矩陣分解在考研數(shù)學(xué)中的應(yīng)用及其教學(xué)方法探討

莫長(zhǎng)鑫，代紅艷

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331）

社會(huì)的進(jìn)步需要更專業(yè)化的人才，并促使更多學(xué)生追求更高的學(xué)歷。近年來(lái)，考研人數(shù)持續(xù)攀升，在2022年已達(dá)457萬(wàn)人，比12年前約翻了一番。然而，筆者在考研復(fù)試中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程中的許多概念、定理等或死記硬背現(xiàn)象嚴(yán)重，或在解題中未考慮全面直接套用，或遺忘嚴(yán)重直接支支吾吾等，由此展現(xiàn)出學(xué)生在學(xué)習(xí)對(duì)應(yīng)知識(shí)時(shí)并未理解透徹，即使在考研階段投入大量精力復(fù)習(xí)后仍停留在秀而不實(shí)的階段.由此看來(lái)，學(xué)生在備考階段對(duì)考研知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)歸納并充分吸收尤為重要。矩陣分解一直是考研數(shù)學(xué)的一個(gè)重難點(diǎn)，許多分解形式不僅在表示上極為方便，而且根據(jù)問(wèn)題特征還可選擇適當(dāng)?shù)姆纸庑问絹?lái)降低計(jì)算復(fù)雜度，極大地節(jié)約解題時(shí)間，提升解題效率.對(duì)教師來(lái)說(shuō)，在對(duì)應(yīng)內(nèi)容授課時(shí)采取合理的授課方式及教學(xué)方法，并在關(guān)鍵細(xì)節(jié)處予以強(qiáng)調(diào)以及對(duì)重要內(nèi)容予以總結(jié)，將會(huì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)矩陣分解內(nèi)容的充分理解，進(jìn)而達(dá)到課程的培養(yǎng)目的。

1 幾類常用的矩陣分解介紹

1.1 矩陣等價(jià)分解

若矩陣A通過(guò)有限次初等變換后得到矩陣B，則稱A和B等價(jià)[1]。初等變換并不改變矩陣的秩，故秩為r的矩陣A便可通過(guò)等價(jià)關(guān)系與秩為r的單位陣相聯(lián)系Er。即有等價(jià)分解：

定理 1[1]：設(shè)矩陣A是秩為r的矩陣，則存在階可逆矩陣與階可逆矩陣使得，其中矩陣為分塊矩陣。

1.2 矩陣相似分解

對(duì)于矩陣A與矩陣B，若存在可逆矩陣P，使得，則稱矩陣與矩陣相似[1]。相似關(guān)系下的兩個(gè)矩陣B具有相同的特征多項(xiàng)式，進(jìn)而有相同的特征值，跡及行列式。如果上述矩陣具有對(duì)角或上三角形的簡(jiǎn)單形式，那么便可直觀地體現(xiàn)出原矩陣A的特征值等關(guān)鍵信息，進(jìn)而有利于簡(jiǎn)化分析。

定理 2[2]：若階實(shí)方陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則存在可逆矩陣，使得，其中對(duì)角陣且為矩陣的特征值。稱該分解稱為特征值分解。

實(shí)對(duì)稱矩陣一定可以進(jìn)行特征值分解，其特征值全是實(shí)數(shù)且對(duì)應(yīng)特征向量可選為實(shí)的。由施密特正交化過(guò)程知，實(shí)對(duì)稱矩陣存在正交相似分解。

定理3[2]：對(duì)矩陣，若其有特征值且對(duì)應(yīng)重?cái)?shù)分別為，則存在非奇異矩陣，使得，其中。若不計(jì)若爾當(dāng)塊的排列順序，則唯一。

相似關(guān)系比等價(jià)關(guān)系更復(fù)雜，但兩矩陣相似可轉(zhuǎn)化為兩矩陣的等價(jià)情形。一個(gè)常用的結(jié)論就是兩個(gè)階矩陣A和B相似的充要條件是它們的特征矩陣等價(jià)[1]。

1.3 矩陣合同分解

定理 4[1]：設(shè)為階實(shí)對(duì)稱陣，那么存在可逆矩陣使得，其中的取值為 1，-1 或 0。

實(shí)二次型中，正定二次型占據(jù)著重要地位，由此正定矩陣受到廣泛關(guān)注.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)正定矩陣一定是實(shí)對(duì)稱矩陣，且其規(guī)范型對(duì)應(yīng)的矩陣中的取值皆為1，即實(shí)正定陣合同于單位陣[1]。

