固定鴨舵雙旋彈角運動特性與控制穩(wěn)定性研究

趙新新，史金光，王中原，張 寧

(南京理工大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，南京 210094)

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，現(xiàn)代戰(zhàn)爭形式發(fā)生巨大演變，對常規(guī)彈藥的打擊精度提出了更高要求，基于傳統(tǒng)彈藥改裝而來的彈道修正彈便由此應(yīng)運而生，并先后基于阻力器、脈沖發(fā)動機(jī)和鴨舵等執(zhí)行機(jī)構(gòu)衍生出多種修正彈類型[1-2]。固定鴨舵雙旋彈正是基于鴨舵機(jī)構(gòu)發(fā)展起來的一種新型彈道修正彈，其由滾動軸承將裝有固定鴨舵的前體和高旋后體聯(lián)接起來，通過一對差動舵產(chǎn)生的反轉(zhuǎn)力矩使前體在彈丸發(fā)射后快速減旋，從而消除了彈體轉(zhuǎn)速過快給姿態(tài)測量和機(jī)構(gòu)動作造成的不利影響[3-4]。

20世紀(jì)70年代，Regan等[5]率先提出了雙旋彈的概念并就其氣動特性和彈道特性作了初步研究。此后國外相關(guān)機(jī)構(gòu)和學(xué)者從動力學(xué)建模和控制特性分析等角度出發(fā)對雙旋彈開展了大量研究，其中Costello等[6]在考慮前體與后體相互作用的基礎(chǔ)上建立了雙旋彈的動力學(xué)模型；法德圣路易斯研究所[7-9]在雙旋彈風(fēng)洞試驗、彈道特性分析和控制系統(tǒng)設(shè)計等方面開展了系統(tǒng)研究；Jaemin等[10]基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)提出了一種雙旋彈自適應(yīng)控制方法，并對其有效性進(jìn)行了仿真分析。國內(nèi)對雙旋彈的研究起步較晚，郝永平等[11]和紀(jì)秀玲等[12]提出了固定翼雙旋彈的修正模型并進(jìn)行了氣動特性分析；許諾等[13-14]利用角運動方程對固定鴨舵雙旋彈的動力學(xué)特性進(jìn)行了分析，并基于周期平均原理研究了其彈道修正方法；常思江等[15-16]分析了鴨舵式雙旋彈的飛行原理，對其強(qiáng)迫角運動和在重力及鴨舵控制力作用下的動態(tài)響應(yīng)規(guī)律作了研究；張鑫等[17]基于對修正組件電氣系統(tǒng)和機(jī)械系統(tǒng)的分析，建立了滾轉(zhuǎn)通道控制模型。關(guān)于雙旋彈的飛行穩(wěn)定性問題，近年來相關(guān)學(xué)者主要圍繞其動態(tài)穩(wěn)定性展開研究。其中，Zhu等[18]利用Hurwitz方法研究了該類彈丸的動態(tài)穩(wěn)定性條件；馬國梁等[19-20]在考慮前體滾轉(zhuǎn)角任意時變時，基于范數(shù)概念提出了固定鴨舵雙旋彈的絕對穩(wěn)定性判據(jù)，并對其控制效果作了分析。但是對于動態(tài)穩(wěn)定的彈丸，攻角過大也會使其飛行特性變差，特別是對固定鴨舵雙旋彈，在考慮鴨舵控制時，復(fù)攻角的幅值始終較大，且最大值不再僅由復(fù)動力平衡角決定，因此有必要在理解舵面控制力對彈丸角運動影響的基礎(chǔ)上，就其控制穩(wěn)定性作進(jìn)一步研究。

