不確定離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)逼近事件觸發(fā)控制

丁三波,劉亞拴

(河北工業(yè)大學 人工智能與數(shù)據(jù)科學學院，天津 300401)

近年來,隨著網(wǎng)絡技術的迅速發(fā)展,網(wǎng)絡化控制系統(tǒng)由于成本較低,便于維護,可以有效地實現(xiàn)遠程控制和遠程診斷,受到了學者的廣泛關注。周期采樣是一種常見的網(wǎng)絡化控制方法[1-2]。此方法根據(jù)給定的采樣周期,對系統(tǒng)輸出進行周期性采樣和傳輸。周期采樣利于系統(tǒng)的設計與分析,但可能會產(chǎn)生冗余采樣信號,造成通信帶寬的浪費。為避免此類問題,學者引入了事件觸發(fā)控制(Event-triggered control,ETC)。在事件觸發(fā)控制中,只有在某一變量超過給定閾值時,控制器執(zhí)行更新任務,有效地節(jié)約了通信帶寬資源[3-5]。目前,事件觸發(fā)控制已經(jīng)廣泛存在于各個領域的研究[6-8]。

離散時間系統(tǒng)是很常見的物理系統(tǒng),針對離散時間系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制也屢見不鮮。如Shen等[9]研究了一類具有隨機參數(shù)和不完全測量的離散時間混合時滯神經(jīng)網(wǎng)絡的事件觸發(fā)狀態(tài)估計問題。Hu等[10]研究了一類離散時間隨機系統(tǒng)的事件觸發(fā)機制控制問題,探討了數(shù)據(jù)丟包問題。文獻[9-10]設計的事件觸發(fā)方案均采用了傳統(tǒng)的誤差測量方式,以狀態(tài)反饋為例,傳統(tǒng)測量誤差的定義為常采樣信號與系統(tǒng)當前狀態(tài)之間的差。在觸發(fā)時刻kl到下一次觸發(fā)時刻kl+1內(nèi),被控對象在控制信號的作用下,系統(tǒng)狀態(tài)的演化整體趨勢是收斂的,所以測量誤差會隨時間逐步增大,而這會導致測量誤差很容易超過預設的常數(shù)閾值或時變閾值,使得相鄰觸發(fā)間隔較小,造成較高的觸發(fā)頻率。

本文從狀態(tài)預測或逼近的角度,針對離散線性/非線性系統(tǒng)分別逐段構造了狀態(tài)逼近解,逼近解可以跟隨閉環(huán)系統(tǒng)離散狀態(tài)的局部變化趨勢,實現(xiàn)減少測量誤差的目的。設計了基于狀態(tài)逼近解的事件觸發(fā)控制器,并得到了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。同時,本文將該方法結(jié)合動態(tài)事件觸發(fā)策略[11],通過增大觸發(fā)閾值,達到更好的控制效果。最后通過數(shù)值仿真驗證了該方法的有效性,并與傳統(tǒng)事件觸發(fā)控制器[15-16]作比較,表明狀態(tài)逼近法可以有效地降低采樣次數(shù),減少通訊帶寬的浪費。

1 線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制

考慮如下離散線性系統(tǒng):

x(k+1)=(A+ΔA)x(k)+Bu(k)

(1)

式中：x(k)=col[x1(k),x2(k),…,xn(k)]∈Rn為狀態(tài)變量,u(k)∈Rq為要設計的控制器,A∈Rn×n和B∈Rn×q為常數(shù)矩陣。ΔA∈Rn×n為參數(shù)擾動。假設ΔA=EΣ(k)F,其中ΣT(k)Σ(k)≤I,E∈Rn×p,F∈Rp×n為已知矩陣。

在傳統(tǒng)的事件觸發(fā)控制[15-16]中,往往將控制器u(k)設計為

u(k)=Kx(kl)

(2)

