基于滑?？刂频亩嘀悄荏w系統(tǒng)指定時(shí)間一致性?

李雪，于志永，蔣海軍，陳思宇

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊 830017)

0 引言

在過(guò)去的十幾年里, 受自然界中動(dòng)物群體行為的啟發(fā), 人們對(duì)多智能體系統(tǒng)的群體行為展開(kāi)了廣泛的研究.隨著嵌入式計(jì)算和通信能力的提高, 以及分布式思想的提出, 多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制引起了眾多學(xué)者的研究興趣. 多智能體系統(tǒng)的分布式協(xié)同控制廣泛的應(yīng)用于傳感器網(wǎng)絡(luò)[1?2], 機(jī)器人編隊(duì)控制[3?5]等.

多智能體系統(tǒng)的一致性是分布式協(xié)同控制中最基本的問(wèn)題之一.所謂一致性是指一組多智能體通過(guò)局部信息交流達(dá)到某些狀態(tài)相同的行為, 例如位置、速度、姿態(tài)等. 在一致性研究中, 系統(tǒng)的收斂時(shí)間是評(píng)價(jià)一致性協(xié)議的一個(gè)重要指標(biāo). 文獻(xiàn)[6] 研究了有向間歇通訊下二階多智能體系統(tǒng)的漸近一致性. 基于已有的漸近收斂結(jié)果, 在文獻(xiàn)[7-8] 中提出了有限時(shí)間收斂的一致性協(xié)議. 文獻(xiàn)[7] 研究了具有通信時(shí)間延遲和參數(shù)不確定性的多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間主從一致性. 在文獻(xiàn)[8] 中, 作者提出了一種魯棒非脆弱狀態(tài)反饋的設(shè)計(jì)方法, 研究了具有隨機(jī)不確定性和非線性的多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間一致性. 然而, 上述工作得到的停息時(shí)間的估計(jì)依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)和控制參數(shù),這限制了控制協(xié)議的應(yīng)用范圍.為了使停息時(shí)間的估計(jì)不依賴系統(tǒng)的初始狀態(tài),研究者提出了固定時(shí)間一致性. 文獻(xiàn)[9]研究了具有時(shí)滯和未知干擾的多智能體系統(tǒng)固定時(shí)間二部一致性. 進(jìn)一步, 為了使系統(tǒng)在任意預(yù)給的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)一致, 文獻(xiàn)[10-11] 研究了多智能體系統(tǒng)的指定時(shí)間一致性.

在文獻(xiàn)[10-11] 中, 作者考慮的都是理想環(huán)境下的多智能體系統(tǒng)一致性. 在實(shí)際應(yīng)用中, 系統(tǒng)往往處于更加復(fù)雜的環(huán)境并且會(huì)遇到各種外部干擾. 因此, 具有外部干擾的多智能體系統(tǒng)一致性是一個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題. 由于滑?？刂凭哂袑?duì)參數(shù)變化的不敏感性以及對(duì)干擾的完全抑制性等優(yōu)點(diǎn),滑?？刂票挥脕?lái)處理系統(tǒng)的外部干擾問(wèn)題. 利用滑?？刂品椒? 文獻(xiàn)[12] 研究了有向拓?fù)渖隙A非線性多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間一致性. 文獻(xiàn)[13]分別在固定和切換拓?fù)湎卵芯苛司哂袝r(shí)變時(shí)滯和干擾的高階多智能體系統(tǒng)的一致性追蹤問(wèn)題.利用終端滑模控制理論, 文獻(xiàn)[14] 研究了具有未知干擾的二階多智能體系統(tǒng)的固定時(shí)間一致性問(wèn)題. 在文獻(xiàn)[15] 中, 作者提出了新的滑?？刂茀f(xié)議并研究了非線性隨機(jī)多智能體系統(tǒng)的一致性追蹤問(wèn)題. 文獻(xiàn)[12-15] 都運(yùn)用滑模控制理論研究多智能體系統(tǒng)的有限時(shí)間或固定時(shí)間的一致性問(wèn)題, 但多智能體系統(tǒng)的指定時(shí)間一致性問(wèn)題還未考慮. 與有限時(shí)間和固定時(shí)間一致性相比, 指定時(shí)間一致性的收斂時(shí)間可以是預(yù)先給定的任意值, 與系統(tǒng)初值和控制參數(shù)的設(shè)計(jì)無(wú)關(guān). 因此, 運(yùn)用滑?？刂评碚撗芯慷嘀悄荏w系統(tǒng)的指定時(shí)間一致性問(wèn)題具有很大的挑戰(zhàn)性.