本文沿襲常規(guī)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的穩(wěn)定性分析方法，擬對固定鴨舵雙旋彈的角運動特性和控制穩(wěn)定性展開研究。首先在增加舵面控制力和力矩的條件下，通過建立固定鴨舵雙旋彈的復(fù)攻角運動方程并對其求解，從理論上直觀闡述固定鴨舵雙旋彈起控后復(fù)攻角運動的形成機(jī)理。據(jù)此，基于攻角的幅值有限性條件提出該類彈丸的控制穩(wěn)定性條件，并給出復(fù)控制平衡角幅值允許限的確定方法，所得結(jié)果對該類彈丸的穩(wěn)定性分析與設(shè)計具有工程實踐參考意義。最后通過彈道數(shù)值計算對起控后復(fù)攻角運動形成機(jī)理和控制穩(wěn)定性條件的合理性進(jìn)行驗證；通過討論前體滾轉(zhuǎn)角與復(fù)擾動攻角和復(fù)偏角運動的相位關(guān)系，分析固定鴨舵雙旋彈彈道修正的力學(xué)本質(zhì)，解釋其在相同控制條件下沿不同方向的彈道修正能力并不完全相等的原因。

1 彈道建模

1.1 基本假設(shè)

如圖1所示，固定鴨舵雙旋彈的修正執(zhí)行機(jī)構(gòu)位于彈丸前體，由兩對固定舵面組成。其中一對同向布置的固定舵為操縱舵面，提供彈道修正所需的控制力和力矩，舵偏角為δD；一對反向布置的差動舵為減旋舵面，用于產(chǎn)生反轉(zhuǎn)力矩使前體在彈丸發(fā)射后轉(zhuǎn)速下降，斜置角為δF。

(a)主視圖 (b)側(cè)視圖圖1 固定鴨舵結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Configuration of fixed canard

無控飛行時,前體在反轉(zhuǎn)力矩作用下會快速減旋到某一平衡轉(zhuǎn)速[16]，其值通常較小(為幾轉(zhuǎn)每秒)，這樣由前體產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)和馬格努斯效應(yīng)較弱，一般可以忽略。因此為簡化問題，將舵偏角為零時由攻角產(chǎn)生的舵面力合并到彈體氣動力中，固定鴨舵雙旋彈在彈道飛行中所受的空氣動力和力矩包括由高旋彈體產(chǎn)生的力和力矩以及由固定鴨舵產(chǎn)生的力和力矩兩部分。

1.2 坐標(biāo)系定義及轉(zhuǎn)換

為便于對作用在固定鴨舵雙旋彈上的力和力矩進(jìn)行分析，本文引入的正交直角坐標(biāo)系包括：基準(zhǔn)坐標(biāo)系OxNyNzN(N)、彈道坐標(biāo)系Ox2y2z2(V)、彈軸坐標(biāo)系Oξηζ(A)、第二彈軸坐標(biāo)系Oξη2ζ2(A2)、彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1(B)和前體坐標(biāo)系OFxFyFzF(F)。其中前體坐標(biāo)系由彈軸坐標(biāo)系繞Oξ軸向右旋轉(zhuǎn)γD角而來，二者間的轉(zhuǎn)換矩陣為

(1)

其它坐標(biāo)系的定義和轉(zhuǎn)換關(guān)系詳見文獻(xiàn)[21]。

1.3 彈體空氣動力和力矩

考慮到彈丸所受空氣動力和力矩依據(jù)彈丸相對空氣的速度進(jìn)行計算，在此給出考慮風(fēng)速w時相對速度的表達(dá)式為

vr=v-w

(2)

為便于確定空氣動力和力矩矢量的方向，在此引入相對攻角平面和相對攻角的概念[21]。旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的相對攻角一般為一小量，其計算方法為

αr=arccos(vr·ξ/vr)

(3)

式中：vr=|vr|，ξ為Oξ軸上的單位向量。

1.3.1 彈體空氣動力

忽略較小的馬格努斯力對質(zhì)心運動的影響，可以將作用在彈體上的空氣動力在相對攻角平面內(nèi)分解為沿速度反方向的阻力和垂直于速度且在彈軸一側(cè)的升力，得到彈體空氣動力的矢量表達(dá)式為

(4)

1.3.2 彈體空氣動力矩

忽略氣動偏心和動不平衡，旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈在飛行過程中受到的空氣動力矩主要包括：翻轉(zhuǎn)力矩、赤道阻尼力矩、極阻尼力矩和馬格努斯力矩，其表達(dá)式分別為

