與可測算子相關(guān)的廣義Heinz 不等式?

李寶珍，韓亞洲,2?

(1. 新疆大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，新疆烏魯木齊 830017；2. 太原理工大學數(shù)學學院，山西太原 030024)

0 引言

我們用Mn表示n×n 階復矩陣構(gòu)成的集合.稱Mn上的范數(shù)‖·‖u為酉不變范數(shù),如果對任意的A ∈Mn,酉矩陣 U,V ∈Mn, 有 ‖UAV ‖u=‖A‖u.

算子范數(shù)形式的Heinz 不等式最早是由Heinz 在文獻[1]中給出的. 此后,Heinz 不等式引起了許多學者的關(guān)注. 1993 年, Bhatia 與Davis 在文獻[2]中得到了酉不變范數(shù)形式的Heinz 不等式

其中0 ≤r ≤1,A,B,X ∈Mn且A,B 是半正定矩陣. 隨后, Zhan 在文獻[3]中證明了含有參數(shù)的Heinz 不等式

2016 年,Kosaki 在文獻[4]中把Heinz 不等式做了如下推廣

最近, Dodds 等在文獻[5]中把Heinz 不等式推廣到了可測算子的形式, 并給出了一些τ-可測算子的Heinz型次優(yōu)化不等式.

本文應用文獻[5-6]中的方法給出了τ-可測算子的廣義Heinz 型次優(yōu)化不等式, 并把上述不等式(2)和(3)推廣到了τ-可測算子的情形.

1 準備知識

本文中M 表示可分希爾伯特空間H 上的具有正規(guī)忠實半有限跡τ 的半有限von Neumann 代數(shù). M+表示M 的全體正元構(gòu)成的錐. 1 表示M 中的單位算子, P(M)表示M 中所有正交投影構(gòu)成的格. M′表示M 的交換子, 記 M′={x ∈B(H):xy=yx,?y ∈M}.

稱x 附屬于M, 若對M′中的任意一個酉元u, 有ux=xu, 其中x:D(x)→H 上的閉稠定線性算子. 稱附屬于M 的算子 x 關(guān)于 τ 可測, 如果對任意的 ε>0, 存在 e ∈P(M), 使得 e(H)?D(x)且 τ(e⊥)≤ ε. L0(M)表示可測算子全體構(gòu)成的集合.

設x ∈L0(M), 對于任意的t>0, 我們定義廣義奇異值μt(x)為

設 x,y ∈L0(M), 我們稱y 次優(yōu)化于x, 若對所有的t ≥0 都滿足

在這篇文章中, 我們通常記作x ??y, 或μ(x)??μ(y).

設 E 是 L0(M)的線性子空間, ‖·‖E是它的范數(shù). 我們稱 ‖·‖E為對稱范數(shù), 如果 x ∈ E, y ∈ L0(M)且μ(y)≤ μ(x)使得 y ∈ E 和 ‖y‖E≤ ‖x‖E. 我們稱 ‖·‖E為完全對稱范數(shù), 如果 E 是對稱范數(shù)并滿足下列條件: 若x ∈E, y ∈L0(M)且 y ??x,則 y ∈E,‖y‖E≤‖x‖E. 如果 E ?L0(M)依完全對稱范數(shù) ‖·‖E成為 Banach 空間,我們稱 E 為完全對稱算子空間. 特別的, 非交換 Lp空間 Lp(M)={x ∈L0(M):‖x‖p=(τ(|x|p))1p<∞}(0

設y,z ∈L0(M)是自伴的. 我們介紹一種特殊的函數(shù)類A, 設

為Borel 函數(shù), Spec(y),Spec(z)分別為y,z 的譜集. 稱φ ∈A, 若存在一個σ-有限的測度空間(?,Σ,m)使得

其中

是有界B(R)×? 可測復值函數(shù)并且

定義1 設y,z ∈L0(M)是自伴算子, φ ∈A. 定義雙重積分算子Ty,zφ,∞:M →M 為

其中上述積分在弱*拓撲意義下存在, 即對任意的a ∈L1(M),

由文獻[5]中的定理4.5 可知, 上述定義是合理的, 并且雙重積分算子Ty,zφ,∞(x)不依賴于φ 的表達式.

定義2 設y,z ∈L0(M) 自伴且φ ∈A. 定義雙重積分算子Ty,zφ,1:L1(M)→L1(M) 為Ty,zφ,∞到L1(M)∩M 的限制的唯一延拓(見文獻[5]中定義4.10). 而且定義雙重積分算子Ty,zφ,+:L1(M)+M →L1(M)+M 為

由于Ty,zφ,1(x)=Ty,zφ,∞(x),x ∈L1(M)∩M, 所以上述定義是合理的.

