基于鍵合圖法對(duì)定軸輪系模塊化建模及穩(wěn)定性研究

周新濤，馬娜，崔亞輝

（1.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，咸陽 712000；2.西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048）

0 引言

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是機(jī)械設(shè)備的扭矩、功率傳遞的核心部件之一，其系統(tǒng)精確動(dòng)學(xué)行為的研究尤為重要[1,2]。當(dāng)前，隨著科技的發(fā)展，導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的各項(xiàng)綜合性能的要求越來越高，從而使齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式變得也越來越復(fù)雜[3,4]。當(dāng)輪系的結(jié)構(gòu)越復(fù)雜，對(duì)系統(tǒng)傳遞功率特性的不特定性增強(qiáng)，其系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的研究越發(fā)困難。采用傳統(tǒng)的建模研究方法，如牛頓第二定律法、等效集中質(zhì)量法和有限元法等，這些方法對(duì)復(fù)雜輪系的動(dòng)力學(xué)模型有很大難度[5]。另外，通常這些方法建立起來的數(shù)學(xué)模型，其模型在建立時(shí)也是經(jīng)過大量等效與簡化處理，所得出的計(jì)算結(jié)果只是輪系動(dòng)特性的近似解[6]。當(dāng)輪系結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性較大時(shí)，系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的靈敏性較大，任何細(xì)微的變化或波動(dòng)，均能引起系統(tǒng)的解析解或數(shù)值解產(chǎn)生巨大擾動(dòng)，從而導(dǎo)致對(duì)輪系動(dòng)態(tài)特性的研究失敗[7]。因此，采用上述傳統(tǒng)的建模法，得出系統(tǒng)的近似特性，難以解釋輪系動(dòng)態(tài)特性研究的需求。

為了解決傳統(tǒng)建模法，難以得出輪系的精確化數(shù)學(xué)模型的問題。本文通過對(duì)輪系傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的大量研究，根據(jù)輪系最小傳動(dòng)單元的結(jié)構(gòu)屬性，將結(jié)構(gòu)復(fù)雜的定軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)拆分為由多個(gè)基本的模塊組成的理念。引入模塊化的建模思想，研究定軸輪系的建模方法和系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。另外，經(jīng)大量研究與總結(jié)，可知現(xiàn)代圖論法[8,9]、信號(hào)流圖法[10～12]和鍵合圖法[13,14]等，具有高效、準(zhǔn)確的建模優(yōu)勢(shì)。但是，前兩種方法的理論體系尚不成熟，對(duì)最終的計(jì)算結(jié)果難以有權(quán)威評(píng)價(jià)。而鍵合圖法具有完善的理論體系和豐富的圖元庫，可用于復(fù)雜的多能域系統(tǒng)的綜合性能研究中。故此，本文結(jié)合鍵合圖的建模機(jī)理，建立出基本模塊的鍵合圖模型。然后，在基本模型鍵合圖模型的基礎(chǔ)上，按照輪系中功率流的傳遞方向進(jìn)行擴(kuò)展，從而得出輪系完整的精確化數(shù)學(xué)模型。最后，根據(jù)此模型可推導(dǎo)出該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程，并通過數(shù)值計(jì)算后能準(zhǔn)確的掌握系統(tǒng)的力學(xué)特性和運(yùn)動(dòng)學(xué)特性，為后續(xù)深入研究系統(tǒng)的非線性特性奠定基礎(chǔ)。

1 鍵合圖建模法簡介

在工程生產(chǎn)中，鍵合圖法對(duì)多能域復(fù)合場(chǎng)相關(guān)特性參數(shù)計(jì)算，是一種最高效、最重要地方法。該法已經(jīng)過了漫長的研究與發(fā)展，其理論方法的應(yīng)用也逐步趨于成熟。另外，對(duì)多能域復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的研究，采用傳統(tǒng)方式建模與研究時(shí)，難以準(zhǔn)確地反映出該系統(tǒng)動(dòng)特性的真實(shí)情況。而鍵合圖法利用自身強(qiáng)大的圖元庫和靈活的建模方式，能模擬出各種類型能量系統(tǒng)中線性或非線性的相關(guān)特性。圖元要素，如表1所示。

表1 鍵合圖的基本圖元庫

2 單級(jí)定軸輪系的鍵合圖模型

定軸單元體可以看作是由多級(jí)不同齒輪的嚙合而構(gòu)成的系統(tǒng)，一對(duì)相互嚙合的齒輪又是這個(gè)系統(tǒng)中最小的傳動(dòng)單元。在本節(jié)處建立定軸單元體的鍵合圖模型，是以這組最小傳動(dòng)單元為載體，其動(dòng)力學(xué)模型的示意圖，如圖1所示。其中，在圖中字符的含義分別是：O1為主動(dòng)齒輪，O2從動(dòng)齒輪；x1(t)、x2(t)分別為輪齒嚙合線上的相對(duì)位移；T1、T2分別是輸入、輸出轉(zhuǎn)矩；θ1、θ2分別是主、從動(dòng)齒輪的角位移；k為輪齒嚙合剛度；C為輪齒嚙合阻尼；J1、J2分別是主、從動(dòng)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；e1(t)為輪齒綜合嚙合誤差；R1和R2分別是齒輪O1、O2分度圓半徑。

