對(duì)稱(chēng)群Sn中元素的分解

陳 杏,史彥青,李立斌

(揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002)

因?yàn)槿我挥邢奕壕瑯?gòu)于某一對(duì)稱(chēng)群的子群[1],故對(duì)稱(chēng)群是代數(shù)中的重要研究對(duì)象之一,也是其他數(shù)學(xué)分支特別是組合數(shù)學(xué)重要的工具之一．Xu[2]證明了當(dāng)且僅當(dāng)n≥5時(shí)對(duì)稱(chēng)群Sn的Cayley圖之間存在NNN-圖;Libman等[3]計(jì)算了對(duì)稱(chēng)群的共軛直徑;Morotti[4]刻畫(huà)了特征2中對(duì)稱(chēng)群的不可約張量積;Giannelli等[5]刻畫(huà)了對(duì)稱(chēng)群的Sylow子群的線性特征;王紹恒等[6]采用理論分析與編程判斷相結(jié)合的方法,獲得了Sn的全部極大子群的生成元及子群的階等結(jié)果;Tsang[7]刻畫(huà)了GaloisSn擴(kuò)張上Hopf-Galois結(jié)構(gòu);Miller[8]刻畫(huà)了對(duì)稱(chēng)群的奇偶性和其他若干性質(zhì);何立官等[9]證明了對(duì)稱(chēng)群Sn可由其階|Sn|與最高元素的階唯一刻畫(huà);Pan[10]證明了關(guān)于對(duì)稱(chēng)群中元素乘積階的一個(gè)猜想;Kleshchev等[11]給出了有限對(duì)稱(chēng)群的不可約模表示維數(shù)的下界．本文擬討論對(duì)稱(chēng)群Sn(n≥4)中元素的分解性質(zhì)．

1 預(yù)備知識(shí)

假設(shè)n是正整數(shù),令A(yù)={1,2,…,n},Sn是A上的對(duì)稱(chēng)群．為了方便,文中用(a1a2…am)表示長(zhǎng)為m的循環(huán)置換,其中a1,a2,…,am∈A;對(duì)任意σ∈Sn,用ο(σ)表示σ的階．

引理1[1]設(shè)σ∈Sn,則σ可以寫(xiě)成若干個(gè)互不相連的循環(huán)置換的乘積．

引理2[1]i) 循環(huán)置換(a1a2…am)的階是m;ii) 若干個(gè)互不相連的循環(huán)置換的乘積與次序無(wú)關(guān)．

引理3[1]設(shè)σ∈Sn．若σ=σ1σ2…σt,其中σ1,σ2,…,σt是長(zhǎng)為r1,r2,…,rt的互不相連的循環(huán)置換,則σ的階是r1,r2,…,rt的最小公倍數(shù)．

引理4[1]設(shè)σ∈Sn,則σ可以表示成若干個(gè)對(duì)換的乘積,且奇偶性由σ唯一確定．

引理5[1]長(zhǎng)為奇數(shù)的循環(huán)置換是偶置換,長(zhǎng)為偶數(shù)的循環(huán)置換是奇置換．

本文中出現(xiàn)的其他術(shù)語(yǔ)出自文獻(xiàn)[1,12]．

2 主要結(jié)果

引理6設(shè)n≥4,則Sn中任意長(zhǎng)度為m的循環(huán)置換可表示成2個(gè)二階元的乘積．

證明 任取σ=(a1a2…am)∈Sn是長(zhǎng)為m的循環(huán)置換,若m=1,則結(jié)論顯然成立．若m=2,即σ=(a1a2),注意到n≥4,則可取a3,a4∈A,且{a1,a2}∩{a3,a4}=?．令τ=(a3a4),δ=(a1a2)·(a3a4),則τδ=(a1a2)=σ,且ο(τ)=ο(δ)=2,故結(jié)論成立．

定理7設(shè)n≥4,則?σ∈Sn,σ均可寫(xiě)成2個(gè)二階元的乘積．

證明 任取σ∈Sn,由引理1可知,σ可以表示成互不相連的循環(huán)置換的乘積,不妨設(shè)σ=(a11a12…a1r1)(a21a22…a2r2)…(as1as2…asrs)．由引理6,得(ai1ai2…airi)=τiδi,其中τi,δi是不相連的二階元的乘積,則ο(τi)=ο(δi)=2,i=1,2,…,s．注意到τi與δi(i≠j)互不相交,有σ=(τ1δ1)(τ2δ2)…(τsδs)=(τ1τ2…τs)(δ1δ2…δs)．令τ=τ1τ2…τs,δ=δ1δ2…δs,則τ,δ為互不相連的二階元的乘積,于是ο(τ)=ο(δ)=2,且τδ=σ．結(jié)論成立．