本文旨在提出一種新的控制方法分別研究一般無(wú)向和有向網(wǎng)絡(luò)上多智能體系統(tǒng)的指定時(shí)間一致性問(wèn)題.與已有的工作相比, 本文的貢獻(xiàn)主要包括以下三點(diǎn): (1) 與文獻(xiàn)[10-11]相比,本文考慮了具有外部干擾的多智能體系統(tǒng),該系統(tǒng)能夠應(yīng)用于更加復(fù)雜的通訊環(huán)境.(2)基于積分滑?？刂品椒?本文提出了一種新型的控制協(xié)議.該協(xié)議克服了停息時(shí)間依賴系統(tǒng)初值的缺點(diǎn)并可以保證系統(tǒng)在指定時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面并實(shí)現(xiàn)一致. (3) 本文將無(wú)向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湎碌慕Y(jié)果推廣到一般有向網(wǎng)絡(luò)上, 推廣了所提出的控制協(xié)議的應(yīng)用范圍.

1 預(yù)備知識(shí)與模型描述

為了方便, 我們先給出一些記號(hào). Rn代表n 維歐氏空間. IN是N 維單位矩陣. 對(duì)于矩陣B, BT, λmin(B)和 λmax(B) 分別代表 B 的轉(zhuǎn)置, 最小特征值和最大特征值. 對(duì)于向量 q, ‖q‖1, ‖q‖, ‖q‖∞分別代表 q 的 1 范數(shù),2 范數(shù)和無(wú)窮范數(shù). sign(q)=[sign(q1),···,sign(qN)]T, signα(q)=[|q1|αsign(q1),···,|qN|αsign(qN)]T, 其中α >0是一個(gè)常數(shù), sign(·) 代表符號(hào)函數(shù). 此外, ?代表矩陣的Kronecker 乘積, diag(·) 代表對(duì)角矩陣.

1.1 圖論知識(shí)

三元組 G=(V,E,A) 表示由N 個(gè)節(jié)點(diǎn)組成的圖, 其中V={v1,···,vN} 表示節(jié)點(diǎn)集, E 表示邊集, A 表示加權(quán)鄰接矩陣. 如果在 vi和 vj之間存在邊, 則 (i,j)∈E. 在加權(quán)鄰接矩陣 A=[aij]∈RN×N中, 如果 (j,i)∈E, 則有aij>0, 否則aij=0. 節(jié)點(diǎn)i 的鄰居集表示為Ni={j ∈V:(j,i)∈E}. 如果在每個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)之間存在一條有向邊,則圖 G 稱為有向強(qiáng) 連通的. 圖 G 的 Laplacian 矩陣 L=[lij]N×N定義為 L=D?A, 其中 D=diag(d1,···,dN) 稱為度矩陣, 且d=Na. 對(duì)于主從多智能體系統(tǒng), 智能體之間的通訊拓?fù)溆脠DG 來(lái)表示, 且跟隨者之間的通ij=1ij訊拓?fù)浔硎緸閳DGˉ. 領(lǐng)導(dǎo)者與第i 個(gè)代理之間的通信權(quán)重強(qiáng)度用bi表示. 如果第i 個(gè)代理可以接收領(lǐng)導(dǎo)者的信息, 則 bi>0, 否則 bi=0. 定義 B=diag(b1,···,bN).