(5)

1.4 固定鴨舵產(chǎn)生的力和力矩

1.4.1 操縱舵

將舵偏角為零時由攻角產(chǎn)生的舵面力合并到彈體氣動力中，一對操縱舵由舵偏角引起的舵面升力指向OFyF軸，其表達(dá)式為

(6)

考慮彈丸質(zhì)心運動是在彈道坐標(biāo)系下進(jìn)行分析的，利用前體坐標(biāo)系到彈道坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣LVF將一對操縱舵由舵偏角引起的舵面升力投影到彈道坐標(biāo)系下，其矩陣形式為

(7)

將上式展開，等號左邊各參數(shù)的表達(dá)式分別為

FδDx2=FδDyFcosγD(-sinαcosγA+sinβcosαsinγA)+

FδDyFsinγD(-sinαsinγA-sinβcosαcosγA)

FδDy2=FδDyFcosγD(cosαcosγA+sinβsinαsinγA)+

FδDyFsinγD(cosαsinγA-sinβsinαcosγA)

FδDz2=FδDyF(sinγDcosβcosγA-cosγDcosβsinγA)

式中α、β和γA均為小量，分別表示高低攻角、方向攻角和彈軸坐標(biāo)系相對第二彈軸坐標(biāo)系的滾轉(zhuǎn)角。忽略其中小量影響，化簡得到

FδDx2=0,FδDy2=FδDyFcosγD,FδDz2=FδDyFsinγD

(8)

式中：FδDy2和FδDz2合力等于FδDyF，記為舵面控制力；γD為控制方向。

設(shè)舵面壓心到彈丸質(zhì)心的距離為LD，一對操縱舵產(chǎn)生的控制力矩指向OFzF軸，其在彈軸坐標(biāo)系下的分量形式為

(9)

1.4.2 差動舵

一對差動舵以斜置角δF反向安裝，由其產(chǎn)生的舵面升力合力為零，但是會形成沿彈軸方向的反轉(zhuǎn)力矩，其表達(dá)式為

(10)

在一對差動舵作用下，彈丸前體減旋后與后體發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，使彈體受到沿彈軸方向的滾轉(zhuǎn)阻尼力矩作用，其表達(dá)式為

MxzδFξ=CFA(ωξδF-ωξ)

(11)

式中：CFA為折算了前體與后體相對滾轉(zhuǎn)角運動摩擦影響的阻尼力矩系數(shù)；ωξδF為前體滾轉(zhuǎn)角速度。

1.5 七自由度剛體彈道方程

為了能夠?qū)潭喍骐p旋彈起控后的彈道特性和角運動特性進(jìn)行準(zhǔn)確描述，根據(jù)牛頓第二定律和動量矩定理，分別在彈道坐標(biāo)系和彈軸坐標(biāo)系下對彈丸的質(zhì)心運動和繞質(zhì)心運動進(jìn)行分析，并補(bǔ)充前體滾轉(zhuǎn)角運動方程，建立固定鴨舵雙旋彈的七自由度剛體彈道方程為

(12)

式中：g為重力加速度；C和A分別為彈體極轉(zhuǎn)動慣量和赤道轉(zhuǎn)動慣量；CF為前體極轉(zhuǎn)動慣量。

2 角運動分析與控制穩(wěn)定性條件

2.1 角運動幾何描述

基于外彈道基本假設(shè)，用下標(biāo)i表示理想彈道參數(shù)，得到理想彈道方程組為

(13)

式中，θi為理想彈道傾角，后文簡寫為θ。

假設(shè)固定鴨舵雙旋彈的七自由度剛體彈道與理想彈道偏差較小，即認(rèn)為其角運動也在理想彈道附近進(jìn)行。引入復(fù)數(shù)平面對其角運動進(jìn)行描述，可以定義以下復(fù)數(shù)：

Φ=φ1+iφ2,Ψ=ψ1+iψ2,Δ=α+iβ

(14)