引理8設(shè)n≥4,則Sn中任意長(zhǎng)度為m的循環(huán)置換都可以表示成一個(gè)二階元和一個(gè)三階元的乘積,其中m>1．

證明 任取σ=(a1a2…am)∈Sn是長(zhǎng)為m的循環(huán)置換．如果m=2,即σ=(a1a2),注意到n≥4,可取a3∈A,且{a1,a2}∩{a3}=?．令τ=(a2a3),δ=(a1a3a2),則τδ=(a1a2)=σ,且ο(τ)=2,ο(δ)=3,故結(jié)論成立．如果m=3,即σ=(a1a2a3),注意到n≥4,取a4∈A,且{a1,a2,a3}∩{a4}=?．令τ=(a1a4)(a2a3),δ=(a1a3a4),則τδ=(a1a2a3)=σ,且ο(τ)=2,ο(δ)=3,故結(jié)論成立．如果3

命題9設(shè)n≥4,則?σ∈Sn,且ο(σ)=3,σ均可寫(xiě)成一個(gè)二階元和一個(gè)三階元的乘積．

證明 任取σ∈Sn,且ο(σ)=3,由引理1可知,σ可以表示成互不相連的三階循環(huán)置換的乘積．① 當(dāng)σ是1個(gè)三階循環(huán)置換時(shí),由引理8可知,結(jié)論成立．② 當(dāng)σ是2個(gè)三階循環(huán)置換的乘積時(shí),不妨設(shè)σ=(a1a2a3)(a4a5a6)．令τ=(a1a5)(a2a6),δ=(a1a6a4)(a2a3a5),則τδ=(a1a2a3)(a4a5a6)=σ,且ο(τ)=2,ο(δ)=3,故結(jié)論成立．③ 當(dāng)σ是r(r>2)個(gè)三階循環(huán)置換的乘積時(shí),不妨設(shè)σ=σ1σ2…σr,其中ο(σi)=3,i=1,2,…,r．由②可知,?τ1,δ1∈Sn且ο(τ1)=2,ο(δ1)=3,使得τ1δ1=σ1σ2,有σ=σ1σ2…σr=τ1δ1σ3σ4…σr．注意到δ1與σi(i=3,…,r)不相交,令τ=τ1,δ=δ1σ3σ4…σr,則τ為2個(gè)互不相連的二階循環(huán)置換的乘積,δ為r個(gè)互不相連的三階循環(huán)置換的乘積,故ο(τ)=2,ο(δ)=3,且τδ=σ．結(jié)論成立．

定理10設(shè)n≥4,則?σ∈Sn,且ο(σ)>2,σ均可寫(xiě)成一個(gè)二階元和一個(gè)三階元的乘積．

證明 任取σ∈Sn,由引理1知,可將σ表示成互不相連的循環(huán)置換的乘積,σ=σ1σ2…σr．由ο(σ)>2知,{ο(σi)|i=1,2,…,r}≠{2}．若{ο(σi)|i=1,2,…,r}={2,3},則結(jié)論顯然成立．若{ο(σi)|i=1,2,…,r}={3},則ο(σ)=3,從而由命題9知,結(jié)論成立．若?i∈{i=1,2,…,r},使得ο(σi)>3．不妨設(shè)σ=σ1σ2…σsσs+1…σtσt+1…σr,其中ο(σi)=2,ο(σj)=3,ο(σk)>3,i=1,2,…,s;j=s+1,s+2,…,t;k=t+1,t+2,…,r．由引理8知,當(dāng)k≥t+1時(shí),σk=τkδk,其中τk是互不相連的二階循環(huán)置換的乘積,δk是互不相連的三階循環(huán)置換的乘積．注意到σl,τi與δj(i≠j)互不相交,l=1,2,…,t,于是σ=(σ1σ2…σs)(σs+1…σt)(τ1δ1)(τ2δ2)…(τsδs)=(σ1σ2…σsτ1τ2…τs)(σs+1…σtδ1δ2…δs)．令τ=σ1σ2…σsτ1τ2…τs,δ=σs+1…σtδ1δ2…δs,則τ為互不相連的二階循環(huán)置換的乘積,δ為互不相連的三階循環(huán)置換的乘積,故ο(τ)=2,ο(δ)=3,且τδ=σ．結(jié)論成立．

注當(dāng)ο(σ)=2時(shí),結(jié)論不一定成立．例如:在S4中,(12)(34)不能寫(xiě)成一個(gè)二階元和一個(gè)三階元的乘積．事實(shí)上,假設(shè)(12)(34)=τδ,其中ο(τ)=2,ο(δ)=3．因?yàn)棣摹蔛4,所以δ是一個(gè)三階循環(huán)置換,由引理5知,δ和τδ是偶置換,于是由引理4知,τ是偶置換．因?yàn)棣?τ)=2,所以τ是2個(gè)不相交的對(duì)換的乘積．由S4中置換的乘積可知,ο(τδ)=3,與假設(shè)矛盾．而在S5中,(12)(34)可以寫(xiě)成一個(gè)二階元和一個(gè)三階元的乘積,只須令τ=(12)(45),δ=(354),則τδ=(12)(45)(354)=(12)(34)．