圖1 單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

研究機(jī)械系統(tǒng)真實(shí)的運(yùn)動(dòng)情況，必須先要分析出機(jī)械系統(tǒng)的功能關(guān)系。采用合理的數(shù)學(xué)模型，建立作用于系統(tǒng)的外力與系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參數(shù)和運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系式。對(duì)于圖2所示的動(dòng)力學(xué)模型，點(diǎn)A、B其實(shí)是齒輪O1、O2嚙合分度圓上的一個(gè)共有點(diǎn)P，落在齒輪O1上的半邊點(diǎn)為A，落在齒輪O2上的半邊點(diǎn)為B。根據(jù)三心定理可知，點(diǎn)P為這對(duì)相嚙合齒輪O1、O2的相對(duì)速度瞬心點(diǎn)。存在的關(guān)系為：VP1=VP2，亦即VA=VB。則有：

即，單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系（系統(tǒng)的瞬時(shí)傳動(dòng)比i），如式(1)所示：

因此，根據(jù)式(1)可知，在單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中有2個(gè)絕對(duì)速度點(diǎn)和1個(gè)相對(duì)速度點(diǎn)構(gòu)成。然后，再依據(jù)鍵合圖建模的基本原理，可知該系統(tǒng)中需要3個(gè)1-結(jié)，以及1個(gè)二通口的TF元件。最后，得出單級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的鍵合圖模型，如圖2所示。

圖2 定軸單元體的鍵合圖模型

3 定軸輪系模塊化鍵合圖模型的擴(kuò)展

3.1 兩級(jí)定軸輪系的鍵合圖模型

如圖3所示是定軸單元體的兩級(jí)齒輪傳動(dòng)形式，圖中：齒輪O1、O2、O3和O4的分度圓半徑分別為R1、R2、R3和R4，J1、J2、J3和J4分別為這4個(gè)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。齒輪O1與O2輪齒嚙合的穩(wěn)態(tài)剛度為k1(t)，齒面阻尼為C1，穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差為e1(t)。齒輪O3與O4輪齒嚙合的穩(wěn)態(tài)剛度為k2(t)，齒面阻尼為C2，穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差為e2(t)。

圖3 定軸單元體的兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)

圖4所示是定軸單元體的兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的鍵合圖模型，該輪系的穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差導(dǎo)數(shù)作為流源分別作用于該系統(tǒng)中，如圖中的鍵Sf8、Sf19。兩組嚙合齒輪的穩(wěn)態(tài)嚙合剛度k1(t)、k2(t)，均采用容性元件C來模擬，如鍵C28、C32。兩組嚙合齒輪的齒面阻尼C1、C2，均采用阻性元件R來模擬，如鍵R29、R33。輸入軸I、中間軸II和輸出軸III的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的模擬量分別為C26、C30和C34，扭轉(zhuǎn)阻尼的模擬量分別為R27、R31和R35。

圖4 定軸單元體的兩級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的鍵合圖模型

3.2 多級(jí)定軸輪系的鍵合圖模型

定軸單元體模塊化的擴(kuò)展是比較簡單，其擴(kuò)展形式如圖5所示。當(dāng)該模塊的輸入ωIn、輸入?yún)?shù)ωOut，以及各齒輪的齒數(shù)Zi等參數(shù)已知時(shí)，可根據(jù)定軸輪系的計(jì)算關(guān)系就能計(jì)算出定軸單元體模塊的等效特性。

圖5 定軸單元體的結(jié)構(gòu)擴(kuò)展示意圖

同理，圖6所示的是定軸單元體的結(jié)構(gòu)擴(kuò)展輪系的鍵合圖模型，該輪系的鍵合圖模型是在圖4的基礎(chǔ)擴(kuò)展而來。因此，在此處將不再做詳細(xì)說明。

圖6 定軸單元體的結(jié)構(gòu)擴(kuò)展輪系的鍵合圖模型

4 狀態(tài)方程

4.1 系統(tǒng)狀態(tài)方程的描述原理

根據(jù)鍵合圖模型中，各能量元件的相互連接關(guān)系和功率流傳遞的情況，可將鍵合圖模型本身隱含著描述系統(tǒng)特性的狀態(tài)方程給列寫出來。本部根據(jù)上述P型單元體的鍵合圖模型，列寫該系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

其線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程的基本形式可寫成，式(2)所示的形式：

式(2)中，xi(i=1,2,…,n)為狀態(tài)變量；Uj(j=1,2,…,r)是系統(tǒng)的輸入變量；fi()是代數(shù)函數(shù)；t是時(shí)間變量。