式中：Φ為復(fù)擺動角，Ψ為復(fù)偏角，分別描述七自由度剛體彈道中彈軸和速度矢量相對于理想彈道切線的空間方位；Δ為復(fù)攻角，描述彈軸相對于速度矢量的空間方位；φ1,φ2,ψ1,ψ2,α,β均為小量。

2.2 復(fù)攻角運動方程

旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的角運動變化非常迅速，在一段彈道上忽略其它量變化，基于小量假設(shè)可取近似關(guān)系：

(15)

(16)

(17)

根據(jù)定義Δ=Φ-Ψ，利用常規(guī)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈復(fù)攻角方程的建立方法[21]，忽略高階小量，化簡得到固定鴨舵雙旋彈以時間t為自變量的復(fù)攻角方程為

(18)

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=G+F+W

(19)

式中，G,F,W項分別表示重力、舵面控制力和橫風(fēng)對復(fù)攻角運動的影響，其余各項與常規(guī)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈復(fù)攻角方程含義一致。推導(dǎo)得到各項表達(dá)式分別為

假設(shè)在某一小段彈道上，上述系數(shù)變化較小可近似為常數(shù)，則方程(19)變?yōu)榫€性常系數(shù)非齊次方程。

2.3 固定鴨舵控制下復(fù)攻角方程的解

固定鴨舵雙旋彈進(jìn)行彈道修正時，通過控制前體滾轉(zhuǎn)角來改變舵面控制力和力矩的方向。不考慮橫風(fēng)影響，根據(jù)方程(19)可知包含重力項和舵面控制力項的線性非齊次復(fù)攻角方程為

Δ″+(H-iP)Δ′-(M+iPT)Δ=F+G

(20)

方程的解為

Δ=C1el1s+C2el2s+ΔF+ΔG

(21)

式中：前兩項為齊次方程的通解，描述了復(fù)攻角的自由角運動，l1,2=λ1,2+iφ1,2是特征方程的根，C1,2是由起始條件決定的待定常數(shù)；后兩項分別為舵面控制力和重力引起的非齊次方程的特解，描述了復(fù)攻角的強(qiáng)迫角運動，即復(fù)平衡攻角的變化規(guī)律。

依據(jù)彈箭飛行穩(wěn)定性基本原理，對于動態(tài)穩(wěn)定的彈丸，由起始條件決定的自由角運動會逐漸衰減為零。因此在起控前，固定鴨舵雙旋彈的復(fù)攻角運動主要由重力引起的強(qiáng)迫角運動決定，數(shù)值上約為ΔG；起控后，復(fù)平衡攻角在舵面控制力和重力綜合作用下變?yōu)?ΔF+ΔG)。易見，在開始控制的瞬間，復(fù)攻角與復(fù)平衡攻角之間出現(xiàn)差值

Δτ=-ΔF

(22)

將Δτ記為由ΔF引起的起始擾動，起控后固定鴨舵雙旋彈的復(fù)攻角運動是由起始擾動產(chǎn)生的自由角運動和復(fù)平衡攻角綜合作用的結(jié)果。

現(xiàn)將起控時的彈道點記為s=0，分別對固定鴨舵雙旋彈起控后復(fù)攻角運動的自由角運動和強(qiáng)迫角運動進(jìn)行求解。

2.3.1 自由角運動

由于舵面控制力僅作用于復(fù)攻角方程的非齊次項，因此可以直接給出式(20)齊次方程的特征根為

(23)

整理得到分離實部和虛部后的形式為

(24)

式中：α*=4M+H2-P2，β*=2P(2T-H)。

(25)

因此由Δτ引起的自由角運動的解為

Δ0=C1el1s+C2el2s

(26)

2.3.2 強(qiáng)迫角運動

利用常數(shù)變易法對固定鴨舵雙旋彈的強(qiáng)迫角運動進(jìn)行求解，可以假設(shè)特解ΔG和ΔF仍有式(26)的形式，其中C1,2變?yōu)榛￠Ls的待定函數(shù)。

(27)

(28)

