印度洋海表鹽度預(yù)報的線性馬爾可夫模型及其改進辦法

呂泓柯, 鞏遠發(fā), 王桂華

1. 成都信息工程大學(xué)大氣科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610225;

2. 湖南省人工影響天氣領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室，湖南 長沙 410118;

3. 氣象防災(zāi)減災(zāi)湖南省重點實驗室，湖南 長沙 410118;

4. 復(fù)旦大學(xué)大氣與海洋科學(xué)系, 上海 200438;

海洋表面鹽度(sea surface salinity, SSS)和海洋表面溫度(sea surface temperature, SST)是海洋表面的基本物理狀態(tài), 在水循環(huán)、海洋環(huán)流、海洋生態(tài)系統(tǒng)乃至天氣和氣候變化等方面都發(fā)揮著至關(guān)重要的作用(Lin et al, 2001)。

相比SSS, 人們對SST 的研究深入得多。SST的觀測技術(shù)發(fā)展相對較長, 目前國際上有多種較為完整的SST 產(chǎn)品 (Guan et al, 2003; Thiébaux et al,2003; Reynolds et al, 2007; Woodruff et al, 2011;Donlon et al, 2012), 其應(yīng)用也相當(dāng)廣泛和成熟(Srivastava et al, 2000; Guo et al, 2004; Zhan et al,2011)。然而, 受觀測資料的限制, 鹽度的研究則相對較為匱乏。在20 世紀末Argo 計劃實施前, 全球海洋每年的鹽度觀測數(shù)據(jù)只有溫度的15%左右。Argo 計劃實施后, 對海洋鹽度的觀測能力得到極大提升, 至2005 年左右, 每年的鹽度觀測數(shù)量與溫度基本相當(dāng)(王輝贊 等, 2012)。進一步, 隨著海洋鹽度衛(wèi)星 SMOS(Soil Moisture and Ocean Salinity)、SAC-D(Scientific Application Satellite-D)等的成功發(fā)射, 逐漸積累了一定量的鹽度數(shù)據(jù), 這為開展鹽度方面的研究乃至預(yù)報工作提供了極大保障。

印度洋作為印—太暖池的重要組成部分, 對我國天氣和氣候所起的作用被廣泛關(guān)注。印度洋是印度季風(fēng)的發(fā)源地和流經(jīng)地, 印度季風(fēng)是亞洲季風(fēng)的主要成員, 而印度洋的變化能通過影響具有行星尺度的亞洲季風(fēng)系統(tǒng)在中—高緯度的相互作用來影響中國天氣氣候的異常變化(晏紅明 等, 2000)。海洋上層鹽度對天氣過程、季節(jié)內(nèi)振蕩以及季節(jié)與年際等更為低頻的海氣耦合模態(tài), 都有重要的反饋作用(Qiu et al, 2012)因此, 開展印度洋SSS 的預(yù)報工作,對預(yù)報預(yù)測中國天氣氣候具有一定的指導(dǎo)意義。

現(xiàn)有海洋模型HYCOM、MOM、NEMO、ROMS和POM 等, 可以對全球海洋進行模擬預(yù)報(方長芳等, 2013)。但是, 多變量經(jīng)驗正交函數(shù)(multi-variate empirical orthogonal function, MEOF)和線性馬爾可夫相結(jié)合的預(yù)報模型(簡稱線性馬爾可夫模型, 下同)憑借著計算便捷, 開發(fā)成本低且預(yù)報效果好等因素,被廣泛應(yīng)用于各種海洋要素的預(yù)測, 如太平洋海表溫度異常(Johnson et al, 2000)、南極海冰(Chen et al,2004)、ENSO(Xue et al, 1994)、東亞季風(fēng)降水變化(Wu et al, 2013)等。尚未發(fā)現(xiàn)利用該模型對鹽度進行預(yù)測的研究, 故本文嘗試將線性馬爾可夫模型初步應(yīng)用于印度洋SSS 的預(yù)測, 從混合層鹽度收支方程出發(fā), 選擇海表面高度(sea surface height, SSH)、SST、SSS 等物理量的異常值作為模型的組成部分,對印度洋SSS 進行逐月預(yù)報, 并進一步考慮遙相關(guān)關(guān)系, 提高線性馬爾可夫模型的預(yù)報能力。

1 資料與方法

1.1 資料介紹

基于鹽度方程進行物理量的選擇。由于模式是在MEOF 的基礎(chǔ)上構(gòu)建的, 因此需要考慮大氣、海洋動力學(xué)和熱力學(xué)因素對SSS 變化的作用, 故我們根據(jù)混合層鹽度收支方程(Foltz et al, 2004)選擇物理量。