4.2 單級(jí)定軸輪系的狀態(tài)方程

根據(jù)圖2所示定軸單元體的鍵合圖模型，再以慣性元件I的廣義動(dòng)量p與容性元件C的廣義位移q為狀態(tài)變量。該鍵合圖中含有三個(gè)容性元件：C15、C17、C19，以及兩個(gè)慣性元件：I4、I11，且這些元件皆具有積分因果關(guān)系。即可得出P型單元體的狀態(tài)變量Y=[p4,p11,q15,q17,q19]T。根據(jù)P型單元體鍵合圖模型的因果關(guān)系和功率流向等條件，可得出用于描述定軸單元體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的狀態(tài)方程，如式(3)～式(7)所示：

式(3)～式(7)中，m1、m2為分別為兩嚙合齒輪的齒數(shù)Z1、Z2；Se1為向系統(tǒng)中輸入的勢(shì)源；Sf8為穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差的導(dǎo)數(shù)，即向系統(tǒng)中輸入的流源。

設(shè)，該系統(tǒng)的輸入變量矩陣為U，以及參數(shù)矩陣A、B，其具體表示形式如下所示：

則，P型系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫成矩陣形式，如式(8)所示：

5 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性仿真分析

5.1 仿真條件設(shè)置

根據(jù)圖2所示的鍵合圖模型，采用數(shù)值仿真軟件構(gòu)建出P型單元體的仿真模型，如圖7所示。圖中，MSe表示輪系的輸入力矩，仿真中采用持續(xù)信號(hào)輸入系統(tǒng)；MSf表示嚙合傳動(dòng)的穩(wěn)態(tài)誤差函數(shù)；Rv表示系統(tǒng)外的阻力矩。

圖7 P型單元體的仿真模型

其中，仿真參數(shù)設(shè)置為：齒數(shù)Z1=16，Z2=24；彈性模量E=2.1E11(N/m2)；泊松比μ=0.3；齒輪慣性矩I1=0.041(Kg·m2)，I2=0.079(Kg·m2)；軸的扭轉(zhuǎn)剛度K=2E8(N/m)；軸承的支撐阻尼Cv=1800(N·s·m-1)；輪齒嚙合阻尼Cg=2000(N·s·m-1)；輪系系統(tǒng)的輸入力矩為TI=470(N·m)；系統(tǒng)外部的阻力矩TO=320(N·m)；穩(wěn)態(tài)傳動(dòng)誤差的導(dǎo)數(shù)0.0027 ×cos(28t+21pi)。

5.2 系統(tǒng)傳遞函數(shù)

根據(jù)圖2中給出的P型單元體的鍵合圖模型，可得出該單元體系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般表達(dá)式G(s)p，如式(9)所示：

式(9)中，s為拉氏算子；a、b為系統(tǒng)參數(shù)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和特性有關(guān)。

5.3 仿真結(jié)果分析與探討

從圖8(a)中可以得出，閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的一對(duì)極點(diǎn)和零點(diǎn)等于0。一般習(xí)慣上，將系統(tǒng)開環(huán)的0根作為左根處理。并且，這對(duì)極點(diǎn)和零點(diǎn)構(gòu)成了偶極子而相互消除。且該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，均在復(fù)平面[S]的左側(cè)，故該系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。從圖8(b)所示的Bode圖中得出，系統(tǒng)的相位裕量γ(ωc)=90deg＞0，幅值裕量Kg=307dB＞0。幅值穿越頻率上的斜率為-20dB/dec，從而保證了故能說明該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖8(c)所示的Nyquist圖中得出，該系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，且開環(huán)無右極點(diǎn)，故根據(jù)Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)可得該系統(tǒng)穩(wěn)定。同時(shí)，也說明了該系統(tǒng)傳遞函數(shù)以慣性環(huán)節(jié)為主導(dǎo)。由圖8(d)所示的Nichols圖，縱軸是幅值的對(duì)數(shù)，橫軸是相角，該圖反映了幅值與相角的變化關(guān)系。采用該圖也能進(jìn)一步說明P型單元體在此種模擬工況下，其閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

圖8 P型單元體系統(tǒng)的穩(wěn)定情況

6 結(jié)語

針對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的齒輪傳動(dòng)輪系，采用傳統(tǒng)建模法難以快速、準(zhǔn)確地得出輪系精確化數(shù)學(xué)模型的問題。本文提出將結(jié)構(gòu)復(fù)雜的輪系拆分為由多個(gè)基本模塊疊加的方式組成，在此基礎(chǔ)上根據(jù)鍵合圖法的建模原理，建立起模塊化的鍵合圖模型。然后，根據(jù)輪系的結(jié)構(gòu)特征，將模塊化的鍵合圖模型按照輪系傳遞功率流方向進(jìn)行擴(kuò)展，從而建立出復(fù)雜輪系傳動(dòng)系統(tǒng)的完整鍵合圖模型。最后，通過數(shù)值仿真法，模擬了基本模塊的動(dòng)力學(xué)行為，并得出了其系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)。仿真表明，采用此法可提升結(jié)構(gòu)復(fù)雜輪系精確化數(shù)學(xué)模型的建模效率和精度，也能為后續(xù)輪系的非線性動(dòng)力行為進(jìn)行深入研究奠定基礎(chǔ)。