1.2 指定時(shí)間穩(wěn)定

考慮系統(tǒng)

其中: x(t)∈Rn是狀態(tài)向量, f(·):Rn→Rn為非線性向量值函數(shù), 且滿足f(0)=0.

下面我們給出一些相關(guān)的定義和假設(shè). 首先引入一個(gè)時(shí)變函數(shù)

其中: h>1 是任意實(shí)數(shù), t1=t0+T, T >0 是一個(gè)指定的常數(shù). 顯然, 在 t ∈[t0,t1), μ?q(q>0) 是單調(diào)遞減函數(shù),且 μ(t0)?q=1, limt→t?1μ(t)?q=0. 此外，

定義 1[14]如果系統(tǒng)(1) 的平衡點(diǎn)是全局一致漸近穩(wěn)定的, 并且存在一個(gè)函數(shù)T(t0,x0)≥0 使得系統(tǒng)的解x(t,t0,x0) 滿足 limt→T(t0,x0)‖x(t,t0,x0)‖=0 且對(duì)于所有的 t ≥T(t0,x0) 有 x(t,t0,x0)=0, 則稱系統(tǒng) (1) 的平衡點(diǎn)是全局一致有限時(shí)間穩(wěn)定的, 其中函數(shù)T(t0,x0) 被稱為停息時(shí)間.

定義2[10]如果系統(tǒng)(1) 的平衡點(diǎn)是全局一致有限時(shí)間穩(wěn)定的, 且停息時(shí)間的估計(jì)T >0 是任意給定的與初值無(wú)關(guān)的任意常數(shù), 則稱系統(tǒng)(1) 的平衡點(diǎn)是全局指定時(shí)間穩(wěn)定的.

引理 1[10]對(duì)于系統(tǒng)(1), 如果存在一個(gè)非負(fù)連續(xù)可微函數(shù)V(x(t)): Rn→R 滿足

其中: b>0 是一個(gè)正常數(shù), 則系統(tǒng)(1) 的平衡點(diǎn)是全局指定時(shí)間穩(wěn)定的. 此外, 對(duì)于t ∈[t0,t1) 有

并且對(duì)于 t ∈[t1,∞) 有

1.3 模型描述

考慮具有一階非線性動(dòng)力學(xué)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨多智能體系統(tǒng), 其動(dòng)力學(xué)描述為

其中: x0(t) ∈Rn, w0(t) ∈Rn分別表示領(lǐng)導(dǎo)者的狀態(tài)和外部干擾, f(x0(t)) 表示領(lǐng)導(dǎo)者固有的非線性動(dòng)力學(xué).xi(t)∈Rn, ui(t)∈Rn, wi(t)∈Rn分別表示第i 個(gè)跟隨者的狀態(tài)、控制輸入和外部干擾. f(xi(t)) 表示第i 個(gè)跟隨者固有的非線性動(dòng)力學(xué).在實(shí)際系統(tǒng)中外部干擾一般都是未知的,為得到更精確的收斂結(jié)果,我們假設(shè)外部干擾是可以被測(cè)量的, 即存在 F >0, D>0 使得 ‖w0(t)‖∞≤F <∞, ‖wi(t)‖∞≤D<∞.

定義3 對(duì)于多智能體系統(tǒng)(4) 的任意初值以及任意給定的正數(shù)T >0, 如果

成立, 則稱多智能體系統(tǒng)(4) 在指定時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致.

假設(shè) 1 對(duì)于非線性函數(shù)f(·), 存在非負(fù)常數(shù)ρ1使得

其中: zi(t),z0(t)∈Rn.

假設(shè) 2 網(wǎng)絡(luò)通訊拓?fù)銰 包含至少以一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點(diǎn)的有向生成樹(shù), 并且跟隨者之間的網(wǎng)絡(luò)通訊拓?fù)洹 是無(wú)向的.

假設(shè) 3 網(wǎng)絡(luò)通訊拓?fù)銰 包含至少以一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點(diǎn)的有向生成樹(shù), 并且跟隨者之間的網(wǎng)絡(luò)通訊拓?fù)洹 是有向的.