除了SSS 可以明顯地影響自身變化以外; SSH也可以通過影響海洋水平速度進而影響SSS; 再者,海溫也可以通過影響大氣環(huán)流和降水來間接影響SSS?；诖朔治? 本文選用的資料包括: 來自Argo項 目 (http://apdrc.soest.hawaii.edu/las/v6/constrain?var=204)的月均SSS 數(shù)據(jù), 格點為1°×1°。月均SSH數(shù)據(jù)來自哥白尼海洋環(huán)境監(jiān)測服務(wù)中心 (center for marine environmental monitoring service, CMEMS)(https://marine.copernicus.eu/), 并插值到 0.5°×0.5°的網(wǎng)格上。1°×1°分辨率的SST 數(shù)據(jù)由美國國家環(huán)境預(yù)測中心(National Center for Environmental Prediction, NCEP)(https://psl.noaa.gov/data/gridded/data.ncep.reanalysis.html)提供。此外, 方程中包含的蒸發(fā)、降水等物理量, 因?qū)︻A(yù)報效果改善并不明顯(詳見3.1), 這里一并略去。最后, 參與模型構(gòu)建的時間尺度選擇2005—2017 年, 模型使用的區(qū)域覆蓋了印度洋地區(qū)(40°S—30°N, 30°E—110°W)。

1.2 線性馬爾可夫模型構(gòu)建

關(guān)于線性馬爾可夫模型構(gòu)建細節(jié)(Chen et al,2004)大致分為以下幾個步驟:

1) 計算各變量的逐月異常值, 即各變量減去各月在13 年(2005—2017 年)內(nèi)的平均值, 并分別歸一化。再將上述各異常值保持時間尺度不變, 并在空間上進行累加, 組合成一個時間和空間的二維數(shù)組。

2) 將這個數(shù)組進行MEOF 分解:

式中,V為進行MEOF 分解的數(shù)據(jù)矩陣,E和P分別為MEOF 分解后所得到的空間模態(tài)和相應(yīng)的時間序列,T為矩陣轉(zhuǎn)置符號。

3) 將時間序列按月拆分。假設(shè)相鄰的PC 之間存在線性關(guān)系, 計算自然月間的馬爾可夫過渡矩陣A:

式中,Pi和Pi+1分別為第i個月、第i+1 個月的時間序列,ei為誤差。從上式得到

式中, 尖括號表示時間平均, 對于最優(yōu)的模型配置來說誤差ei與PT i線性無關(guān), 故轉(zhuǎn)移矩陣A為:

由上式得到的轉(zhuǎn)移矩陣一共有12 個, 即1 月與2 月, 2 月與3 月……12 月與翌年1 月間的過渡矩陣。

4) 保留適當(dāng)?shù)哪B(tài), 通過依次應(yīng)用馬爾可夫過渡矩陣預(yù)測時間序列, 并將相應(yīng)的預(yù)測值與各自的空間場相結(jié)合, 最終達到對所選變量預(yù)測的目的。

1.3 統(tǒng)計方法

本文主要運用統(tǒng)計學(xué)的方法來衡量模式預(yù)報結(jié)果的優(yōu)劣性, 包括均方根誤差(RMSE)和相關(guān)系數(shù)(r)。其中均方根誤差是真實值與預(yù)報值之間的偏差,用于衡量模式結(jié)果的準確度。相關(guān)系數(shù)則是反應(yīng)觀測值與預(yù)測值之間相關(guān)關(guān)系的密切程度。設(shè)X（ii= 1,2, …,n） 為預(yù)報值,Yi(i= 1,2,… ,n)為相應(yīng)的觀測值。和σ X(σY)分別為X i(Yi)的平均值和標準差, 有如下的統(tǒng)計關(guān)系:

1.4 基于遙相關(guān)物理量的選擇

傳統(tǒng)線性馬爾可夫模型總是選擇同一區(qū)域的物理量進行構(gòu)建, 本文一開始對印度洋鹽度預(yù)報模型的構(gòu)建亦是如此, 但實際影響印度洋SSS 的物理量遠不止于此, 比如太平洋可以通過印度尼西亞輸運量(Indonesian throughflow, ITF)(劉凱 等,2011)、印度洋偶極子(Indian Ocean Dipole, IOD)(Saji et al, 1999)、熱容量和海洋羅斯貝波等對印度洋產(chǎn)生影響(李雁領(lǐng) 等, 2004; 王健 等, 2014)。所以我們需要考慮遙相關(guān)關(guān)系, 即向該模型里加入不屬于同一區(qū)域但相關(guān)聯(lián)的物理量, 提高模型的預(yù)報水平。