2 矩陣分解在考研數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

考研數(shù)學(xué)中矩陣相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題綜合程度較高，矩陣分解就是幫助我們簡(jiǎn)化問(wèn)題的得力工具.下文將從等價(jià)、相似與合同三類情形出發(fā)，對(duì)近年來(lái)相關(guān)考研試題進(jìn)行整理與分析，以期為考研學(xué)子在矩陣分解不同類型問(wèn)題上提供梳理和參考，并為教師在矩陣分解內(nèi)容教學(xué)案例選取上提供借鑒.

2.1 等價(jià)分解在考研數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在解決矩陣相關(guān)問(wèn)題時(shí)，若題目給出的矩陣信息極少，如什么都未知或只知道矩陣的秩，通?？煽紤]利用矩陣等價(jià)分解來(lái)解決問(wèn)題。利用其證明滿秩分解、冪等分解等都是十分常見(jiàn)的題型，此外，等價(jià)分解也是解矩陣方程的重要法寶。

由于線性空間中的線性變換在某一組基下具有矩陣形式，所以部分線性變換有關(guān)的題目也可通過(guò)矩陣分解來(lái)求解，如：

解析：該問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是利用等價(jià)分解證明冪等分解，這里只需要任取線性空間的一組基，然后假設(shè)在該組基下的矩陣為，根據(jù)例2類比可知，令和在下矩陣分別為冪等矩陣與滿秩矩陣即可.

上文介紹了兩個(gè)可以由等價(jià)分解推導(dǎo)的重要分解，可以發(fā)現(xiàn)在題目信息極少的情況下，等價(jià)分解的重要性.矩陣方程求解的題型也一直是各個(gè)高?？佳性囶}中的高頻考點(diǎn),接下來(lái)我們體會(huì)等價(jià)分解在矩陣方程求解中的應(yīng)用并給出一個(gè)思考題，解答方法與技巧與例題大體相同。

證明：設(shè)矩陣A的秩為r，將定理1中的等價(jià)分解形式帶入矩陣方程，同時(shí)等式左右兩邊左乘，右乘，記，則有現(xiàn)對(duì)進(jìn)行分塊，令，代入上式化簡(jiǎn)后可以發(fā)現(xiàn)，而矩陣可以任意取，所以可解得即證該矩陣方程始終有解。

2.2 相似分解在考研數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

相似關(guān)系下的矩陣分解出題頻率高且綜合性強(qiáng)，所以對(duì)其解題思路與方法進(jìn)行整理與歸納是非常必要的。常見(jiàn)的題型主要分為數(shù)值矩陣計(jì)算與抽象矩陣證明兩大類。（1）計(jì)算類：求解數(shù)值矩陣的特征值、特征向量以及可逆矩陣P，進(jìn)而求矩陣A的對(duì)角化形式或若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。除此之外，還有簡(jiǎn)化矩陣的高次冪計(jì)算問(wèn)題和數(shù)值矩陣的相似判定等。（2）證明類：抽象矩陣相關(guān)的矩陣等式證明。

例5：（西南大學(xué)2020，重慶大學(xué)2016）①求矩陣A的特征值與特征向量，并求；②求矩陣B的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。其中，

解析：①是一道求矩陣高次冪的考研基礎(chǔ)試題，只需求出矩陣的特征值并判斷其可對(duì)角化即可，利用相似分解就可以轉(zhuǎn)化為對(duì)對(duì)角矩陣的求冪.對(duì)②，只需求出該矩陣各個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)，然后寫(xiě)出各特征值對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)塊，將他們組合起來(lái)即可.

使用特征值或秩來(lái)判斷兩矩陣是否相似往往并不充分。比如和都是 4階上三角矩陣且只有四個(gè)非零元素。該兩個(gè)矩陣有相同的特征多項(xiàng)式、特征值、跡及行列式，且有相同的秩，但它們并不相似，這是因?yàn)?，但[3].事實(shí)上，在判斷兩個(gè)數(shù)值矩陣是否相似時(shí)，通常也需要計(jì)算矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)進(jìn)行判定，如下例所示：

