共振條件下具有無(wú)界擾動(dòng)方程的周期解

邢秀梅,王志國(guó),黃強(qiáng)聯(lián)

(1.伊犁師范大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所,新疆 伊寧 835000;2.蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 蘇州 215006;

3.揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

x″+n2x+f(x)+g(x′)=p(t)

(1)

2π周期解的存在性．與Ma[10]研究的方程相比,方程(1)增加了阻尼項(xiàng)g(x′),在一定條件下也可得到方程(1)存在2π周期解．

1 預(yù)備知識(shí)

方程(1)等價(jià)于平面系統(tǒng)

x′=y,y′=-n2x2-f(x)-g(y)+p(t)．

(2)

引理1設(shè)條件(ii)和(iii)成立,則方程(2)滿足(x(t0),y(t0))=(x0,y0)的解(x(t),y(t))存在于整個(gè)t軸．

證明 由條件(ii)知,存在M0>0,當(dāng)|x|≥M0時(shí),|F(x)|≤4-1n2x2．令K(t)=2-1y2(t)+2-1x2(t)+F(x(t))+M+1,其中M=max|x|≤M0|F(x)|．由式(1)直接計(jì)算,得|K′(t)|≤(D+P)K(t),其中P=maxt∈R|p(t)|．兩端積分,有

K(t0)e-(D+P)|t-t0|≤K(t)≤K(t0)e(D+P)|t-t0|,

(3)

故2-1y2(t)+2-1n2x2(t)≤K(t0)e(D+P)|t-t0|．再由解的延拓定理知,解(x(t),y(t))存在于整個(gè)t軸．證畢．

(4)

引理2設(shè)條件(ii)～(iv)成立,則當(dāng)c0充分大時(shí),有θ′(t)<0,t∈[t0,t0+4π]．

(5)

(6)

c0-a<ζ,b-c0<ζ．

(7)

n2a2+2F(a)≤n2I2+2F(x(t))≤n2b2+2F(b)．

記解Λ繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈所用時(shí)間為τ(θ0,I0),則下述結(jié)論成立．

引理4若條件(i)～(iv)成立,則對(duì)充分大的c0,有τ(θ0,I0)=2πn-1+o(1),且τ(θ0,I0)<2πn-1．

注與文獻(xiàn)[1]相比,本文在證明定理的過(guò)程中估計(jì)τ(r0,θ0)的下限并未對(duì)Poincaré 映射,而通過(guò)對(duì)后繼映射應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)定理得到2π周期解的存在性,簡(jiǎn)化了估計(jì)的難度．

2 主要結(jié)論

定理5設(shè)條件(i)～(iv)成立,則方程(1)至少存在一個(gè)2π周期解．