由于P2T2?M2，且對于旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈，阻尼力矩項遠(yuǎn)小于陀螺力矩項，即H?P,kzz?P，故可以略去H和kzz整理得到復(fù)動力平衡角為

(29)

對式(29)進(jìn)行變換，使分母實數(shù)化，得到由重力引起的強(qiáng)迫角運動的解為

(30)

由于bM-aPT?aM+bPT<0，則φG接近90°，故復(fù)動力平衡角的高低分量遠(yuǎn)小于方向分量。

同理，利用常數(shù)變易法對舵面控制力引起的強(qiáng)迫角運動進(jìn)行求解，得到ΔF滿足關(guān)系式

(31)

此式表明，由攻角ΔF產(chǎn)生的翻轉(zhuǎn)力矩與FδDyF產(chǎn)生的控制力矩相平衡，故稱ΔF為復(fù)控制平衡角。

為書寫方便，引入符號

式(31)進(jìn)行變換，使分母實數(shù)化，得到由舵面控制力引起的強(qiáng)迫角運動的解為

(32)

由于d?c且(dM-cPT)?(cM+dPT)，則φF為一較小的角度，故復(fù)控制平衡角的相位與控制方位近似成180°，相差較小的角度φF。

至此，得到重力和控制力引起的非齊次方程的特解ΔG和ΔF。將Δτ=-ΔF代入式(25)～(26)，可以求得固定鴨舵雙旋彈起控后的自由角運動Δ0，其為典型的二圓運動，對于動態(tài)穩(wěn)定的彈丸隨弧長逐漸衰減；ΔG和ΔF疊加組成固定鴨舵雙旋彈起控后的強(qiáng)迫角運動，反映了復(fù)平衡攻角，即自由角運動的中心在復(fù)數(shù)平面上的變化規(guī)律；將自由角運動與強(qiáng)迫角運動疊加即為起控后復(fù)攻角運動的完整解析解。

2.4 控制穩(wěn)定性條件

根據(jù)對固定鴨舵雙旋彈起控后復(fù)攻角運動形成機(jī)理的分析可知，要使固定鴨舵雙旋彈滿足動態(tài)穩(wěn)定性條件，必須使起始擾動產(chǎn)生的自由角運動收斂，即要求特征根的實部均小于0。根據(jù)式(23)和(24)可知，起控前動態(tài)穩(wěn)定的雙旋彈滿足λ1,2<0，表明固定鴨舵引起的M項和T項增量均不超過某一界限值。同時，為保證起控后固定鴨舵雙旋彈在飛行過程中攻角較小，還須滿足攻角的幅值有限性條件，根據(jù)式(25)和(26)可知，即保證起始攻角不宜過大，這就要求對Δτ的幅值進(jìn)行限制。

由于Δτ=-ΔF，且根據(jù)式(31)可知，舵面控制力幅值越大，同一彈道點上對應(yīng)的控制力矩就越大，在彈體氣動特性一定的條件下控制平衡角就越大。因此，為了使固定鴨舵雙旋彈起控后具有良好的控制穩(wěn)定性，必須限制復(fù)控制平衡角的幅值。根據(jù)式(32)，復(fù)控制平衡角的幅值為

(33)

定義αDm為復(fù)控制平衡角的幅值允許限，固定鴨舵雙旋彈的控制穩(wěn)定性條件可以寫為

|ΔF|max<αDm

(34)

由于復(fù)動力平衡角在彈道頂點附近達(dá)到最大，故在彈道頂點附近起控時，αDm的取值應(yīng)滿足關(guān)系式

αDm+αPm<αmax

(35)

式中:αPm為彈道頂點處復(fù)動力平衡角的幅值；αmax為復(fù)攻角幅值的允許限，一般取12°～15°。

3 彈道數(shù)值計算分析

3.1 計算條件

表1 彈丸物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of projectile

圖2 固定鴨舵升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)Fig.2 Lift coefficient derivative of fixed canard