2 主要結(jié)論

其中: k>0, μ˙1(t) 為(3) 中定義的形式且指定時(shí)間為T(mén)1=t1+T. 根據(jù)滑?？刂评碚? 當(dāng)系統(tǒng)誤差進(jìn)入滑模面時(shí)能體系統(tǒng)(4) 在指定時(shí)間內(nèi)達(dá)到領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致, 第i 個(gè)跟隨者的控制器設(shè)計(jì)如下

在學(xué)生工作中，要做到因事而化、因時(shí)而進(jìn)、因勢(shì)而新。輔導(dǎo)員的工作要貼近學(xué)生，不能脫離學(xué)生的實(shí)際，針對(duì)學(xué)生的現(xiàn)狀及時(shí)調(diào)整工作的方式方法，在不斷調(diào)整與改進(jìn)中迎難而上、銳意改革、積極創(chuàng)新，以改革創(chuàng)新的方法來(lái)解決發(fā)展中的問(wèn)題，不斷增強(qiáng)學(xué)生思政工作的時(shí)代感和吸引力。

其中: k,k1,k2>0 是待定的設(shè)計(jì)參數(shù).

定理 1 考慮多智能體系統(tǒng)(4), 若假設(shè)1 和假設(shè)2 成立, 且控制器(6) 中的參數(shù)k,k1,k2滿足下列條件

則多智能體系統(tǒng)(4) 在控制器(6) 下指定時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致.

證明 對(duì)于t ∈[0,t1), 我們考慮如下Lyapunov 函數(shù)

將Vi(t) 沿著(5) 式求導(dǎo)可得

根據(jù)假設(shè)1 可得

根據(jù)引理1 可得

當(dāng) t →t?1時(shí)，μ?2→0, 我們就有 ‖σi(t)‖→0. 因此, 多智能體系統(tǒng) (4) 可以在指定時(shí)間 t1內(nèi)到達(dá)滑模面.

基于引理1 可知, 當(dāng)t=T1時(shí)可得?V(T1)=0. 因此, e(T1)=0. 根據(jù)假設(shè)2 中網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋱DG 包含至少以一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者為根節(jié)點(diǎn)的有向生成樹(shù), 可知矩陣H 是可逆的. 所以limt→T1?x(t)=0. 由上述證明我們就可以得到在指定時(shí)間T1內(nèi)系統(tǒng)達(dá)到一致.

下面我們將上述結(jié)果推廣到一般有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渖?

定理 2 考慮多智能體系統(tǒng)(4), 若假設(shè)1 和假設(shè)3 成立, 且控制器(6) 中的參數(shù)k,k1,k2滿足下列條件

則多智能體系統(tǒng)(4) 在控制器(6) 下指定時(shí)間內(nèi)達(dá)到一致.

證明 對(duì)于t ∈[t0,t1),類似于定理1 的分析,我們可以得到多智能體系統(tǒng)(4)在指定時(shí)間t1內(nèi)到達(dá)滑模面.

對(duì)于 t ∈[t1,∞), 我們記 L+B = H. 由假設(shè) 3 可知, 矩陣 H 是不對(duì)稱的, 則存在矩陣 P > 0 使得P H+HTP =Q>0. 設(shè)?V(t)=eT(t)(P ?In)e(t), 對(duì)?V(t) 求導(dǎo)可得

基于引理1 可知, 當(dāng)t=T1時(shí)可得?V(T1)=0. 因此, e(T1)=0. 因?yàn)榫仃嘠, P 是可逆的, 所以limt→T1?x(t)=0.由上述證明我們就可以得到在指定時(shí)間T1內(nèi)系統(tǒng)達(dá)到一致.

注 1 定理1 考慮的是一般無(wú)向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渖隙嘀悄荏w系統(tǒng)的指定時(shí)間一致性問(wèn)題. 與定理1 相比, 定理2考慮的是一般有向網(wǎng)絡(luò)拓?fù)? 由于矩陣H 是不對(duì)稱的, 需要選擇正定矩陣P 使其對(duì)稱化.

