求解四階多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散波方程的二階差分格式

高廣花,徐 鵬

(南京郵電大學(xué)理學(xué)院,南京 210023)

近年來(lái),在特征記憶、非局部性質(zhì)[1-2]以及分形介質(zhì)[3-4]等領(lǐng)域所遇到的復(fù)雜擴(kuò)散行為均須利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)或分?jǐn)?shù)階積分進(jìn)行數(shù)學(xué)建模,使得分?jǐn)?shù)階微積分的理論和應(yīng)用迅猛發(fā)展,而時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程和時(shí)間分?jǐn)?shù)階波動(dòng)方程是兩種極有價(jià)值的時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程,其數(shù)值逼近已經(jīng)被諸多學(xué)者研究[5-10]．然而,有些實(shí)際問(wèn)題不能被時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程和時(shí)間分?jǐn)?shù)階波動(dòng)方程單獨(dú)描述,故一個(gè)同時(shí)包含分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散項(xiàng)和分?jǐn)?shù)階波動(dòng)項(xiàng)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)很好的選項(xiàng),通常稱(chēng)其為時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程．

作為單項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的一種拓展,多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程近年來(lái)備受關(guān)注．Gao等[11]對(duì)第二類(lèi)Dirichlet邊界下的空間四階多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程建立了空間緊致差分格式,空間導(dǎo)數(shù)采用降階法處理,時(shí)間Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用L1公式近似;Zhao等[12]通過(guò)建立一種修正的L1公式對(duì)二維多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階慢擴(kuò)散方程進(jìn)行離散,證明了數(shù)值格式在L2范數(shù)下的時(shí)間最優(yōu)階誤差估計(jì)和空間最優(yōu)收斂速率;Gao等[13]通過(guò)尋找多項(xiàng)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)線(xiàn)性組合插值逼近的一些特殊點(diǎn),推導(dǎo)出至少能夠達(dá)到二階精度的數(shù)值微分公式,并將該公式應(yīng)用于多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階慢擴(kuò)散方程的數(shù)值求解;Sun等[8]基于降階法,通過(guò)選取時(shí)間方向超收斂點(diǎn),推導(dǎo)并分析了求解多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程的兩種時(shí)間二階差分格式,并對(duì)其進(jìn)行了穩(wěn)定性和收斂性分析,分別證得空間方向上二階和四階收斂;Luchko[14]研究了有界域上廣義多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題,用分離變量法和傅里葉方法證明了解的存在唯一性;Wei[15]提出求解一類(lèi)多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的全離散局部間斷Galerkin方法,并通過(guò)嚴(yán)格的理論分析和有效的數(shù)值試驗(yàn),證實(shí)了所得格式的穩(wěn)定性與收斂性;Jiang等[16]采用分離變量法得到了不同邊界條件下多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程和擴(kuò)散方程的解析解．這些研究都是對(duì)多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程或多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程進(jìn)行的,遺憾的是,求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程和時(shí)間分?jǐn)?shù)階波方程的數(shù)值方法不易直接推廣到求解多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程．到目前為止,關(guān)于多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程數(shù)值逼近的文獻(xiàn)較為有限．Sun等[17]對(duì)求解兩項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程的L1型差分格式提出了一種新的分析方法,證得了離散H1范數(shù)下的收斂性;Hao等[18]對(duì)多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程提出了一種基于L2逼近的隱式緊差分格式,并證明了該格式時(shí)間一階和空間四階收斂;Zhao等[19]通過(guò)空間方向上的線(xiàn)性三角有限元法和時(shí)間方向上的經(jīng)典L1時(shí)步法離散,建立了求解二維多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程的全離散Crank-Nicolson型格式;Chen等[20]在空間方向應(yīng)用Legendre譜方法,時(shí)間方向應(yīng)用加權(quán)位移的Grünwald差分算子,對(duì)多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程進(jìn)行離散化,提出一種時(shí)間方向二階精度的數(shù)值格式;Feng等[21]利用L1公式對(duì)二維兩項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程的時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行逼近,建立了差分求解格式,其時(shí)間方向精度不足二階;Shen等[22]應(yīng)用分離變量法和多元Mittag-Leffler函數(shù)的性質(zhì),研究了二維多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程的解析解,并基于L1公式建立了數(shù)值格式,對(duì)其收斂性和穩(wěn)定性進(jìn)行了嚴(yán)格分析;Liu等[23]考慮了二維多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程的初邊值問(wèn)題,在空間方向應(yīng)用Legendre譜逼近,時(shí)間方向基于位移的Grünwald算子進(jìn)行離散化,建立了一種隱式ADI譜格式,其時(shí)間方向二階收斂．

