基于改進(jìn)層次分析法的指標(biāo)權(quán)重方案設(shè)計(jì)

張 馳

（江蘇財(cái)經(jīng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院智能工程技術(shù)學(xué)院，江蘇 淮安 223000）

0 引言

考核與評(píng)價(jià)是一個(gè)單位對(duì)部門和員工工作的檢查，是判斷工作完成情況好、壞的標(biāo)準(zhǔn)，是資源再分配的重要依據(jù)。優(yōu)秀的評(píng)價(jià)方案能體現(xiàn)工作重點(diǎn)，充分調(diào)動(dòng)員工積極性，對(duì)領(lǐng)導(dǎo)者、普通員工均有重要價(jià)值。一個(gè)優(yōu)秀的考核評(píng)價(jià)過程最重要的步驟便是對(duì)考核指標(biāo)進(jìn)行權(quán)重賦予。只有客觀科學(xué)的權(quán)重賦予，才會(huì)使評(píng)價(jià)目標(biāo)清晰明確、主次分明。傳統(tǒng)的指標(biāo)權(quán)重一般依賴于專家的經(jīng)驗(yàn)直接賦予。這種方案指標(biāo)明確，權(quán)重清晰，可以將指標(biāo)完成情況以具體的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出來。但其不合理之處也十分明顯。首先，權(quán)重產(chǎn)生由專家直接給出，主觀性太強(qiáng)。其次，權(quán)重固定單一，不同的考核主題重點(diǎn)不同，固定權(quán)重顯然不能突出重點(diǎn)。因此權(quán)重的產(chǎn)生必須是相對(duì)客觀的、動(dòng)態(tài)的。這就需要一套針對(duì)考核主題產(chǎn)生相應(yīng)權(quán)重的過程，該過程必須減少主觀性的影響。這種為了產(chǎn)生合理權(quán)重而進(jìn)行的過程可以稱之為權(quán)重產(chǎn)生的模型，它對(duì)權(quán)重產(chǎn)生至關(guān)重要。

1 經(jīng)典層次分析法分析

層次分析法[1]是權(quán)重產(chǎn)生的優(yōu)秀模型之一，誕生于20世紀(jì)70年代初，經(jīng)過幾十年的檢驗(yàn)，它被事實(shí)證明是一個(gè)優(yōu)秀的、科學(xué)的模型，在考核評(píng)價(jià)領(lǐng)域具有一定的權(quán)威性，是一個(gè)針對(duì)多目標(biāo)、多層次的綜合決策模型。它主要由4個(gè)步驟組成。

1.1 構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)模型

構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)模型[2]如圖1所示。

圖1 層次結(jié)構(gòu)模型

1.2 構(gòu)造對(duì)比判斷矩陣

層次分析法的第二步便是構(gòu)造對(duì)比矩陣[3]，它是整個(gè)層次分析法最重要的部分。其主要意義在于將定性指標(biāo)間的關(guān)系描述成定量數(shù)據(jù)之間的關(guān)系。指標(biāo)權(quán)重正是由對(duì)比矩陣的構(gòu)建而產(chǎn)生的。由于指標(biāo)很多，專家在權(quán)重設(shè)置中很難精確地把握，因此廣泛采用1～9尺度標(biāo)準(zhǔn)作為確定判斷定量值的依據(jù)。重要性越大，值越高。為更符合人們的正常思維，一般可以采用十分制打分。如打分為wi、wj，取aij=wi/wj，進(jìn)而形成判斷矩陣，如公式（1）所示。

1.3 計(jì)算判斷矩陣權(quán)向量

層次分析法的第三步便是計(jì)算權(quán)向量[4]，以歸一化的權(quán)向量值作為指標(biāo)的權(quán)重。

將矩陣還原可得公式（2）。

通過觀察可知，判斷矩陣恰好與向量W=（w1，w2，w3，…，wn）T存在正比關(guān)系，如果將w1，w2，w3，…，wn歸一化，使其和為1，則可將w1，w2，w3，…，wn視為指標(biāo)的權(quán)重。這就是所謂層次分析法的權(quán)向量。

