帶有未知干擾和混合時滯的非線性系統(tǒng)有限時間同步

路宗婭,于陸洋,崔 穎,劉玉榮*

(1.揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚州 225002;2.阜陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 阜陽 236037)

非線性系統(tǒng)的同步問題廣泛出現(xiàn)在許多領(lǐng)域[1-3].近年來,大多數(shù)學(xué)者著重于研究非線性系統(tǒng)的漸近同步行為,即系統(tǒng)的狀態(tài)在無限時間內(nèi)實現(xiàn)同步[4-6].然而,在實際工程中系統(tǒng)通常被要求盡可能快地實現(xiàn)同步,甚至是在有限時間內(nèi)同步.例如，在混沌保密通訊網(wǎng)絡(luò)中,出于安全考慮,通常要求主-從網(wǎng)絡(luò)同步,并要求解碼信息在較短時間內(nèi)被發(fā)送以避免解碼信息的泄露;因此,Weiss等[7]首次提出有限時間穩(wěn)定的概念,并探討了一類非線性系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定問題.目前,已有較多對非線性系統(tǒng)有限時間同步問題的研究.Mei等[8]基于有限時間穩(wěn)定性理論,利用脈沖控制和周期間歇控制實現(xiàn)了2個具有非延遲和延遲耦合的非線性系統(tǒng)的有限時間同步,并給出有限時間同步的充分條件;Dong等[9]針對非嚴(yán)格反饋形式的非線性多智能體系統(tǒng),探討其有限時間一致容錯控制跟蹤問題.實際應(yīng)用中,因復(fù)雜環(huán)境等因素的存在,不可避免地出現(xiàn)系統(tǒng)外部干擾以及信號傳輸時滯等現(xiàn)象.時滯和外部干擾將引起系統(tǒng)震蕩,破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性,從而導(dǎo)致系統(tǒng)難以實現(xiàn)有限時間同步,故考慮時滯和外部干擾對系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間同步的影響尤為重要.Zhao等[10]通過探討具有未知擾動的時滯混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的滑?？刂仆絾栴},設(shè)計了一個含積分結(jié)構(gòu)和不連續(xù)控制律的滑動面,使得誤差系統(tǒng)的軌跡在有限時間內(nèi)收斂到該滑動面,且后續(xù)保持在該滑動面上;Li等[11]針對一類具有不確定擾動且節(jié)點不同的線性耦合動態(tài)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的有限時間同步問題,設(shè)計了一種新的控制器,避免了誤差趨于零導(dǎo)致整體趨于無窮大的現(xiàn)象.本文擬研究一類具有混合時滯和未知干擾的非線性系統(tǒng)的有限時間同步問題,構(gòu)造具有積分項的控制器,并導(dǎo)出系統(tǒng)實現(xiàn)有限時間同步的充分條件.

1 模型建立

考慮含N個節(jié)點且每個節(jié)點都是一個n維動力系統(tǒng)的耦合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò):

(1)

其中第i個節(jié)點的狀態(tài)變量xi(t)=(xi1(t),…,xin(t))T;A,B,C為具有合適維數(shù)的常值矩陣;D=diag{d1,…,dn}和Dτ=diag{dτ1,…,dτn}分別表示節(jié)點i,j在t時刻和t-τ2(t)時刻的半正定內(nèi)部耦合矩陣;f(xi(t))=(f1(xi1(t)),…,fn(xin(t)))T為神經(jīng)元的激活函數(shù);τ1(t),τ2(t)分別為時變內(nèi)部時滯和耦合時滯;D1=(dij)n×n表示連接權(quán)重矩陣;σ(t)為分布時滯;外部耦合矩陣G=(Gij)N×N用于表示網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu),若節(jié)點i與j之間有連接,則Gij>0,否則Gij=0,G是不可約的且滿足耦合條件:

(2)

將系統(tǒng)(1)作為驅(qū)動系統(tǒng),對應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為

(3)

其中yi(t)=(yi1(t),…,yin(t))T為響應(yīng)系統(tǒng)中第i個節(jié)點的狀態(tài)變量;ui(t)為控制輸入;E為系統(tǒng)矩陣;Wi(t)=(Wi1(t),…,Win(t))T為未知干擾,滿足‖Wi(t)‖2≤δ,δ為正常數(shù).

對激活函數(shù)和時滯作如下假設(shè):

(a) 激活函數(shù)fi(·)是連續(xù)有界的,fi(0)=0,且存在常數(shù)hi>0使得|fi(vi)-fi(wi)|≤hi|vi-wi|,其中vi,wi∈R;

定義ei(t)=yi(t)-xi(t)為同步誤差,則由系統(tǒng)(1)(3)可得

(4)

其中F(ei(t))=f(yi(t))-f(xi(t)),F(ei(t-τ1(t)))=f(yi(t-τ1(t)))-f(xi(t-τ1(t))).

引理3[13]假設(shè)x,y∈Rn,則不等式2xTy≤ε-1xTM-1x+εyTMy成立,其中ε>0,M為具有合適維數(shù)的正定矩陣.

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)存在正數(shù)ε1,ε2,ε3,k以及對角矩陣G′=diag{G11,…,GNN},給定矩陣D=diag{d1,…,dn}和Dτ=diag{dτ1,…,dτn}滿足:

(5)

(6)

(7)

(8)

其中H=diag{h1,h2,…,hn}>0,hi為假設(shè)(a)中的參數(shù).

在假設(shè)條件(a)(b)下,設(shè)計控制器

(9)

其中sgn(ei(t))=(sgn(ei1(t)),sgn(ei2(t)),…,sgn(ein(t)))T,|ei(t)|α=(|ei1(t)|α,|ei2(t)|α,…,|ein(t)|α)T,常數(shù)μ>0,0<α<1,則系統(tǒng)(1)(3)在控制器ui作用下可實現(xiàn)有限時間同步.

證明 構(gòu)造Lyapunov泛函

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t),

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

據(jù)引理3～4可得

(18)

據(jù)引理5～6可得

(19)

(20)

(21)

對V2(t),V3(t),V4(t)求導(dǎo)數(shù),有

(22)

(23)

(24)

由式(21)～(24)可知

(25)

根據(jù)引理1知驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)在控制器作用下達到有限時間同步.

3 數(shù)值仿真

筆者通過數(shù)值算例來驗證理論結(jié)果的的正確性和有效性. 考慮系統(tǒng)(1)(3)的參數(shù):

由定理1可知,在控制器(9)的作用下,驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)的運動軌跡是有限時間同步的.

圖1～2分別描述了驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(3)的狀態(tài)演化軌跡,圖3給出了2個系統(tǒng)間的同步誤差.

圖1 xi(t) (i=1,2,3)的軌跡Fig.1 Trajectories of xi(t) (i=1,2,3)

圖2 yi(t) (i=1,2,3)的軌跡Fig.2 Trajectories of yi(t) (i=1,2,3)

圖3 驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差ei(t)(i=1,2,3)Fig.3 Synchronization errors ei(t)(i=1,2,3) of drive-response system