定義3 設0 ≤y,z ∈L0(M) 且φ ∈A. 若E 是完全對稱算子空間, 則定義雙重積分算子 Ty,zφ,E:E →E 是雙重積分算子Ty,zφ,+:L1(M)+M →L1(M)+M 在E 中的限制.

設 0 ≤y,z ∈L0(M), φ ∈A 且 E 是完全對稱算子空間. 如果 f:Spec(y)→C,g:Spec(z)→ C 是有界 Borel 函數(shù),φ(λ,μ)=f(λ)g(μ),(λ,μ)∈Spec(y)×Spec(z), 因此

此外, 如果 φ1,φ2∈A, 0 ≤y,z ∈L0(M)且 E 是完全對稱算子空間, 容易證明

本文的主要結(jié)果證明中不但要用到上述雙重積分算子的性質(zhì), 還將用到如下引理.

引理 1[5]設 0 ≤y,z ∈L0(M) 且 φ ∈A. 則對任意的 x ∈L1(M)+M, 有

如果E ?L0(M)是一個完全對稱算子空間, 稱E ?L1(M)+M. 由此可知對任意的x ∈E, 有

其中

m 是一個σ-有限測度. 關(guān)于雙重算子積分的基本性質(zhì)與具體知識參見文獻[5, 8]. 在下面的證明過程中我們還將用到著名的Bochner 定理(見文獻[9]), 首先我們回顧一下正定函數(shù)的定義.

定義 4 我們稱函數(shù) f:R → C 為正定函數(shù), 若對任意的 x1,x2,···,xs∈ R 和 c1,c2,···,cs∈ C 滿足

引理2(Bochner’s 定理) 若f:R →C 為一個連續(xù)的正定函數(shù), 則存在R 上的正有限測度m 使得

2 主要結(jié)論

定理1 設E ?L0(M)是一個完全對稱算子空間且y,z 為M 中的可逆正算子. 如果r ∈[0,1]且t ∈(?2,0],則

證明 設

且

首先證明 φ1,φ2且 φ3屬于 A. 因為 y,z 為 M中的可逆正算子, 所以存在 ε > 0, 使得 Spec(y) ∈ [ε,‖y‖] 且

記

則

進而應用 (4)和 (5)可知, φ11, φ21∈A. 再結(jié)合文獻 [5]中的引理 4.6, 可得 φ1∈A. 類似地可以證明 φ2∈A.

且

因此φ3∈A. 進而結(jié)合引理1 與(6),(7)可得, 對于任意

故,

定理2 設y,z 為M 中的可逆正算子且E ?L0(M)是一個完全對稱算子空間. 若s1,s2∈R 且滿足0<|s1|≤|s2|, 則對x ∈ E, 有

證明 設

且

此定理的證明與定理1 類似, 所以我們僅對φ3∈A 的情形加以證明. 因為y,z 為M 中的可逆正算子, 所以存在可知

定理3 設E ?L0(M)是一個完全對稱算子空間,y,z 為M 中的可逆正算子. 則

證明 設

且

此定理的證明方法與定理1 的證明類似, 為了閱讀方便我們給出完整的證明過程. 由φ2的定義可知φ2∈A 顯然成立. 下證 φ3∈A. 因為 y,z 為 M 中的可逆正算子, 所以存在 ε>0 使得 Spec(y)∈[ε,‖y‖]且 Spec(z)∈[ε,‖z‖].設 λ ∈Spec(y),μ ∈Spec(z), 令

因為

且

從而

定理4 設E ?L0(M)是完全對稱算子空間且y,z 為M 中的可逆正算子, 則

證明 此定理的證明方法與定理1 類似, 其中

且

由定理1 的證明方法可知,只需證明φ3∈A 即可.因為y,z 為M 中的可逆正算子,所以存在ε>0 使得Spec(y)∈7.3 可知

因為φ3(λ,μ)滿足文獻[4]中定理6 的條件, 因此存在R 上的一個概率測度m 使得

且

從而,φ3∈A.

定理5 設E ?L0(M)是完全對稱算子空間. 如果y,z 為M 中的可逆正算子, 則

證明 設

且

由定理1 中的證明可得φ1,φ2∈A. 我們只需證明φ3∈A 即可. 因為y,z 為M 中的可逆正算子, 所以存在ε>0使得 Spec(y)∈[ε,‖y‖] 且 Spec(z)∈[ε,‖z‖]. 設 λ ∈Spec(y),μ∈Spec(z), 令

由于