3 數(shù)值仿真

為了說(shuō)明控制協(xié)議的有效性, 我們給出如下的數(shù)值算例.

例 1 考慮具有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和四個(gè)跟隨者的多智能體系統(tǒng)(4), 領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間的無(wú)向拓?fù)淙鐖D1(a)所示. 非線性函數(shù)定義為

其中: g(xij(t))=0.5(|xij(t)+1|?|xij(t)?1|)+0.01sign(xij(t)),i=0,1,···,4,j=1,2. 系統(tǒng)的外部干擾為 w01(t)=w02(t) = 0.05sin(t)+0.1cos(t), w11(t) = w12(t) = 0.05sin(t)+0.1cos(t), w21(t) = w22(t) = 0.05sin(t)+0.1cos(t),w31(t)=w32(t)=0.05sin(t), w41(t)=w42(t)=0.1cos(t) 并且滿足‖w0(t)‖∞≤ 0.2, ‖wi(t)‖∞≤ 0.2,i=1,2,3,4. 通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算, 我們選取控制參數(shù)為k=0.01, k1=6.8, k2=8.5, h=1.5, 由此定理1 的條件都成立. 數(shù)值模擬結(jié)果如圖2～5 所示, 圖2 和圖4 描述的是無(wú)控制下系統(tǒng)的狀態(tài)與滑模變量的狀態(tài), 圖3 和圖5 分別描述的是在控制協(xié)議(6) 下, 智能體的狀態(tài)以及滑模變量的狀態(tài). 顯然多智能體系統(tǒng)可以在指定時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面并實(shí)現(xiàn)一致.

圖 1 通訊拓?fù)鋱D

圖 2 無(wú)控制下智能體的狀態(tài)軌跡

圖 3 在控制協(xié)議(6) 下智能體的狀態(tài)軌跡

圖 4 無(wú)控制下滑模變量的狀態(tài)

圖 5 在控制協(xié)議(6) 下滑模變量的狀態(tài)

例 2 考慮具有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者和四個(gè)跟隨者的多智能體系統(tǒng)(4), 領(lǐng)導(dǎo)者與跟隨者之間的有向拓?fù)淙鐖D1(b)所示. 非線性函數(shù)f(xi,vi,t) 和系統(tǒng)外部干擾與例1 中的相同. 我們選取控制參數(shù)為k=0.01, k1=2.8, k2=3.5,h=1.7, 通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算, 定理 2 的條件都成立. 數(shù)值模擬結(jié)果如圖 6～9 所示, 圖6 和圖 8 描述的是無(wú)控制下系統(tǒng)的狀態(tài)與滑模變量的狀態(tài), 圖7 和圖9 分別描述的是在控制協(xié)議(6) 下, 智能體的狀態(tài)以及滑模變量的狀態(tài).顯然, 多智能體系統(tǒng)也可以在指定時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面并實(shí)現(xiàn)一致.

圖 6 無(wú)控制下智能體的狀態(tài)軌跡

圖 7 在控制協(xié)議(6) 下智能體的狀態(tài)軌跡

圖 8 無(wú)控制下滑模變量的狀態(tài)

圖 9 在控制協(xié)議(6) 下滑模變量的狀態(tài)

4 結(jié)論

本文研究了無(wú)向和有向網(wǎng)絡(luò)上的多智能體系統(tǒng)指定時(shí)間一致性問(wèn)題. 基于滑?？刂评碚? 我們?cè)O(shè)計(jì)了新型的積分滑模面并提出了新的控制協(xié)議. 利用Lyapunov 穩(wěn)定理論和不等式放縮技巧, 證明了多智能體系統(tǒng)可以在指定時(shí)間內(nèi)達(dá)到滑模面并實(shí)現(xiàn)一致, 并給出兩個(gè)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證理論結(jié)果的有效性. 在未來(lái)的工作中, 我們將考慮高階多智能體系統(tǒng)的指定時(shí)間一致性問(wèn)題.