算發(fā)現(xiàn)，該方法能在滿足等電流和等電壓分配策略的情況下，找到符合約束條件的最小能耗點(diǎn)和其所對應(yīng)的運(yùn)控曲線，使整個系統(tǒng)的能耗降低。

1 雙端供電模式下長定子直線同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

1.1 雙端供電工作模式

當(dāng)磁懸浮列車速度達(dá)到高速時，需要供電區(qū)間兩端牽引變電站的變流器通過各自的饋線在開關(guān)站并聯(lián)匯流后向定子繞組供電，來提供更大的牽引力[14]。其雙端供電工作模式如圖1 所示。

當(dāng)磁懸浮牽引供電系統(tǒng)采用雙端供電時，每端的變流器不用承受過大的容量，同時也保證了列車的運(yùn)行安全，當(dāng)一端供電故障時，還可以通過另一端的變流器為磁浮列車供電。圖1 中的定子段采用三步法的方式進(jìn)行換步，能夠保證更高的牽引能力。

圖1 雙端供電工作模式（三步法）Fig.1 Double-ended power supply mode（three-step method）

1.2 長定子直線同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

一般來講，高速磁懸浮列車的運(yùn)行區(qū)間很長，因此本文將定子段的饋電電纜做了集中參數(shù)處理。在雙端供電模式下，長定子直線同步電機(jī)三相靜止坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型[9]為

式中：ua1、ub1、uc1、ua2、ub2、uc2分別為雙端變流器的三相輸出電壓；ua、ub、uc分別為三相定子電壓；ia1、ib1、ic1、ia2、ib2、ic2分別為雙端變流器的三相輸出電流；ia、ib、ic分別為三相定子電流；Ψa、Ψb、Ψc分別為三相定子磁鏈；Rs、Ls分別為定子電阻和電感；L1、L2、R1、R2分別為雙端饋電電纜的等效電感和等效電阻。

三相靜止坐標(biāo)系下，長定子直線同步電機(jī)的電感會隨著動子的位置變化而變化，增加了控制難度。為了便于控制，本文采用等幅值變換將三相靜止坐標(biāo)系下的電機(jī)數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)換到d-q 坐標(biāo)系下[15]。長定子直線同步電機(jī)在d-q 軸的等效電路如圖2 所示。

圖2 長定子直線同步電機(jī)d-q 軸等效電路Fig.2 d-q axis equivalent circuit of long-stator linear synchronous motor

則d-q 軸的電機(jī)數(shù)學(xué)模型為

式中：Ld、Lq為d、q 軸的定子繞組電感；τ為極距；v為列車速度；ω為動子角速度；p為微分算子；Msm為定、動子間的互感；im為勵磁電流；id1、iq1和ud1、uq1分別為左側(cè)變流器d、q 軸的電流和電壓；id2、iq2和ud2、uq2分別為右側(cè)變流器d、q 軸的電流和電壓。

式中，iq為q 軸的定子電流，其值為iq1與iq2之和。

2 最小能耗下運(yùn)控曲線的計算

2.1 最小能耗下的運(yùn)控曲線

已知高速磁浮列車的運(yùn)行區(qū)間長度為xall，運(yùn)行時間為tall。假設(shè)先以恒加速度a1加速一段時間t1，再勻速運(yùn)行一段時間t2，最后以恒減速度a3減速一段時間t3。當(dāng)確定t1、t2、a1，即可確定高速磁浮列車的整個運(yùn)控曲線。運(yùn)控曲線如圖3 所示。

圖3 高速磁浮列車的運(yùn)控曲線Fig.3 Operation control curve of high-speed maglev train

則高速磁浮列車的約束方程為

根據(jù)牛頓第二定律，高速磁浮列車的動力學(xué)方程為

式中：Fx為列車的牽引力；FZ為列車的阻力；m為列車的總質(zhì)量；a為列車的運(yùn)行加速度。高速磁浮列車的阻力方程為

式中：FA、FM、FB分別為空氣阻力、磁阻力、發(fā)電阻力；N為車輛編組數(shù)。

根據(jù)式（9）～式（13）可以得到雙端變流器的輸出瞬時功率為

式中：Lu、Ru分別為供電電纜的單位電感和單位電阻；x為列車的位移；P1、P2分別為雙端變流器輸出的瞬時功率。通過對雙端變流器輸出的瞬時功率積分，即可得到區(qū)間總能耗為

以式（25）為目標(biāo)方程、式（15）為約束方程，通過拉格朗日條件極值法可以計算出t1、t2、a1參數(shù)，從而可以得到最小能耗下的運(yùn)行曲線。

目前高速磁浮系統(tǒng)多采用等電流和等電壓策略對2 臺變流器的輸出電流進(jìn)行分配，本文也是在分配策略確定的基礎(chǔ)上計算最小能耗的運(yùn)控曲線。下面將詳細(xì)介紹等電流和等電壓分配策略下運(yùn)控曲線的計算步驟。