3.2 計算結(jié)果分析

3.2.1 起控前固定鴨舵對復(fù)攻角運動的影響

基于上述計算條件，利用建立的七自由度剛體彈道方程對全彈道無控飛行時的某155 mm固定鴨舵雙旋彈進(jìn)行彈道仿真，并與利用經(jīng)典六自由度剛體彈道方程對常規(guī)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈的彈道仿真結(jié)果進(jìn)行比較，圖3給出了二者的復(fù)攻角運動曲線。

圖3 無控飛行時復(fù)攻角運動曲線Fig.3 Curves of complex attack angle motion in uncontrolled flight

對于動態(tài)穩(wěn)定的彈丸，自由角運動在彈道初始段已經(jīng)逐漸衰減為零，因此圖3中曲線近似為復(fù)動力平衡角運動曲線。結(jié)果表明：無控飛行時固定鴨舵雙旋彈復(fù)攻角的幅值小于常規(guī)旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定彈。分析式(30)可知，這主要與合并到彈體上的舵面力使翻轉(zhuǎn)力矩顯著增大有關(guān)，圖4給出的翻轉(zhuǎn)力矩項M隨彈道弧長的變化曲線驗證了這一結(jié)論。

圖4 翻轉(zhuǎn)力矩項變化曲線Fig.4 Curves of overturning moment term

根據(jù)式(23)可知，翻轉(zhuǎn)力矩增大必然使彈丸動態(tài)穩(wěn)定性降低，這為前文基于動態(tài)穩(wěn)定性條件提出固定鴨舵雙旋彈的控制穩(wěn)定性條件提供了依據(jù)。

3.2.2 起控后固定鴨舵對復(fù)攻角運動的影響

根據(jù)前文分析，起控后固定鴨舵對復(fù)攻角運動的影響主要體現(xiàn)在復(fù)控制平衡角運動及其引起的自由角運動兩個方面。考慮到彈丸在42 s時到達(dá)彈道頂點附近，圖5和圖6給出了T0=42 s，前體滾轉(zhuǎn)角分別取0°,90°,180°和270°時，固定鴨舵雙旋彈從開始控制到彈道結(jié)束時復(fù)攻角運動的解析解。

圖5為起控后復(fù)控制平衡角運動曲線，結(jié)果表明：1)復(fù)控制平衡角的相位與前體滾轉(zhuǎn)角相差約180°，偏差值較小；2)相較于復(fù)動力平衡角的變化量來說，復(fù)控制平衡角的幅值和相位基本保持不變，故可以近似為一常量。

圖5 起控后復(fù)控制平衡角運動曲線Fig.5 Curves of complex control equilibrium attack angle motion after the control starts

圖6為復(fù)控制平衡角引起的自由角運動曲線。當(dāng)前體滾轉(zhuǎn)角取不同值時，自由角運動隨彈道弧長逐漸衰減的趨勢和頻率基本保持一致，在復(fù)數(shù)平面內(nèi)的起始位置由復(fù)控制平衡角決定，值為-ΔF。

(a)γD=0°或180°

由于舵面控制力對復(fù)動力平衡角不產(chǎn)生影響，因此可以認(rèn)為起控后固定鴨舵對復(fù)攻角運動的影響是復(fù)控制平衡角和自由角運動的疊加，定義為復(fù)擾動攻角。圖7給出了前體滾轉(zhuǎn)角分別取0°,90°,180°和270°時的復(fù)擾動攻角運動曲線，其在復(fù)數(shù)平面上是以復(fù)控制平衡角為中心的二圓運動，其中快圓運動很快衰減為零，慢圓運動逐漸收斂于ΔF，幅值最大值約為2|ΔF|。

(a)γD=0°或180°

將復(fù)擾動攻角與復(fù)動力平衡角疊加，圖8給出了前體滾轉(zhuǎn)角分別取0°,90°,180°和270°時固定鴨舵雙旋彈起控制后完整的復(fù)攻角運動曲線?？梢钥吹剑ㄟ^解析法求得的復(fù)攻角運動與數(shù)值計算結(jié)果在頻率和幅值上基本吻合，表明前文對固定鴨舵雙旋彈起控后復(fù)攻角運動形成機(jī)理的分析具有一定合理性，為建立固定鴨舵雙旋彈的控制穩(wěn)定性條件提供了理論依據(jù)。