1.5 主要的變化模態(tài)

為合理預(yù)估保留的MEOF 模態(tài)數(shù), 我們首先分別對各個物理量的異常值進行EOF 分解并計算其方差貢獻率。圖1 分別為印度洋區(qū)域海表面高度異常(sea surface height anomaly, SSHA)和海表面溫度異常(sea surface temperature Anomaly, SSTA)以及海表面鹽度異常(sea surface salinity anomaly,SSSA)在EOF 分解后的方差貢獻分布情況。當(dāng)EOF模數(shù)大致小于 5 時, 所有物理量的方差貢獻率都較大, 反之方差貢獻率相對較小。這表明前幾個模態(tài)就能強烈地捕獲這些參數(shù)的主要信息。因此, 在后續(xù)的工作中, 我們只需要為該模型保留 5 個左右的模態(tài)。

圖1 各物理量在不同EOF 模態(tài)上的方差貢獻分布圖Fig. 1 Distribution diagram of the variance contribution of the EOF

MEOF 方法是常用的包含多個氣象要素場的分析方法, 圖2 便是由SSS、SST 和SSH 組合而成的數(shù)組在前三個模態(tài)的空間變化。前三模態(tài)方差貢獻率分別為13.2%、8.6%和5.9%。第一模態(tài)里, SSS隨緯度的分布呈帶狀變化, 正值極區(qū)位于印度洋北部, 負值極區(qū)位于印度洋中部, 隨后在印度洋南部呈現(xiàn)偏正的特征。在第二模態(tài)中, SSS 存在反相變化的偶極模式, 并呈現(xiàn)東西分布的狀態(tài), 這與第二模態(tài)的SST 空間場較為相似。最后, 在第三模態(tài)中,SSS 空間場在大部分海盆內(nèi)都呈現(xiàn)了偏負值的情況,而SSH 空間場的絕大部分海域在前三個模態(tài)也呈現(xiàn)負值。故在模型中加入SSH 和SST, 能更好地模擬印度洋SSS 的空間變化。

圖2 由SSS、SSH、SST 組成的數(shù)組進行MEOF 分解得出的前三模態(tài)的空間場Fig. 2 First three MEOF modes of the combined SSS, SSH and SST

2 模型結(jié)果

2.1 后置預(yù)測

首先使用非交叉驗證方法來討論線性馬爾可夫的后置預(yù)測模型, 這是一種不破壞數(shù)據(jù)連續(xù)性的方法。為使結(jié)果差異明顯, 我們先對每一個網(wǎng)格點隨時間變化的基礎(chǔ)上求得相關(guān)系數(shù), 再進行區(qū)域平均(下同)?；谏鲜鲇懻摰慕Y(jié)果, 保留前3、5、7 個模態(tài)數(shù), 提前0～12 個月預(yù)測場與觀測場之間的區(qū)域平均相關(guān)性如圖3 所示(其中每個點的相關(guān)系數(shù)都通過了顯著性檢驗, 下同)。在大部分提前時間范圍內(nèi),保留模態(tài)數(shù)越多, 預(yù)測效果越好, 所以這里討論保留前7 個模態(tài)的模型。同時, 本文以相關(guān)系數(shù)r=0.5為參考,r>0.5 代表較好的預(yù)報,r＜0.5 則代表不理想的預(yù)報。如圖3a 所示, 如果實驗中只包含SSSA, 大致可提前6 個月在印度洋進行海表鹽度預(yù)報。如果考慮加入SSTA(圖3b)或者SSHA(圖3c), 提前8 個月的預(yù)報效果也是較好的。包含SSHA 或SSTA 的模型似乎顯示了更多與原始場相匹配的細節(jié), 這可能是因為海洋包含了系統(tǒng)的大部分信息。最后, 當(dāng)我們添加了SSSA、SSHA、SSTA(圖3d)之后, 改善效果更為明顯, 甚至可提前9 個月進行印度洋海表鹽度的預(yù)報。

圖3 預(yù)測和觀測SSSA 的相關(guān)性折線圖Fig. 3 Line plot of non-cross-validation correlation coefficients for the predicted and observed SSA

選擇適宜的物理量不是一蹴而就的, 從混合層鹽度收支方程中可以發(fā)現(xiàn), 還有很多物理量會影響鹽度的變化, 如蒸發(fā)、降水、海表面風(fēng)場等等。但如圖4 所示, 這些物理量的加入并不能提高模型的預(yù)報能力, 因此后續(xù)工作中都將其舍棄。