再通過仔細(xì)觀察，可以發(fā)現(xiàn)公式（3）。

式中：n為一具體實(shí)數(shù)，可知向量W可為判斷矩陣的特征向量。

而利用最小二乘法可以證明用特征方程求得的權(quán)向量平均誤差較小，因此采用求特征方程的方法求權(quán)向量。如果W的值不是唯一的，那么就存在選擇的問題：1）如果判斷矩陣A與公式（2）一致，即則稱A為一致陣。一致陣的秩是1，說明它存在唯一的非零特征根，即n是唯一的（矩陣的階數(shù)），那么W也就是唯一確定的，這是理想狀態(tài)。如果指標(biāo)存在層次性，將W歸一化即可認(rèn)為其元素是該指標(biāo)基于上層指標(biāo)的比重。2）專家的評(píng)判是主觀的，不是嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)計(jì)算。在以某一指標(biāo)為基準(zhǔn)時(shí)，專家的打分不一定滿足aij·ajk=aik。這就使矩陣A為普通的正互反矩陣。這時(shí)可以人為進(jìn)行規(guī)定，取最大特征值所產(chǎn)生的特征向量作為權(quán)向量W。因?yàn)閚越大，權(quán)向量W內(nèi)的元素相差也就相對(duì)較小，人為因素產(chǎn)生的偏差就最小。如果指標(biāo)存在層次性，將W歸一化即可認(rèn)為其元素是該指標(biāo)基于上層指標(biāo)的比重。

1.4 一致性檢驗(yàn)CR

由上述分析可知，最理想狀態(tài)的判斷矩陣為一致陣，它的每個(gè)相關(guān)元素之間的比率是一致的，唯一的非零特征根也可認(rèn)為是一致陣的最大特征值。而由于人為偏差，必然導(dǎo)致非一致的正互反矩陣的最大特征值大于階數(shù)n，并且元素偏離一致矩陣元素越多，最大特征值也就偏離越多。偏離過大的特征值所形成的權(quán)向量不能成為指標(biāo)權(quán)重。所以，層次分析法還要求對(duì)判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，即CR值[5]。

其中CR=CI/RI，RI為修正值，根據(jù)矩陣階數(shù)的不同，有不同的對(duì)照值。如果計(jì)算結(jié)果CR≤0.1[6]，則結(jié)果滿意。否則，不具有一致性，需要專家重新打分，直到滿足一致性檢驗(yàn)，這里不再贅述。

2 層次分析法的改進(jìn)

2.1 層次分析法的不足

2.1.1 兩兩對(duì)比過程過于冗長(zhǎng)

經(jīng)典的層次分析方法需要對(duì)指標(biāo)進(jìn)行兩兩比較[7]，然后得出二者重要性的大小。這種方法雖然降低了專家或決策者對(duì)指標(biāo)評(píng)價(jià)的難度，但同時(shí)也增加了專家或決策者對(duì)指標(biāo)判斷的次數(shù)。例如簡(jiǎn)單的4項(xiàng)指標(biāo)，專家要進(jìn)行4×3/2=6次比較才會(huì)形成比較矩陣，標(biāo)度量過大容易引起決策者的反感和混亂。

2.1.2 頻繁比較易造成矛盾

層次分析法之所以需要一致性檢驗(yàn)，就是因?yàn)榇罅康膬蓛蓪?duì)比易使專家產(chǎn)生混亂。例如，評(píng)價(jià)a、b、c這3位老師的教學(xué)水平，由于3位老師的教學(xué)水平差不多（出勤率、學(xué)生期末成績(jī)及格率等），只是在實(shí)際調(diào)查中c老師學(xué)生的期末成績(jī)獲得高分的人比a、b老師的學(xué)生多一點(diǎn)，在兩兩比較判斷中會(huì)出現(xiàn)如下情況：1）a和b具有相同的重要性，a和b之間判斷矩陣A中的元素a12的值為1。2）判斷a和c時(shí)，專家沒考慮期末成績(jī)獲得高分人數(shù)這一因素，這樣a和c重要性也一樣，所以a和c之間判斷矩陣A中的元素a13的值也為1。3）判斷b和c時(shí)，專家又考慮期末成績(jī)獲得高分人數(shù)這一細(xì)微因素，認(rèn)為c比a好一些，所以給出b和c之間判斷矩陣A中的元素a23的值也為1/2，即c比b好。