式中kl≤k≤kl+1-1,K∈Rq×n為控制增益矩陣。通過定義ef(k)=x(k)-x(kl),設計如下觸發(fā)條件：

(3)

式中：Ω∈Rn×n為一個正定的常數(shù)矩陣,ε>0為觸發(fā)閾值。

事件觸發(fā)策略(3)實際上是將常采樣信號x(kl)代替了控制器u(k)=Kx(k)中的系統(tǒng)狀態(tài)x(k),或者說是常采樣信號x(kl)用來逼近系統(tǒng)當前狀態(tài)x(k),這容易造成較高的觸發(fā)頻率?；谏鲜龇椒ǖ木窒扌?本文提出基于狀態(tài)逼近的事件觸發(fā)控制方法。

對于無參數(shù)擾動系統(tǒng)：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

(4)

式中控制器為u(k)=Kx(k),系統(tǒng)(4)在k∈[kl,kl+1-1]上的解析解為x(k)=(A+BK)k-klx(kl),不妨將該解析解視為系統(tǒng)(1)的狀態(tài)的逼近解來研究系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性。

令xg(k)=(A+BK)k-klx(kl),構造控制器為

u(k)=Kxg(k)

(5)

式中k∈[kl,kl+1-1]。定義測量誤差eg(k)=x(k)-xg(k),設計事件觸發(fā)條件為：

k0=0

(6)

式中：Ω∈Rn×n為正定常數(shù)矩陣,ε>0為觸發(fā)閾值。

聯(lián)立系統(tǒng)(1)和控制器(5),可以得出：

Δx(k)=(A+ΔA+BK-I)x(k)-BKeg(k)

(7)

式中Δx(k)=x(k+1)-x(k)。

在定理1中,給出了系統(tǒng)(1)基于控制器(5)和事件觸發(fā)條件(6)的控制下漸近穩(wěn)定的充分條件。

定理1對于給定的觸發(fā)閾值ε>0和控制增益矩陣K∈Rm×n。如果存在恰當維數(shù)的矩陣P>0,Ω>0,N=col[N1,N2,N3],以及正常數(shù)r0使下列條件成立,則事件觸發(fā)條件(6)和控制器(5)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的。

(8)

其中：

r0FTF+εΩ

證明考慮下面Lyapunov函數(shù)：

V(k)=xT(k)Px(k)

(9)

計算V(k)的差分,可得

ΔV(k)=V(k+1)-V(k)=

xT(k+1)Px(k+1)-xT(k)Px(k)=

ΔxT(k)Px(k)+2xT(k)Px(k)

(10)

令ξg(k)=col{x(k),Δx(k),eg(k)},則對于適當維數(shù)的矩陣N=col[N1,N2,N3],以及正常數(shù)r0,下列不等式條件成立：

EΣ(k)F)x(k)-BKeg(k)]≤

BKeg(k)]+r0xT(k)FTFx(k)+

(11)

對于k∈[kl,kl+1-1],由事件觸發(fā)條件(6),有

(12)

聯(lián)立式(10)～(12)可得

(13)

其中

(14)

根據(jù)Schur補定理,條件(8)等價于Π<0。證明完成。

文獻[12]提出了離散時間系統(tǒng)的動態(tài)事件觸發(fā)方案。這種方法實際上是增大了觸發(fā)的閾值。本文的方法完全可以結(jié)合動態(tài)事件觸發(fā)方案進行推廣,進而降低網(wǎng)絡的通訊負擔。定義如下γ(k)變量:

εxT(k)Ωx(k)

(15)

式中γ(0)≥0,相應的動態(tài)觸發(fā)條件為：

k0=0

εxT(k)Ωx(k))<0}

(16)

式中0<ρ<1,θ≥1/ρ。文獻[12]證明了在區(qū)間k∈[0,+∞)中,γ(k)≥0,所以動態(tài)觸發(fā)條件(16)可能會比靜態(tài)觸發(fā)條件(6)產(chǎn)生較少的觸發(fā)次數(shù)。