例6：（南開(kāi)大學(xué)2020）證明下列兩個(gè)矩陣不相似：

解析：首先可以觀察兩個(gè)矩陣的特征值，若不同，則不相似，若相同則需進(jìn)一步計(jì)算各特征值對(duì)應(yīng)的幾何重?cái)?shù).對(duì)此例，能夠計(jì)算出矩陣A與B的特征根皆為1（3重），但，則對(duì)應(yīng)的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型也不同，即可證明不相似。

上述例題皆與計(jì)算有關(guān)，事實(shí)上部分矩陣等式的證明也離不開(kāi)相似分解，若題目與特征值、特征向量有關(guān)，通常會(huì)用到矩陣相似分解。

例7：（華南理工大學(xué)2022）已知A，B為數(shù)域P上的n階方陣，A有n個(gè)互異的特征值，證明：若A的特征向量是B的特征向量，則。

解析：由題可知A，B可對(duì)角化.設(shè)A，B，的特征向量組合得到的可逆矩陣為P，于是有且，顯然。

解析：首先按例3的思路將線性變換問(wèn)題轉(zhuǎn)化為矩陣問(wèn)題，即設(shè)在中基下的矩陣為，且的特征值為，則根據(jù)若爾當(dāng)分解，存在可逆矩陣 有

實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化在求正定矩陣的次方根問(wèn)題中發(fā)揮重要作用，類比例5，求解時(shí)倒著進(jìn)行即可，如下例：

2.3 合同分解在考研數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

合同關(guān)系下的分解常與二次型相結(jié)合，常見(jiàn)的題型有求解二次型平方和形式的標(biāo)準(zhǔn)型、系數(shù)僅為1，-1和0情形的規(guī)范型以及相應(yīng)的非退化線性替換，此類題中最常見(jiàn)的方法是配方法和合同變換法，而后者是考研數(shù)學(xué)中的常用方法，即對(duì)構(gòu)造的矩陣實(shí)施初等變換：

右半邊的轉(zhuǎn)置即為需要求解的變換矩陣.根據(jù)該方法，易解決如下例題：

例10：（北京郵電大學(xué)大學(xué)2018）求下述二次型的規(guī)范型以及所做變換：

此外，由于正定矩陣具有合同于單位矩陣的特殊性質(zhì)，故合同分解也常是正定矩陣相關(guān)題型的突破口。

3 教學(xué)建議

數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)宏觀課題，關(guān)于此方面相關(guān)研究并不少[4]，本文僅對(duì)矩陣分解相關(guān)內(nèi)容就課堂教學(xué)展開(kāi)思考，為教與學(xué)提供借鑒。中國(guó)科學(xué)院院士李大潛在第四屆大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇上談數(shù)學(xué)教學(xué)方法時(shí)說(shuō)道[4]：“離開(kāi)目標(biāo)談方法，不免無(wú)的放矢”，對(duì)矩陣分解的內(nèi)容教學(xué)來(lái)說(shuō)亦是如此.在高等代數(shù)的教學(xué)中，等價(jià)、相似與合同分別從線性方程組求解、線性變換的簡(jiǎn)單表示矩陣及二次型的化簡(jiǎn)引入，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為對(duì)矩陣的簡(jiǎn)化研究。教學(xué)中，首先要盡量增強(qiáng)矩陣分解與實(shí)際應(yīng)用的結(jié)合，增加案例分析，啟迪學(xué)生聯(lián)系理論與應(yīng)用，避免將相關(guān)內(nèi)容變得抽象化。其次，充分運(yùn)用對(duì)比思想加深學(xué)生對(duì)基本理論的認(rèn)識(shí)。許多學(xué)生學(xué)完高等代數(shù)后，對(duì)等價(jià)、相似及合同概念容易混淆，教師在教授后一塊內(nèi)容時(shí)要與前面內(nèi)容加強(qiáng)對(duì)比，通過(guò)實(shí)例強(qiáng)調(diào)它們的區(qū)別，并要求學(xué)生自行總結(jié)，鞏固并掌握本質(zhì)思想。最后，需充分利用現(xiàn)代化技術(shù)手段展示矩陣分解的魅力。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅為知識(shí)的傳授，更重要的是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，引領(lǐng)學(xué)生自發(fā)學(xué)習(xí)并使用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題，故在課堂中可適當(dāng)增加一些矩陣分解前沿應(yīng)用展示，讓學(xué)生從拓展中增強(qiáng)對(duì)此塊內(nèi)容的理解并啟發(fā)學(xué)生用于探索，挖掘矩陣分解的無(wú)限魅力。