基于少樣本不確定性的結構可靠性拓撲優(yōu)化設計

何佳琦，賈曉璇，鐘杰華，許元男，羅陽軍

（1. 大連理工大學航空航天學院，大連，116024；2. 中國運載火箭技術研究院，北京，100076）

0 引 言

實際航空航天等重要工程中，廣泛存在大量的不確定性信息，如載荷不恒定、材料屬性波動以及結構尺寸誤差等。為了避免由不確定性因素導致的結構性能偏差，工程上在結構設計階段常采用安全系數法來得到一種較為保守的結構設計形式。然而，傳統(tǒng)的安全系數法可能設置過大的安全系數導致設計過于保守，也可能因未全面考慮多種不確定性因素的耦合而使得優(yōu)化結構面臨失效的風險。

結構可靠性優(yōu)化設計是以結構可靠性作為結構的安全裕度度量開展結構優(yōu)化設計。該類優(yōu)化設計的統(tǒng)一思路是：首先基于先驗知識與樣本數據將不確定信息量化為數學模型；進而根據不確定性變量與結構安全性能指標之間的函數關系建立不確定性傳播模型；最后以結構安全性指標可靠性作為目標函數或約束函數，采用梯度方法或智能優(yōu)化算法開展結構參數優(yōu)化或拓撲優(yōu)化工作。大量學者采用概率模型對不確定信息進行量化，進而以結構失效概率或可靠度作為結構可靠性度量開展結構可靠性優(yōu)化設計[1,2]。然而，基于概率模型的結構優(yōu)化設計的合理性極大依賴于概率模型的準確性。通過結構優(yōu)化設計得出的結構形式往往逼近力學性能極限，而用來量化制造誤差、載荷等不確定性的概率模型往往會由于樣本數量的局限難以保證其準確性。針對少樣本的不確定信息量化問題，目前已有一些學者提出了根據樣本信息構建凸集模型的有效方法[3～5]。進而，一些學者以非概率可靠性指標作為結構可靠性度量開展結構優(yōu)化設計工作[6,7]。

對于結構優(yōu)化設計方法，在考慮不確定性因素后，很難通過經驗判斷最優(yōu)結構拓撲形式，因此，合理的方式是直接采用考慮不確定性因素的拓撲優(yōu)化方法開展結構設計工作。對于包含較大數目有限元單元數量的可靠性拓撲優(yōu)化問題，已有的可靠性拓撲優(yōu)化算法往往局限于傳統(tǒng)的拓撲優(yōu)化方法[8～10]而導致計算效率較低。羅陽軍等提出了一種基于材料場級數展開（Material-Field Series-Expansion，MFSE）表征結構拓撲演變的新思路[11]，使結構拓撲優(yōu)化問題的設計變量完全擺脫有限元網格依賴性，并實現(xiàn)了拓撲優(yōu)化設計變量的顯著降低。該拓撲優(yōu)化方法已經成功應用于力學問題[12]與光學等。

本文提供了一種基于少樣本的結構可靠性拓撲優(yōu)化設計方法，尋求在滿足結構可靠性要求下，質量最輕的結構拓撲優(yōu)化形式。首先根據樣本數據，基于非概率凸集模型對不確定性變量進行量化，進而采用功能度量法將可靠性指標約束轉化為功能度量以提高優(yōu)化過程的穩(wěn)健性。其次，采用一種序列單循環(huán)的方法將原嵌套優(yōu)化問題解耦，使用MFSE方法大幅度減少設計變量數目提高優(yōu)化計算效率。分別提供了二維平面應力單元算例、三維實體單元算例來驗證本文提供的方法的合理性與適用性。

