基于線性二次型的剛?cè)徇B接件振顫抑制方法研究①

李閱文， 許德章,*

(1.安徽工程大學(xué) 人工智能學(xué)院,安徽 蕪湖 241000；2.蕪湖安普機(jī)器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院,安徽 蕪湖 241007)

0 引 言

柔性機(jī)械臂具有工作空間大、重量輕、運(yùn)動(dòng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，使其在航空航天、智能制造、醫(yī)療器械等領(lǐng)域具有非常廣闊的應(yīng)用前景[1]。然而，由于低剛度引起的彈性振動(dòng)問(wèn)題嚴(yán)重限制了柔性機(jī)械臂的應(yīng)用。因此，如何有效抑制柔性機(jī)械臂的振動(dòng)正成為該領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)研究方向。在動(dòng)力學(xué)理論建模方面，郭珂甫[2]采用假設(shè)模態(tài)法描述柔性機(jī)械臂的彈性變形，并基于Lagrange方程建立具有末端集中質(zhì)量的柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型。Meng Q等[3]基于假設(shè)模態(tài)法與拉格朗日法建立了兩連桿剛?cè)釞C(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型。在振顫抑制策略的研究方面，Sun C等[4]提出了一種模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制策略抑制柔性機(jī)械臂的振動(dòng)。Deng H等[5]提出了一種最優(yōu)輸入整形控制策略抑制柔性機(jī)械臂的振動(dòng)。張壯[6]與郭珂甫等[7]提出了采用線性二次型最優(yōu)控制方法抑制柔性機(jī)械臂的振動(dòng)。針對(duì)剛?cè)徇B接件的振顫難以快速抑制問(wèn)題，采用線性二次型最優(yōu)控制方法進(jìn)行研究，通過(guò)遺傳算法優(yōu)化加權(quán)矩陣的參數(shù)取值，建立振顫抑制評(píng)價(jià)指標(biāo)量化振顫抑制效果，分析遺傳算法優(yōu)化前后的振顫抑制效果，以驗(yàn)證所提方法的有效性。

1 剛?cè)徇B接件的動(dòng)力學(xué)模型

剛?cè)徇B接件的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，其中第一連桿為剛性連桿，第二連桿為柔性連桿，桿長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1與L2，τ1和τ2分別是關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩，由兩個(gè)關(guān)節(jié)處的電機(jī)驅(qū)動(dòng)連桿運(yùn)動(dòng)，θ1和θ2分別為剛性連桿和柔性連桿的偏轉(zhuǎn)角，ω(x,t)為柔性連桿上任意點(diǎn)的彈性撓度。XOY為慣性坐標(biāo)系，X1O1Y1為浮動(dòng)坐標(biāo)系，用來(lái)描述柔性連桿的振顫撓曲變形，其原點(diǎn)位于關(guān)節(jié)2的質(zhì)心位置。

圖1 剛?cè)徇B接件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

柔性連桿屬于細(xì)長(zhǎng)梁結(jié)構(gòu)，其橫截面尺寸遠(yuǎn)小于長(zhǎng)度方向的尺寸，滿足Euler-Bernoulli梁理論，即剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響可以忽略不計(jì)。由于研究剛?cè)徇B接件在水平面上運(yùn)動(dòng)，重力對(duì)連桿的影響可忽略不計(jì)。

柔性機(jī)械臂的自由振動(dòng)方程可表示為

(1)

式中，材料密度ρ、橫截面積A和彎曲剛度EI為柔性連桿的參數(shù)。

剛?cè)徇B接件的柔性連桿可視為一個(gè)懸臂梁，其邊界條件為

(2)

通常情況下，取前N階模態(tài)可以滿足橫向振動(dòng)位移的精度要求，柔性機(jī)械臂的彈性變形ω(x,t)可以表示為：

(3)

剛?cè)徇B接件的總動(dòng)能可表示為

(4)

忽略重力的影響，剛?cè)徇B接件的彈性勢(shì)能可表示為

(5)

采用Euler-Lagrange方法，得剛?cè)徇B接件的動(dòng)力學(xué)方程為

(6)

式中，L=T-U為拉格朗日方程。

2 建立線性二次型最優(yōu)控制模型

2.1 線性二次型最優(yōu)控制理論

參考劉妹琴等[8]所著文獻(xiàn)，線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程表示為

(7)

設(shè)初始狀態(tài)為x(t0)=[θ10,θ20,0,…,0]，終止?fàn)顟B(tài)為x(tf)=[θ1f,θ2f,0,…,0]，且初始時(shí)刻和終止時(shí)刻滿足t0=0、tf→∞。