注2觸發(fā)條件(16)在增加了觸發(fā)閾值的同時,減小了測量誤差的取值。從降低系統(tǒng)通訊負擔的角度而言,將是一種更好的選擇。當θ趨于無窮時,觸發(fā)條件(6)可以看作式(16)的極限情況。

推論1對于給定的觸發(fā)閾值ε>0和控制增益矩陣K∈m×n。如果定理1中的條件成立,則在事件觸發(fā)條件(16)和控制器(5)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的。

ΔxT(k)PΔx(k)+2ΔxT(k)Px(k)+

εxT(k)Ωx(k)≤

ΔxT(k)PΔx(k)+2ΔxT(k)Px(k)-

(17)

將式(17)代替定理1中的式(10)和式(12),其余證明與定理1相似,在這里不再贅述。

2 非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制

考慮如下離散非線性系統(tǒng)：

x(k+1)=(A+ΔA)x(k)+

(W+ΔW)f(W0x(k))+Bu(k)

(18)

式中x(k)=col[x1(k),x2(k),…,xn(k)]∈n為狀態(tài)變量,u(k)=Kx(k)為要設計的控制器,W∈Rn×m和W0∈Rm×n為系統(tǒng)矩陣。ΔA∈Rn×n,ΔW∈Rn×m為參數(shù)擾動。且滿足ΔA=EΣ(k)F,ΔW=GΘ(k)H,其中ΣT(k)Σ(k)≤I,ΘT(k)Θ(k)≤I。E、G、F、H為已知矩陣。非線性函數(shù)f(·)=col[f1(·),f2(·),…,fm(·)]。其余符號與系統(tǒng)(1)一致。

假設函數(shù)fr(·)滿足fr(0)=0以及下面條件：

(19)

式中l(wèi)1r、l2r為已知常數(shù)。記l1=diag{l11,l12,…,l1m},l2=diag{l21,l22,…,l2m}。

注3本文假設非線性系統(tǒng)(18)滿足Lipschitz條件(19)。在實際中,有許多系統(tǒng)滿足該條件[17-20],例如經(jīng)典的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡模型、Lur’e型系統(tǒng)、蔡氏電路系統(tǒng)以及Ikeda-type振蕩器等。

對任意滿足條件l1≤L≤l2的常對角矩陣L,將離散非線性系統(tǒng)(18)線性化近似為帶有參數(shù)擾動的線性系統(tǒng):

x(k+1)=[A+ΔA+(W+ΔW)LW0]x(k)+Bu(k)

(20)

對于無擾動離散系統(tǒng)：

x(k+1)=(A+WLW0)x(k)+Bu(k)

(21)

式中控制器為u(k)=Kx(k)?？梢缘玫较到y(tǒng)(21)在k∈[kl,kl+1-1]的解析解為

xh(k)=(A+BK+WLW0)k-klx(kl)

(22)

將解析解(22)當作系統(tǒng)(18)的逼近解。構造如下控制器：

u(k)=Kxh(k)

(23)

式中k∈[kl,kl+1-1]。定義eh(k)=x(k)-xh(k)。設計如下事件觸發(fā)條件：

k0=0

(24)

式中：Ω∈Rn×n為正定常數(shù)矩陣,ε>0為觸發(fā)閾值。

聯(lián)立系統(tǒng)(18)和控制器(23),可得

Δx(k)=(A+ΔA+BK-I)x(k)+

(W+ΔW)f(W0x(k))-BKeh(k)

(25)

式中Δx(k)=x(k+1)-x(k)。

定理2給出了離散非線性系統(tǒng)(18)基于控制器(23)與事件觸發(fā)條件(24)的穩(wěn)定性判據(jù)。

定理2對于給定的觸發(fā)閾值ε>0和控制增益矩陣K∈Rm×n。如果存在恰當維數(shù)的矩陣P>0,Ω>0,N=col[N1,N2,N3,N4],m階對角正定矩陣Λ,以及正常數(shù)r1,r2,使下列條件成立,則事件觸發(fā)條件(24)和控制器(23)可以保證閉環(huán)系統(tǒng)(17)是漸近穩(wěn)定的。