上述工作都是對(duì)空間二階多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程進(jìn)行的研究,而很多實(shí)際問(wèn)題僅有空間二階導(dǎo)數(shù)是不能完全描述的,因此部分學(xué)者轉(zhuǎn)而研究求解空間四階時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程．Nandal等[24]將時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)基于L2-1σ公式逼近,在空間方向上構(gòu)造緊線(xiàn)性算子,建立了求解一類(lèi)非線(xiàn)性時(shí)滯變系數(shù)四階分?jǐn)?shù)階慢擴(kuò)散方程的線(xiàn)性緊差分格式,并利用能量分析法證得其無(wú)條件穩(wěn)定且收斂,收斂階達(dá)到時(shí)間二階和空間四階;Yao等[25]通過(guò)巧妙處理邊界條件,建立了求解Neumann邊界條件下空間四階時(shí)間分?jǐn)?shù)階慢擴(kuò)散方程的差分格式,其時(shí)間二階、空間四階收斂;He等[26]引入中間變量將原方程轉(zhuǎn)變?yōu)榈碗A方程組,并對(duì)時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)分別應(yīng)用L1公式和二階向后Euler公式離散,對(duì)空間方向應(yīng)用有限元法,建立了求解一類(lèi)非線(xiàn)性四階時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程的全離散格式,并證明了該格式的無(wú)條件穩(wěn)定性和收斂性;Vong等[27]基于L1公式逼近時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建立了求解第一類(lèi)Dirichlet邊界條件下四階時(shí)間分?jǐn)?shù)階慢擴(kuò)散方程的空間緊致格式,其中臨近邊界兩點(diǎn)處的局部誤差為空間三階,內(nèi)點(diǎn)上為空間四階;楊倩[28]對(duì)第一類(lèi)Dirichlet邊界值問(wèn)題利用降階法,在特殊點(diǎn)處考慮方程組后在方程兩端同時(shí)作用緊算子,建立了全局四階收斂的差分格式,而在第二類(lèi)Dirichlet邊界條件下,綜合降階法和L1公式,建立了求解時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程的差分格式,通過(guò)能量分析法證明了所得格式在離散最大模下的收斂性．到目前為止,對(duì)四階多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程,尤其是空間多維問(wèn)題和時(shí)間高精度格式的相關(guān)研究甚少．本文擬探討數(shù)值求解如下四階多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程初邊值問(wèn)題:

(1)

1 差分格式的建立

(2)

下面,建立求解等價(jià)問(wèn)題(2)的有限差分格式．

1.1 預(yù)備知識(shí)

(3)

(4)

1.2 差分格式的建立

(5)

且存在正常數(shù)c1使得

(6)

(7)

(8)

其中存在正常數(shù)c2使得

(9)

(10)

且存在正常數(shù)c3使得

(11)

根據(jù)初邊值條件,有

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

1.3 差分格式的求解

設(shè)前n+1層的值{u0,w0,u1,w1,…,un,wn}已唯一確定,則由式(15)有

(19)

2 差分格式的分析

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

證明 i) ‖v1‖和‖w1‖的估計(jì)．當(dāng)n=0時(shí),由式(20)(n=0),(21),(23)～(25)知

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

將式(26)兩邊同時(shí)與w1做內(nèi)積,得

(31)

2σ(δtΔhu1/2,v1)=σ(Δhw1,v1)+σ(Δhw0,v1)-2σ(Δhg0,v1)．

(32)

2σ(δtv1/2,v1)=2σ(δtΔhu1/2,v1)+2σ(δtp1/2,v1)．

(33)

將式(31)～(33)相加,由(Δhv1,w1)=(Δhw1,v1),得

(34)