圖4 預(yù)測和觀測SSSA 的相關(guān)性折線圖Fig. 4 Line plot of non-cross-validation correlation coefficients for the predicted and observed SSSA

2.2 交叉驗證

運用交叉驗證, 保留不同MEOF 模態(tài)數(shù)進行后置預(yù)測實驗, 進一步探討模型的構(gòu)造?；谏鲜鲇懻? 模型的技能似乎隨著保留的模態(tài)數(shù)增加而增加。但從理論上講, 馬爾可夫模型只需要保留一定數(shù)量的模態(tài)數(shù), 因為使用太多的模態(tài)可能會有很多噪聲污染模型。此外, 在上述非交叉驗證的預(yù)報中存在一定人為影響, 因為該模型用于驗證的數(shù)據(jù)與參與模型構(gòu)造的數(shù)據(jù)是存在重疊的情況。所以我們運用交叉驗證的實驗來解決上述問題, 一般方法如下: 首先, 對多變量矩陣進行MEOF 分解, 得到對應(yīng)的空間模態(tài)和時間序列(步驟只做一次); 再對每年的PC 進行一一驗證, 這里設(shè)定用于驗證的數(shù)據(jù)是時間范圍為1 年的PC 數(shù)據(jù), 用于驗證的PC 從頭開始逐月向后, 直至?xí)r間序列的末尾, 共計156 次(13 年×12 月=156 次)。這里保留對應(yīng)的物理量和一定的模態(tài)數(shù), 建立線性馬爾可夫的驗證模型。圖5顯示保留了13 年的SSSA、SSHA 和SSTA 組合而成的樣本, 在不同的模態(tài)數(shù)和預(yù)報時間基礎(chǔ)上, 預(yù)測SSSA 和觀測場之間交叉驗證的相關(guān)性。我們得出, 模型預(yù)報技能并沒有隨著保留模態(tài)數(shù)的增加而增加, 當(dāng)保留前5 個模態(tài)時, 預(yù)報效果最好。此外,印度洋區(qū)域海表鹽度的后置預(yù)報技能較為可觀, 即便提前8 個月, 該相關(guān)性也會在0.4 左右浮動。

圖5 后置預(yù)測和觀測SSSA 之間的交叉驗證相關(guān)性在印度洋地區(qū)保留不同模態(tài)數(shù), 由SSSA、SSTA、SSHA 組合而成Fig. 5 Line plot of cross-validation correlation coefficients for the predicted and observed SSSA

為更直觀的對比分析, 把僅包含SSSA 的模型和包含SSSA、SSTA、SSHA 的模型從上述交叉驗證實驗中得到的相關(guān)系數(shù)在空間上進行繪制。其中,所有小于0 的點都設(shè)置為0。如圖6 所示, 2 個模型雖然都存在隨著預(yù)報時間的增加, 預(yù)測效果變?nèi)醯那闆r。但是, 即使提前預(yù)報時間較長(如圖所示提前9 個月), 模型所擁有的相關(guān)性較好的區(qū)域(紅色區(qū)域)也相當(dāng)多, 這說明該預(yù)報模型是可行的, 甚至在部分區(qū)域的預(yù)測效果是很好的。此外, 包含SSSA、SSTA 和SSHA 的模型預(yù)測結(jié)果較好的區(qū)域是完全大于僅包含SSSA 的模型, 這也進一步說明了多元成分模型的優(yōu)越性。

圖6 后置預(yù)測與觀測SSSA 的相關(guān)系數(shù)空間分布圖Fig. 6 Spatial distribution of cross-validation correlation coefficients for the predicted and observed SSSA

綜上所述, 通過上述各種關(guān)于模型構(gòu)造的討論,我們將保留SSSA、SSTA、SSHA 和前5 個模態(tài), 進行后續(xù)預(yù)報實驗。