(26)

其中：

證明考慮下面Lyapunov函數(shù)：

V(k)=xT(k)Px(k)

(27)

計算V(k)的差分,可得

ΔV(k)=V(k+1)-V(k)=

xT(k+1)Px(k+1)-xT(k)Px(k)=

ΔxT(k)PΔx(k)+2xT(k)Px(k)

(28)

令ξh(k)=col{x(k),Δx(k),f(W0x(k)),eg(k)},則對于適當維數(shù)的矩陣N=col[N1,N2,N3,N4],以及正常數(shù)r1,r2下列不等式條件成立：

EΣ(k)F)×x(k)+(W+GΘ(k)H)f(W0x(k))-

(A+BK-I)x(k)+Wf(W0x(k))-BKeh(k)]+

r1xT(k)FTFx(k)+r2fT(W0x(k))HTHf(W0x(k))

(29)

考慮關于非線性函數(shù)f(·),根據(jù)式(19),對于任何正定矩陣Λ∈m×m,下列不等式成立:

0≤2(f(W0x(k))-l2W0x(k))TΛ×
(l1W0x(k)-f(W0x(k)))

(30)

對于k∈[kl,kl+1-1],根據(jù)事件觸發(fā)條件(24),有

(31)

聯(lián)立式(28)～(31)可得

(32)

式中

(33)

根據(jù)Schur補定理,條件(26)等價于Ξ<0。證明完成。

定理2的結(jié)果可以結(jié)合動態(tài)事件觸發(fā)策略進一步提高。定義如下μ(k)變量：

εxT(k)Ωx(k)

(34)

式中μ(0)≥0,由文獻[12]可知,在區(qū)間k∈[0,+∞)中,μ(k)≥0。相應動態(tài)觸發(fā)條件為：

k0=0

εxT(k)Ωx(k))<0}

(35)

式中0<ρ<1,θ≥1/ρ。

推論2對于給定的觸發(fā)閾值ε>0,θ>0和控制增益矩陣K∈Rm×n。如果定理2中的條件成立,則事件觸發(fā)條件(35)和控制器(23)可以保證系統(tǒng)(18)是漸近穩(wěn)定的。

注4通過構造逼近解,本文將測量誤差e(k)=x(k)-x(kl)改為eg(k)和eh(k),減小了測量誤差的取值,有利于降低事件觸發(fā)的次數(shù)。但是與傳統(tǒng)事件觸發(fā)方法相比[15-16],本文所提方法并不會降低穩(wěn)定性判據(jù)的保守性。

3 數(shù)值仿真

例1在本例中,考慮倒立擺模型,其線性化動力學模型如下:

(36)

式中θ為擺角,u(t)為作用在小車上的力,擺錘質(zhì)量m=0.1 kg,小車質(zhì)量M=0.1 kg,擺錘長度l=0.136 m,這里取重力加速度g=9.8 m/s2,用ΔA=EΣ(t)F用以描述倒立擺控制系統(tǒng)的參數(shù)不確定性[21],取E=col[0.4 0.8],F=[0 0.1],Σ(t)=sin(t)。

令采樣周期為0.005 s,通過將上式離散化得到:

(37)

考慮具有以下參數(shù)的離散線性系統(tǒng),取K=[2.854 8 0.475 8],觸發(fā)閾值ε=0.1。

通過LMI工具箱解線性矩陣不等式(8),可得

(38)