這樣就形成了判斷矩陣，如公式（4）所示。

通過假設(shè)可以進(jìn)行邏輯判斷，由1）可知a與b重要性一致，由3）知b比c的重要性差，所以可得a比c的重要性差，這與假設(shè)2）矛盾。

因此可知，A是存在矛盾的判斷矩陣。當(dāng)指標(biāo)數(shù)很多時(shí)，很難發(fā)現(xiàn)判斷矩陣是否矛盾，如公式（5）所示。

這就是由于過多的、頻繁的比較后，人的主觀印象變化所造成的矛盾。所以需要一致性檢驗(yàn)來判斷矩陣是否存在矛盾。然而，在頻繁的對(duì)比過程中，即使是極有經(jīng)驗(yàn)的專家也難免發(fā)生錯(cuò)誤，這就會(huì)導(dǎo)致判斷矩陣時(shí)常不能通過一致性檢驗(yàn)。如果為了考評(píng)更客觀而邀請(qǐng)多位專家進(jìn)行對(duì)多項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行打分，導(dǎo)致對(duì)比更頻繁，會(huì)極大影響專家的情緒和考評(píng)工作的進(jìn)展。

2.2 經(jīng)典層次分析法的改進(jìn)

為了解決工作量大、多目標(biāo)易產(chǎn)生矛盾等不足，特做如下改進(jìn)。

首先，只對(duì)判斷矩陣的上三角或下三角進(jìn)行標(biāo)度。因?yàn)榕袛嗑仃囀钦シ淳仃?，矩陣主?duì)角線上的數(shù)字是互為倒數(shù)的。因此只需要對(duì)一半的矩陣進(jìn)行標(biāo)度。標(biāo)度公式如公式（6）所示。

其次，出現(xiàn)矛盾矩陣的罪魁禍?zhǔn)妆闶欠睆?fù)、大量的兩兩對(duì)比。如果比較次數(shù)較少，甚至只比較一次，矩陣其他元素由一次比較所形成的數(shù)據(jù)之間的關(guān)系得出，便不會(huì)產(chǎn)生矛盾矩陣。所以只需要取1個(gè)元素為標(biāo)準(zhǔn)比較，判斷矩陣的其他元素由專家打分的比值或差值得出，這樣可以使判斷矩陣具有完全的一致性。應(yīng)該注意的是，由于只進(jìn)行一次標(biāo)度，其他元素均是根據(jù)一次標(biāo)度之間的數(shù)據(jù)關(guān)系來進(jìn)行填充的，如果一次標(biāo)度不合理，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致整個(gè)判斷矩陣不合理。

再次，應(yīng)選取多個(gè)專家自由選取標(biāo)度因子進(jìn)行獨(dú)立標(biāo)度。而由此帶來的多判斷矩陣的情況，可以用統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)。

置信度[8]是指人們所做判斷的可靠性，或所測(cè)數(shù)據(jù)的可信程度。置信區(qū)間[9]是指通過樣本估計(jì)的總體某個(gè)參數(shù)的估計(jì)區(qū)間。置信區(qū)間展現(xiàn)的是這個(gè)參數(shù)的真實(shí)值有一定概率落在測(cè)量結(jié)果周圍的程度。例如1-α=0.95，表示可靠性（概率）大于95%?？梢灶A(yù)見，均值置信區(qū)間的中點(diǎn)值可以反映大部分?jǐn)?shù)據(jù)的分布情況。

由數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)可知這樣一個(gè)數(shù)學(xué)定理：設(shè)x1，x2，x3，...，xn是來自總體為N（μ，σ2）的一個(gè)樣本，如公式（7）所示。

式中：、S2分別為樣本的均值和方差；μ、σ2分別為總體的均值和方差；n為數(shù)據(jù)樣本個(gè)數(shù)。

在用樣本方差S2代替總體方差σ2時(shí)，統(tǒng)計(jì)量服從的是（n-1）個(gè)自由度的t分布。

設(shè)專家給出的判斷矩陣同一位置的元素為xij，數(shù)據(jù)平均值為，對(duì)給定的α（通常取0.05，即置信度1-α為95%），由t分布表可得tα（n-1）的值，設(shè)為T。如公式（8）所示。