2.2 最小能耗下的等電流分配策略

等電流分配策略是指雙端變流器的輸出電流相等，即iq1=iq2。當(dāng)在第1 個區(qū)段時間t1內(nèi)時，速度和位移分別為v=a1t、x=則q 軸給定電流為

將式（26）代入式（21）和式（22），可以計算出P1=P1（t，a1）、P2=P2（t，a1）。再根據(jù)式（25）計算出第1區(qū)間的能耗Ws1=Ws1（t1，a1）。當(dāng)在第2 個區(qū)段時間t2內(nèi)時，速度和位移分別為v=a1t1，x=則q 軸給定電流為

將式（27）代入式（21）和式（22），可以計算出P1=P1（t，t1，a1）、P2=P2（t，t1，a1），再根據(jù) 式（25）計 算出第2 區(qū)間的能耗Ws2=Ws2（t1，t2，a1）。則總能耗Wall=Wall（t1，t2，a1）在約束式（15）下的最小值點(diǎn)可以通過方程求得為

式中，λ為拉格朗日條件極值法的輔助系數(shù)。

2.3 最小能耗下的等電壓分配策略

等電壓分配策略是指兩端變流器的輸出電壓相等，即V1=V2。按照等電壓法分配的電流分別為I1=αI、I2=（1-α）I，則式（1）可轉(zhuǎn)換為

式中，α為等電壓分配系數(shù)。通過求解一階線性常微分方程式（29），可以得到分配系數(shù)α為

式中，C為常數(shù)，由α（t=0）=0 確定。第1 區(qū)間和第2 區(qū)間的雙端變流器輸出瞬時功率的計算與等電流法一樣，然后再根據(jù)式（25）計算出能耗Ws1=Ws1（t1，a1）、Ws2=Ws2（t1，t2，a1）。最后通過式（28）計算得到最小能耗對應(yīng)的參數(shù)a1、t1、t2，進(jìn)而得到運(yùn)控曲線。

3 仿真分析與計算

將最小能耗下的等電流法和等電壓法使用MATLAB 進(jìn)行編程，并根據(jù)拉格朗日條件極值法計算出高速磁浮系統(tǒng)的運(yùn)控曲線。供電電纜參數(shù)與長定子直線同步電機(jī)參數(shù)如表1 和表2 所示。

表1 供電電纜參數(shù)Tab.1 Parameters of power supply cable

表2 長定子直線同步電機(jī)參數(shù)Tab.2 Parameters of long-stator linear synchronous motor

基于最小能耗的等電流分配策略下的運(yùn)控曲線如圖4 所示。由圖4（a）和圖4（b）可以看到，滿足區(qū)間長度50 km 和區(qū)間耗時400 s的限制，最高速度為598 km/h；圖4（c）表示變流器的輸出電流；圖4（d）表示符合約束條件的（t1，t2，a1）點(diǎn)的總能耗，可以看到有最小值，且為2.27×1010J；圖4（e）和圖4（f）分別表示2 臺變流器的輸出瞬時功率。

圖4 等電流分配策略Fig.4 Equal-current distribution strategy

基于最小能耗的等電壓分配策略下的運(yùn)控曲線如圖5 所示。由圖5（a）和圖5（b）可以看到滿足區(qū)間長度50 km 和區(qū)間耗時400 s的限制，最高速度為542 km/h；圖5（c）和圖5（d）分別表示兩端變流器的電流，可以看到，兩側(cè)電流不相等；圖5（e）表示變流器的輸出電壓；圖5（f）表示符合約束條件的（t1，t2，a1）點(diǎn)的總能耗，可以看到有最小值，且為1.82×1010J；圖5（g）和圖5（h）分別表示2 臺變流器的輸出瞬時功率。

圖5 等電壓分配策略Fig.5 Equal-voltage distribution strategy

經(jīng)過仿真計算發(fā)現(xiàn)，基于最小能耗的等電流分配法產(chǎn)生的總能耗要小于等電壓分配法，但最高運(yùn)行速度要高于等電壓分配法；由于將兩端變流器做了理想化處理，所以其輸出電流和電壓在有些區(qū)段超過了變流器的最大電流和電壓，后續(xù)考慮在算法的基礎(chǔ)上加入電流和電壓的限制，提高算法的魯棒性。

4 結(jié)語

本文對高速磁浮交通牽引系統(tǒng)進(jìn)行等電流分配和等電壓分配，并將能耗方程作為目標(biāo)函數(shù)，區(qū)間長度和區(qū)間耗時作為約束函數(shù)，最后通過拉格朗日條件極值法計算得到高速磁浮的運(yùn)控曲線。通過仿真計算發(fā)現(xiàn)，在滿足等電流和等電壓分配策略的情況下，所提方法能找到符合約束條件的最小能耗點(diǎn)和其所對應(yīng)的運(yùn)控曲線，從而使得整個系統(tǒng)的能耗降低；除此之外，通過計算發(fā)現(xiàn)等電壓分配法的最小能耗要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于等電流分配法，但其最高運(yùn)行速度要小于等電流分配法，因此可以在此基礎(chǔ)上根據(jù)線路的具體情況選擇不同的電流分配策略。