將建立的動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程，推導(dǎo)出剛?cè)徇B接件的狀態(tài)空間表達(dá)式為

(8)

式中，M為廣義質(zhì)量矩陣，K為廣義剛度矩陣，C為阻尼矩陣。

姚星宇[9]提出了前兩階模態(tài)在柔性機(jī)械臂末端振動(dòng)中起主要作用，選取柔性機(jī)械臂的前兩階模態(tài)進(jìn)行研究。

為了求解狀態(tài)空間表達(dá)式，給出剛?cè)徇B接件的具體參數(shù)。剛性連桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1=300mm，柔性連桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)2=500mm，截面寬度b=40mm，截面高度h=2mm，材料選用碳纖維，密度ρ=1.8×103kg/m3，彈性模量為E=230GPa，關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)到慣量為I=0.38kg·m2。將剛?cè)徇B接件的參數(shù)代入公式(8)求解，可得

(9)

(10)

采用線性二次型的輸出跟蹤最優(yōu)反饋控制方法抑制柔性機(jī)械臂末端的振動(dòng)，其控制原理如圖2所示，此時(shí)的性能指標(biāo)函數(shù)為

(11)

圖2 線性二次型最優(yōu)控制原理圖

保證性能指標(biāo)J達(dá)到最小值的最優(yōu)控制為

u*(t)=-R-1BTPx(t)

(12)

2.2 加權(quán)矩陣對(duì)線性二次型最優(yōu)控制的影響

加權(quán)矩陣Q與R的參數(shù)選取關(guān)系著剛?cè)徇B接件的振動(dòng)抑制效果，同時(shí)加權(quán)矩陣Q的維數(shù)須與狀態(tài)方程的矩陣A相等，加權(quán)矩陣R的維數(shù)須與狀態(tài)方程的矩陣B相等，因此令加權(quán)矩陣Q為

為了探究加權(quán)矩陣Q與R的對(duì)角線參數(shù)取值對(duì)控制的效果，利用控制變量法分別進(jìn)行兩組實(shí)驗(yàn)。第一組，保持矩陣R相同，改變加權(quán)矩陣Q的對(duì)角線參數(shù)值；第二組，保持矩陣Q相同，改變加權(quán)矩陣R的對(duì)角線參數(shù)值。

首先討論加權(quán)矩陣R取值相同時(shí)，研究加權(quán)矩陣Q的對(duì)角線參數(shù)取不同數(shù)值時(shí)對(duì)控制系統(tǒng)的影響。令R取值為1，加權(quán)矩陣Q的對(duì)角線參數(shù)q11取值分別為1,10,100,1000，此時(shí)q22至q66的取值均為1。從圖3的階躍響應(yīng)曲線可知，q11的參數(shù)取值越大，控制系統(tǒng)的響應(yīng)越靈敏，但趨于穩(wěn)定狀態(tài)的波動(dòng)幅值較大。

從圖4的階躍響應(yīng)曲線可知，四條曲線的走向趨勢(shì)基本一致，通過(guò)局部放大圖可以看出,當(dāng)加權(quán)矩陣Q的其他對(duì)角線參數(shù)取相同值時(shí)，q22的參數(shù)取值越小則系統(tǒng)的響應(yīng)速度略有提高。同理，通過(guò)仿真分析可知，加權(quán)矩陣Q的其他對(duì)角線元素q33,q55,q66對(duì)控制的影響同q22對(duì)控制系統(tǒng)的影響一致。

圖3 加權(quán)矩陣Q中對(duì)角線元素q11對(duì)控制的影響效果圖

圖4 加權(quán)矩陣Q中對(duì)角線元素q22對(duì)控制的影響效果圖

圖5為加權(quán)矩陣Q中對(duì)角線元素q44的階躍響應(yīng)曲線，當(dāng)加權(quán)矩陣Q的其他對(duì)角線參數(shù)取相同值時(shí)，q44的參數(shù)取值越小則系統(tǒng)的響應(yīng)越靈敏，且在較短時(shí)間內(nèi)即可達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但趨于穩(wěn)定狀態(tài)的波動(dòng)幅值較大。