(35)

ii) ‖vn+1‖(n≥1)的估計(jì)．由式(20),(22)～(25)知

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

將式(37)兩邊同時(shí)與-vn+σ做內(nèi)積,得

-(Δhwn+σ,vn+σ)=-(ΔtΔhun,vn+σ)-(Δhgn,vn+σ),1≤n≤N-1．

將式(38)兩邊同時(shí)與vn+σ做內(nèi)積,得

(Δtvn,vn+σ)=(ΔtΔhun,vn+σ)+(Δtpn,vn+σ),1≤n≤N-1．

由上面分析可知,階數(shù)在(0,1)和(1,2)區(qū)間內(nèi)的時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)同時(shí)出現(xiàn),以及時(shí)空方向同時(shí)降階是整個(gè)先驗(yàn)估計(jì)的難點(diǎn)所在．幸運(yùn)的是,應(yīng)用離散能量分析方法,結(jié)合文獻(xiàn)[30]中的一些技巧,本文成功得到了理論分析結(jié)果．

由定理8,易得如下穩(wěn)定性結(jié)果．

定理9差分格式(13)～(18)的解關(guān)于初值和源項(xiàng)是穩(wěn)定的．

證明 將差分格式(13)～(18) 分別與式(5),(7)～(10)和(12)對(duì)應(yīng)相減,可得如下誤差方程組

注意到式(6),(9)和(11),應(yīng)用定理8,可得存在正常數(shù)c7,使得

3 數(shù)值算例

數(shù)值計(jì)算通過(guò)編寫(xiě)MATLAB代碼實(shí)現(xiàn)．

例1取L1=L2=π,T=1,P=Q=2．假設(shè)問(wèn)題(1)有精確解u(x,y,t)=(t3+3t2+1)·sinxsiny,由此可確定相應(yīng)的源項(xiàng)和初邊值條件．

令h1=h2=h,F(h,τ)=max0≤n≤N‖Un-un‖∞．記Oτ=lb(F(h,2τ)/F(h,τ)),Oh=lb(F(2h,τ)/F(h,τ))．固定空間步長(zhǎng)h=π/100時(shí),取不同的參數(shù)值(λ0,λ1,λ2),(α0,α1,α2),(μ0,μ1,μ2) 和(β0,β1,β2),當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)從τ=1/10細(xì)化到1/160時(shí),計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1．結(jié)果表明,時(shí)間方向數(shù)值收斂階數(shù)與理論結(jié)果吻合較好．

表1 當(dāng)h=π/100時(shí)最大范數(shù)誤差和時(shí)間方向收斂階Tab.1 Maximum norm errors and convergence orders in time with h=π/100

計(jì)算差分格式(13)～(18)的空間方向收斂階時(shí),固定時(shí)間步長(zhǎng)τ=1/200,取不同的空間步長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算,其最大誤差和數(shù)值收斂階見(jiàn)表2．結(jié)果表明,該格式空間方向也達(dá)到理論上的二階收斂．

表2 當(dāng)τ=1/200時(shí)最大范數(shù)誤差和空間方向收斂階Tab.2 Maximum norm errors and convergence orders in space with τ=1/200

圖1 t=1時(shí)不同步長(zhǎng)下計(jì)算所得數(shù)值解誤差曲線(xiàn)圖Fig.1 The error curves of numerical solutions calculated under different step sizes at t=1

圖1給出了t=1時(shí)不同步長(zhǎng)下計(jì)算所得數(shù)值解的誤差曲線(xiàn)圖,其中e(x)=|U(x,π/2,1)-u(x,π/2,1)|．

4 結(jié)論

本文基于降階法推導(dǎo)出了求解二維四階多項(xiàng)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混合擴(kuò)散-波方程的一個(gè)新的差分格式．應(yīng)用離散能量分析方法證得了格式的無(wú)條件穩(wěn)定性和收斂性,并用數(shù)值算例進(jìn)行了檢驗(yàn)．值得一提的是,本研究中時(shí)空方向同時(shí)進(jìn)行降階處理,這使得理論分析具有一定的挑戰(zhàn)．文中應(yīng)用一些技巧,嚴(yán)格證明了差分格式的穩(wěn)定性和收斂性．