2.3 考慮遙相關(guān)關(guān)系和相關(guān)系數(shù)的最佳預(yù)測解決方案

為提高預(yù)報效果, 有必要對傳統(tǒng)模型進行改進。由于傳統(tǒng)模型僅由同一區(qū)域的部分物理量進行構(gòu)造, 但是影響該區(qū)域物理量(預(yù)報量)的物理量遠不止于此, 因此, 這里考慮向模型中添加有遙相關(guān)關(guān)系的因子。基于已確定的物理量, 特別添加南太平洋的SSHA、SSTA 以及IOD 系數(shù)(方法2), 挑選合適物理量的方式與3.1 一致, 這里不再贅述。最終基于“實時”預(yù)報的評估結(jié)果如圖7 所示。為避免結(jié)果的偶然性, 我們把新“實時”預(yù)測得到的物理量(預(yù)測量)放入模型中對應(yīng)物理量(觀測量)的末尾,保證模型中數(shù)據(jù)時間尺度不變, 去掉前端的數(shù)據(jù),從而構(gòu)成新的模型。并一次又一次地預(yù)測得到新的量, 重復(fù)上述步驟, 直至?xí)r間序列的末尾, 最后做時間平均。從圖7 可知, 當(dāng)模型添加這些遙相關(guān)量以后, RMSE 明顯變小, 相關(guān)系數(shù)增加。從相關(guān)系數(shù)的均值計算得出, 這樣的預(yù)報效果大約提高10%。這意味著這種方法是可行的, 故下文利用改進后的模型對印度洋SSS 進行“實時”預(yù)測, 進一步檢驗該模型的效果。

圖7 觀測與預(yù)測SSSA 場之間的RMSE 及相關(guān)系數(shù)Fig. 7 The RMSE and the correlation coefficients between the observed and predicted SSSA fields

3 “實時”預(yù)測的評估

所謂“實時”預(yù)測, 預(yù)測的目標周期都超過模型的訓(xùn)練周期。本文從2017 年12 月開始, 逐月對印度洋SSS 進行預(yù)測, 其預(yù)測效果(RMSE 和相關(guān)系數(shù))隨時間的變化如圖8 所示。在預(yù)測的前7 個月內(nèi),RMSE 從0.24 降低到0.1, 相關(guān)系數(shù)從0.95 增加到0.99。不僅如此, 為比較原始數(shù)據(jù)和預(yù)測數(shù)據(jù)隨時間的變化, 我們選擇大洋東西分界78°E 和南北分界線赤道為斷面。同時, 把HYCOM 在2008 年SSS 的逐日后置預(yù)報數(shù)據(jù)處理成逐月平均數(shù)據(jù)(https://www.hycom.org/dataserver/gofs-3pt0/analysis), 一同參與比較。如圖9、10 所示, 首先, 線性馬爾可夫模型預(yù)測得到的SSS 的空間分布特征與觀測場較為吻合,均呈現(xiàn)出西高東低(圖9)和南高北低(圖10)的分布態(tài)勢。此外, 在赤道斷面, 本文模型預(yù)測的SSS 極值在冬季相對較大, 在夏季相對較小, 這與觀測場隨時間的變化情況是一致的, 這說明本模型的預(yù)報場能捕捉與觀測場一致的季節(jié)變化特征。然而, HYCOM 后置預(yù)報場的預(yù)報能力相對較弱, 特別是在赤道斷面上的負值區(qū)域。這也進一步表明本模型對印度洋SSS的時空變化特征具有較好的預(yù)報優(yōu)勢。

圖8 觀測與預(yù)測SSS 之間的RMSE 及相關(guān)系數(shù)(印度洋區(qū)域)Fig. 8 RMSE and correlation coefficients between the observed and predicted SSS in the Indian Ocean

圖9 印度洋區(qū)域赤道斷面提前1～11 個月的SSS 觀測(左)、馬爾可夫模型預(yù)報結(jié)果(中)和HYCOM 后置預(yù)報結(jié)果(右)Fig. 9 SSS observations (left),Markov modelforecast results (center) and HYCOM hindcast results (right)for 1-11months earlier, onthe equatorial section of the Indian

4 結(jié)論與展望

本研究建立了一個MEOF 與線性馬爾可夫相結(jié)合的模型來預(yù)測印度洋區(qū)域SSS 的變化。采用交叉驗證和“實時”預(yù)測的方式評估了該模型的預(yù)測能力?；?13 年逐月樣本的統(tǒng)計模型, 使用印度洋的SSSA、SSTA 和SSHA, 保留前5 個模態(tài), 對印度洋海表鹽度進行預(yù)報, 結(jié)果表明該模型具有較好的性能, 大致可提前9 個月進行較好的預(yù)報。進一步考慮遙相關(guān)作用, 向該模型中添加南太平洋的SSHA, SSTA及IOD 系數(shù), 預(yù)報效率平均提高10%(相關(guān)系數(shù))。

本文采用的預(yù)報方法, 計算便捷且開發(fā)成本低,為變量的預(yù)測提供了一個很好的選擇。但是, 在本文模型中, 加入蒸發(fā)量、降水量和海表面風(fēng)場等物理量并不能給印度洋SSS 帶來更好的預(yù)報效果, 目前尚不清楚原因, 需要進一步探究。未來我們將考慮更多的變量來拓展本文的工作, 并進一步推廣至全球海洋SSS 的預(yù)測。