圖5 加權(quán)矩陣Q中對(duì)角線元素q44對(duì)控制的影響效果圖

接著討論加權(quán)矩陣Q取相同值時(shí)，研究加權(quán)矩陣R的對(duì)角線參數(shù)取不同數(shù)值時(shí)對(duì)控制系統(tǒng)的影響。令加權(quán)矩陣Q的取值為Q=diag([1000,1,1,1,1,1])，設(shè)置4組不同對(duì)角線參數(shù)的取值，則加權(quán)矩陣R的對(duì)角線參數(shù)取值分別為0.1,0.5,1,10。

從圖6的階躍響應(yīng)曲線可知，當(dāng)加權(quán)矩陣Q取相同數(shù)值時(shí)，R的取值越小，控制系統(tǒng)的響應(yīng)越靈敏，且在較短時(shí)間內(nèi)即可達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，但趨于穩(wěn)定狀態(tài)的波動(dòng)幅值較大。

圖6 加權(quán)矩陣R中對(duì)角線參數(shù)對(duì)控制的影響效果圖

通過(guò)上述加權(quán)矩陣的對(duì)角線參數(shù)對(duì)控制的影響可知，q11取值應(yīng)該大一些，而q22至q66以及R的取值應(yīng)該小一些，選取線性二次型最優(yōu)控制的參數(shù)如下。

R=0.1

求解反饋增益矩陣K，可得

此時(shí)最優(yōu)控制

3 基于遺傳算法優(yōu)化的線性二次型最優(yōu)控制

遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)是John Henry Holland參考生物進(jìn)化規(guī)律而提出的一種全局隨機(jī)搜索算法，吸收了生物進(jìn)化論中的自然選擇和遺傳機(jī)制，具有較好的搜索尋優(yōu)能力。

鑒于線性二次型(LQR)最優(yōu)控制的加權(quán)矩陣參數(shù)難以通過(guò)經(jīng)驗(yàn)和仿真分析取得最優(yōu)值，本文采用遺傳算法的全局隨機(jī)搜索能力優(yōu)化加權(quán)矩陣參數(shù)，提高所提控制策略對(duì)剛?cè)徇B接件振顫抑制的性能。

根據(jù)現(xiàn)有的文獻(xiàn)和大量的實(shí)驗(yàn)得知，加權(quán)矩陣Q與R的參數(shù)取值范圍如表1所示。

表1 基于遺傳算法的加權(quán)矩陣Q與R參數(shù)取值范圍

采用遺傳算法優(yōu)化線性二次型加權(quán)矩陣Q與R的參數(shù)取值步驟如下。

步驟1：依據(jù)參數(shù)取值范圍約束產(chǎn)生初始種群。

步驟2：將初始化產(chǎn)生的種群個(gè)體依次賦值給加權(quán)矩陣的對(duì)角線參數(shù)q11,q22,q33,q44,q55,q66以及R，求解反饋增益矩陣K和最優(yōu)控制u*(t)。

步驟3：求出剛?cè)徇B接件的柔性機(jī)械臂末端的振動(dòng)量，并得到每個(gè)個(gè)體的性能指標(biāo)。

步驟4：計(jì)算每個(gè)個(gè)體對(duì)應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)值，判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)，若滿足則輸出最優(yōu)個(gè)體，即執(zhí)行步驟6，否則繼續(xù)執(zhí)行步驟5。

步驟5：執(zhí)行選擇、交叉、變異操作，并設(shè)定遺傳算法參數(shù)，具體包括種群大小M=40、最大迭代次數(shù)G=100、交叉概率、Pc=0.9和變異概率Pm=0.01，根據(jù)設(shè)定的概率參數(shù)進(jìn)行遺傳操作，繼續(xù)執(zhí)行步驟1。

步驟6：輸出目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)的種群個(gè)體值，并計(jì)算參數(shù)最優(yōu)值時(shí)的剛?cè)徇B接件最優(yōu)控制。

遺傳算法優(yōu)化后的加權(quán)矩陣Q與R參數(shù)最優(yōu)值如表2所示。

表2 遺傳算法優(yōu)化后的加權(quán)矩陣Q與R參數(shù)最優(yōu)值

求解反饋增益矩陣K，可得

此時(shí)最優(yōu)控制

4 仿真結(jié)果分析

為了清晰地體現(xiàn)線性二次型(LQR)最優(yōu)控制和遺傳算法優(yōu)化LQR最優(yōu)控制(GA-LQR)對(duì)剛?cè)徇B接件的振顫抑制效果，采用遺傳算法優(yōu)化前后的柔性機(jī)械臂端部轉(zhuǎn)角、控制力矩和末端振動(dòng)位移進(jìn)行對(duì)比分析，以驗(yàn)證所提抑振方法的有效性。