式中：μ為整體平均值；S2為樣本方差；n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

通過公式（8）可以得出μ的取值范圍，設(shè)為[a，b]，則可用中點(diǎn)值aij=（a+b）/2作為專家一系列判斷矩陣元素xij的代表元素，進(jìn)而形成綜合矩陣。再將用統(tǒng)計(jì)方法得到綜合判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。如果矩陣CR值≤0.1，則符合一致性檢驗(yàn)，如果CR值大于0.1，則可以給打分專家提供綜合矩陣，讓專家進(jìn)行權(quán)重值的相關(guān)探討，進(jìn)而重新打分。

2.3 改進(jìn)層次分析法的合理性分析

首先，矩陣A滿足aii=1、aij=1/aji以及aij>0這3個(gè)條件。

其次，如果對(duì)矩陣A的上三角形進(jìn)行標(biāo)度，當(dāng)指標(biāo)評(píng)分相同時(shí)，如a12=a13，會(huì)導(dǎo)致a23=a13/a12=1。當(dāng)指標(biāo)評(píng)分不同時(shí)，如a12=2，a13=3，會(huì)導(dǎo)致a23=a13/a12=3/2>1，即A1比A2重要一些，A1比A3更重要一些，所以A2比A3重要一些，符合層次分析法對(duì)重要性的定義。并且它們之間還有一定的比例關(guān)系，符合對(duì)評(píng)分的一般性認(rèn)知。當(dāng)然，如果a12=0.5，a13=0.25，則會(huì)導(dǎo)致a23=a13/a12=0.5<1。即A2比A1重要一些，A3比A1更重要一些，所以A2比A3次要一些，滿足判斷矩陣元素的相關(guān)定義。對(duì)矩陣A的下三角形進(jìn)行標(biāo)度的過程類似，也滿足層次分析法對(duì)判斷矩陣的構(gòu)造要求。

再次，該判斷矩陣雖然只進(jìn)行了一次標(biāo)度，但這次標(biāo)度同樣是以兩兩比較得出結(jié)果，避免了所謂因?yàn)橹笜?biāo)數(shù)量巨大而造成的專家打分混亂。它是以1個(gè)因子為準(zhǔn)進(jìn)行標(biāo)度，按照一定的準(zhǔn)則進(jìn)行統(tǒng)一判斷，所以避免了因考慮不同因素而造成的打分矛盾。

從次，專家打分完成后會(huì)進(jìn)行綜合矩陣的一致性分析，避免了由于專家之間的認(rèn)知不同所造成的矛盾和不客觀。

最后，專家們自由選取基準(zhǔn)指標(biāo)進(jìn)行一次標(biāo)度，相當(dāng)于一位專家進(jìn)行完整的兩兩比較過程。當(dāng)然，如果專家本身再根據(jù)自身資歷、經(jīng)驗(yàn)情況擁有相應(yīng)權(quán)重，評(píng)價(jià)就會(huì)更客觀。

2.4 改進(jìn)層次分析法模型設(shè)計(jì)

結(jié)合經(jīng)典層次分析法的流程，可以得出改進(jìn)層次分析法的具體流程如下：1）選取m位考核專家，根據(jù)其能力與關(guān)聯(lián)度進(jìn)行權(quán)重賦予，分別為p1，p2，p3，...，pm。2）每位專家選取一個(gè)指標(biāo)為基礎(chǔ)指標(biāo)，運(yùn)用層次分析法進(jìn)行一次指標(biāo)賦分，每個(gè)元素乘以專家權(quán)重，構(gòu)成含專家權(quán)重系數(shù)的對(duì)比矩陣。3）選取所有專家對(duì)比矩陣同一位置數(shù)形成集合，計(jì)算整體平均值μ，以μ為對(duì)應(yīng)位置對(duì)比矩陣的元素，形成綜合對(duì)比矩陣。4）計(jì)算綜合對(duì)比矩陣CR值，如果小于等于0.1，則轉(zhuǎn)（5），否則轉(zhuǎn)（2）。5）計(jì)算綜合對(duì)比矩陣權(quán)向量，并歸一，每位元素即為指標(biāo)權(quán)重。

3 結(jié)語

該文從考核評(píng)價(jià)工作重要性入手，圍繞其重要環(huán)節(jié)——權(quán)重的產(chǎn)生，提出了一套新的方案。該方案以層次分析法為原型，針對(duì)其權(quán)重產(chǎn)生不合理之處提出了相應(yīng)改進(jìn)策略，并做出了合理性分析。當(dāng)然，在實(shí)際應(yīng)用中還需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整，做到簡(jiǎn)潔高效。