3.2.3 彈道修正的力學(xué)本質(zhì)

為了分析固定鴨舵雙旋彈彈道修正的力學(xué)本質(zhì)，對復(fù)偏角方程(16)進(jìn)行求解，當(dāng)僅考慮舵面控制力和最大的升力項時，簡化得到由舵面控制力和復(fù)擾動攻角產(chǎn)生的復(fù)偏角方程為

(36)

(a)γD=0°或180°

基于周期平均原理忽略Δ0的影響，再根據(jù)φF≈0可以在小擾動假設(shè)下對上式積分得到

ΔΨ=s·(K-1)KδDei(γD+π)

(37)

式中，

將ΔΨ代入方程(12)的4～6式，得到由ΔΨ引起的慣性空間內(nèi)各速度分量的增量形式為

(38)

式(37)～(38)表明：當(dāng)前體滾轉(zhuǎn)角固定不變時，復(fù)偏角會向與前體滾轉(zhuǎn)角近似相反的方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，使彈丸質(zhì)心運動受到影響，從而實現(xiàn)彈道修正。

根據(jù)ψ1=θa-θ，圖9給出了γD分別取0°,90°,180°和270°時固定鴨舵雙旋彈復(fù)偏角運動曲線，圖10為對應(yīng)的末端彈道曲線。數(shù)值計算結(jié)果表明：在固定方位的舵面控制力長時間作用下，復(fù)擾動攻角的平衡相位與舵面控制力方向近似差180°，復(fù)偏角與彈丸質(zhì)心位置會向與復(fù)擾動攻角近似相同的方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，這與式(37)和式(38)反映的規(guī)律一致。

圖9 起控后復(fù)偏角運動曲線Fig.9 Curves of complex velocity deflection angle motion after the control starts

此外，圖10還給出了γD以30°為間隔時的彈丸落點散布，結(jié)果表明：在不同控制方位下，固定鴨舵雙旋彈的彈道修正能力不完全相同，修正方向也與復(fù)偏角的偏轉(zhuǎn)方向存在一定偏差。這主要是由于彈體自旋會產(chǎn)生陀螺效應(yīng)和馬格努斯效應(yīng)，從而發(fā)生慣性交聯(lián)和氣動交聯(lián)，使彈丸縱向和側(cè)向運動產(chǎn)生耦合，這些耦合效應(yīng)在不同控制方位下并不相同。

圖10 有控飛行時末端彈道曲線Fig.10 Curves of terminal trajectory in controlled flight

4 結(jié) 論

本文通過建立七自由度剛體彈道方程，推導(dǎo)了固定鴨舵雙旋彈的復(fù)攻角運動方程及其解析解，研究了固定鴨舵雙旋彈起控后的角運動特性，所得主要結(jié)論如下：

1)固定鴨舵雙旋彈起控后的復(fù)攻角運動由復(fù)動力平衡角、復(fù)控制平衡角的強(qiáng)迫角運動和舵控起始擾動產(chǎn)生的自由角運動綜合構(gòu)成。

2)固定鴨舵雙旋彈起控后復(fù)控制平衡角的相位與固定鴨舵的控制方位近似成180°，兩者相差一個較小的角度φF。

3)受動態(tài)穩(wěn)定性條件的約束，在舵面控制力和起始攻角幅值均不能過大的條件下，為使固定鴨舵雙旋彈具有良好的控制穩(wěn)定性，必須限制控制平衡角的幅值，即令|ΔF|max<αDm，且αDm+αPm<αmax。

4)固定鴨舵通過產(chǎn)生固定方向的舵面控制力和復(fù)擾動攻角，使復(fù)偏角運動近似向與復(fù)擾動攻角平衡相位相同的方向發(fā)生偏轉(zhuǎn)，從而實現(xiàn)彈道修正。彈道數(shù)值計算分析表明，其在相同控制條件下沿不同方向的彈道修正能力不完全相等。