遺傳算法優(yōu)化前后的柔性機(jī)械臂端部轉(zhuǎn)角如圖7所示，相較于LQR控制在7秒左右達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，GA-LQR控制僅需2.3秒即達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，最終在期望轉(zhuǎn)角1rad處穩(wěn)定下來(lái)，因此GA-LQR極大地縮短了剛?cè)徇B接件的振顫時(shí)間的同時(shí)有效降低了運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的振顫幅值。

圖7 優(yōu)化前后柔性機(jī)械臂端部轉(zhuǎn)角對(duì)比圖

遺傳算法優(yōu)化前后的柔性機(jī)械臂控制力矩如圖8所示，相較于LQR控制時(shí)的最大控制力矩為19.25N·m，GA-LQR控制時(shí)的最大控制力矩為7.837N·m，明顯減小了控制力矩幅值，且僅需要4.3秒即可達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，有效提高了剛?cè)徇B接件的響應(yīng)速度。

圖8 優(yōu)化前后柔性機(jī)械臂控制力矩u(t)對(duì)比圖

遺傳算法優(yōu)化前后的柔性機(jī)械臂末端振動(dòng)位移如圖9所示，從圖中可以看出，相較于無(wú)控制時(shí)需要較長(zhǎng)時(shí)間衰減到穩(wěn)定狀態(tài)，LQR控制與GA-LQR控制分別在7秒和3.1秒達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。與此同時(shí)，LQR控制與GA-LQR控制的最大振動(dòng)位移分別為19.934mm,5.866mm，可以得出LQR控制與GA-LQR控制均可以有效抑制剛?cè)徇B接件的振顫，且GA-LQR控制在振顫幅值和抑振速度方面均優(yōu)于LQR控制。

圖9 優(yōu)化前后柔性機(jī)械臂末端振動(dòng)位移對(duì)比圖

為了更清晰地通過(guò)數(shù)值指標(biāo)衡量LQR控制和GA-LQR控制對(duì)剛?cè)徇B接件的振顫抑制效果，結(jié)合數(shù)值仿真的結(jié)果，提出振顫幅值抑制率、前十個(gè)振顫幅值的平均抑制率、振顫抑制速率三個(gè)指標(biāo)來(lái)對(duì)比LQR控制和GA-LQR控制對(duì)剛?cè)徇B接件的振顫抑制效果，建立的評(píng)價(jià)指標(biāo)表達(dá)式分別為

(13)

式中，η1為振顫幅值抑制率，Amax為剛?cè)徇B接件的柔性機(jī)械臂在無(wú)控制時(shí)末端自由振動(dòng)的位移幅值，Bmax為柔性機(jī)械臂分別在LQR控制和GA-LQR控制時(shí)末端振動(dòng)的位移幅值。

(14)

(15)

式中，η3為振顫抑制速率，TA為剛?cè)徇B接件的柔性機(jī)械臂在無(wú)控制時(shí)末端自由振動(dòng)位移為零的時(shí)間，TB為柔性機(jī)械臂分別在LQR控制和GA-LQR控制時(shí)末端振動(dòng)位移為零的時(shí)間。

將無(wú)控制、LQR控制和GA-LQR控制前后柔性機(jī)械臂末端的振動(dòng)位移數(shù)據(jù)，代入所建立的三個(gè)振顫抑制評(píng)價(jià)指標(biāo)表達(dá)式，得到振顫抑制評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果如表3所示。

表3 振顫抑制評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果

根據(jù)振顫抑制評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)果可知，LQR控制和GA-LQR控制均可以有效抑制剛?cè)徇B接件的振顫問(wèn)題，在振顫抑制速率方面尤其明顯，均可以達(dá)到95%以上，極大地縮短了剛?cè)徇B接件的振顫時(shí)間。對(duì)于振顫幅值抑制率和前十個(gè)振顫幅值的平均抑制率方面，GA-LQR控制對(duì)幅值的抑制效果明顯優(yōu)于LQR控制。

5 結(jié) 論

采用線性二次型(LQR)最優(yōu)控制對(duì)剛?cè)徇B接件的柔性機(jī)械臂末端振顫進(jìn)行抑制研究，并與遺傳算法優(yōu)化后的線性二次型(GA-LQR)最優(yōu)控制的抑振效果對(duì)比分析。仿真結(jié)果表明，與LQR控制相比，GA-LQR控制可以有效抑制振動(dòng)位移的幅值，且抑振響應(yīng)較快，驗(yàn)證了該方法的有效性。