選取初始條件為x(0)=col[0.2,0],迭代次數(shù)取T=500。

圖1、2分別為本文所提出的方法與傳統(tǒng)事件觸發(fā)方法[15-16]的控制器響應。本文所提出的方法觸發(fā)次數(shù)為5次,傳統(tǒng)事件觸發(fā)方法的觸發(fā)次數(shù)為69次。很容易看出本文所提出的方法策略能有效減少觸發(fā)次數(shù)。

圖1 控制器響應：狀態(tài)逼近ETC方法

圖2 控制器響應：傳統(tǒng)ETC[15-16]

接下來,比較本文中基于狀態(tài)逼近的動態(tài)觸發(fā)控制與文獻[12]的仿真結(jié)果,令式(15)中的ρ=0.5,θ=3,迭代次數(shù)為T=500。圖3、4為控制器響

圖3 控制器響應和動態(tài)變量γ(k)：狀態(tài)逼近動態(tài)ETC

圖4 控制器響應和動態(tài)變量γ(k)：文獻[12]的動態(tài)ETC

應和動態(tài)變量γ(k)的仿真結(jié)果。仿真中,本文中基于動態(tài)觸發(fā)條件(6)產(chǎn)生的事件觸發(fā)次數(shù)為4次,而文獻[12]中的方法為28次,是本文方法的7倍。因此,本文提出的狀態(tài)逼近法可以有效減少事件發(fā)生的次數(shù)。

通過LMI工具箱解出線性矩陣不等式(26),可得

(39)

選擇初始條件x(0)=col[3,-3,4],迭代次數(shù)T=50。圖5、6分別給出了本文所提出方法與傳統(tǒng)事件觸發(fā)方法[15-16]對應的事件觸發(fā)間隔。本文所提出的方法與傳統(tǒng)事件觸發(fā)方法的采樣數(shù)量分別為6、22,可以看出本文所提出的方法策略能有效減少采樣數(shù)量。

圖5 事件觸發(fā)時刻和間隔：狀態(tài)逼近ETC方法

圖6 事件觸發(fā)時刻和間隔：傳統(tǒng)ETC[15-16]

將文獻[12]所用方法與本文中基于狀態(tài)逼近的動態(tài)觸發(fā)作比較,設動態(tài)觸發(fā)條件(34)中的ρ=0.5,θ=3,迭代次數(shù)為T=50。圖7、8分別給出了動態(tài)變量μ(k)和事件觸發(fā)間隔的仿真結(jié)果。在圖7中,本文方法基于動態(tài)觸發(fā)條件(35)產(chǎn)生的事件數(shù)為4次,而在圖8中,文獻[12]中的方法為14次。本文提出的狀態(tài)逼近法可以有效減少事件發(fā)生的次數(shù),并且本文方法結(jié)合動態(tài)事件觸發(fā)策略進一步減少了事件觸發(fā)次數(shù)。

圖7 動態(tài)變量μ(k)與事件觸發(fā)時刻和間隔：狀態(tài)逼近動態(tài)ETC

圖8 動態(tài)變量μ(k)與事件觸發(fā)時刻和間隔：文獻[12]的動態(tài)ETC

4 結(jié) 論

1)針對帶有參數(shù)擾動的線性/非線性系統(tǒng),利用系統(tǒng)矩陣、采樣信號和無擾動離散線性系統(tǒng)解析解的定義逐段構造狀態(tài)逼近解,逼近解可以一定程度上跟隨系統(tǒng)當前狀態(tài),減少測量誤差。設計了基于狀態(tài)逼近解的控制器和事件觸發(fā)條件。通過構造Lyapunov泛函分別給出了線性/非線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。并將狀態(tài)逼近法結(jié)合動態(tài)事件觸發(fā)策略做了進一步研究。

2)通過列舉倒立擺系統(tǒng)和蔡氏電路的實驗表明,相比傳統(tǒng)事件觸發(fā)控制方法,本文提出基于狀態(tài)逼近的事件觸發(fā)控制方法產(chǎn)生的事件次數(shù)更少,可以有效地節(jié)約通訊帶寬資源。