1 基于樣本數據構建非概率凸集模型方法與非概率可靠性指標定義

對于凸集模型，大體可以分為區(qū)間模型和橢球模型兩類。n維區(qū)間模型從幾何形貌上來講是一個n維超立方盒，其內在地假定了所有的不確定性參數互不相關且各自獨立。而在實際工程中，對于如載荷一類不確定性變量之間一定存在某種相關性，極少存在所有不確定性變量同時達到界限的情況。橢球模型可以在一定程度上反映不確定性變量之間的相關性，因此對于樣本數量不充足且相互間存在相關性的不確定性變量，適合用多橢球模型來進行描述。構建多橢球模型，首先需要根據相關與否將不確定性變量分成若干組，進而對每一組變量構建單橢球模型。多橢球模型本質上是多個單橢球模型的集合，其數學表達式為

1.1 基于樣本數據的多橢球凸集模型構建方法

對于不確定性變量X，其單橢球模型Ω的數學表達式為

將矩陣W做特征值分解：

式中Σ為矩陣W的特征值組成的對角陣，對角線元素代表各個維度的半軸長；Q為對應的特征向量矩陣，其正交向量由Gramm-schmidt Orthogonalization公式產生[8]，是主軸方向的函數，主軸方向向量包含Ni-1個方向角分量。

對于不確定性變量X，通過采樣可獲得樣本集｛xi,i= 1,2,…,M｝，用多維橢球模型量化不確定性變量本質上就是找到體積最小的能包絡所有不確定性變量可能取值范圍的超橢球模型。當橢球模型方向角θ給定時，可將每一個樣本點xk在多橢球主軸方向與其它與主軸垂直方向上投影，可得到樣本點在第l軸上投影的區(qū)間長度dl，即：

式中為xi在橢球模型第l個軸上的投影。在得到樣本點在橢球模型各軸方向上的投影范圍區(qū)間長度dk后，包絡上述多維區(qū)間模型的最小多維橢球半徑可表示為

多維橢球的體積正比于eV：

上式是參數θk（k= 1,…,N-1）的函數，可采用基于Kriging代理模型的EI序列加點算法得到使Ve最小的一組參數θk（k= 1,…,N-1）。

1.2 非概率可靠性指標定義

概率可靠性和非概率可靠性作為結構可靠性分析的兩個分支，都是用來衡量結構對各種不確定性因素的抵抗能力。概率模型強調可接受行為的概率，而非概率可靠性強調的是可接受行為的范圍。因此，非概率可靠性度量可以理解為結構性能指標可接受的波動范圍。

首先將不確定性變量X無量綱化，即進而將多橢球模型投影為單位圓，即超曲面（失效面）g（q）=0將整個設計空間劃分為安全域與失效域，可將坐標原點到失效面g（q）=0的最短距離定義為非概率可靠性指標β：

式（7）中如果 1β=，則表示失效面與不確定性變量范圍相切，結構處于臨界失效狀態(tài)；如果 1β＜，則表示不確定性變量范圍部分或全部處于失效域，結構處于失效狀態(tài)；如果 1β＞，則表示不確定性變量范圍全部處于安全域，結構非概率可靠性指標β越大，表示不確定性范圍距離失效域越遠，結構越安全。

2 非概率可靠性拓撲優(yōu)化定義與求解方法

2.1 基于樣本數據的多橢球凸集模型構建方法

非概率可靠度拓撲優(yōu)化問題可歸納為下述優(yōu)化列式：

式中ρ為單元偽密度向量；q為標準化后的不確定參數；g j（ρ,q）為結構的功能函數。

該優(yōu)化模型中，可靠性指標約束條件的處理較為困難。為增加優(yōu)化迭代過程的穩(wěn)定性和提高收斂效率，通?？刹捎霉δ芏攘糠椒≒MA將可靠性指標約束轉換為其更為穩(wěn)健的等效形式。功能度量方法并不直接比較原優(yōu)化問題中的可靠性指標與其目標下限值，而是在不確定性允許的分布范圍內找出使最可能失效功能函數值最小的點，也可稱MPP點，要求該最小功能函數值非負，即

上述可靠度拓撲優(yōu)化問題為一個嵌套的優(yōu)化模型。兩層循環(huán)方法的計算量非常巨大，并不適合于大型復雜問題的求解。為解決直接求解嵌套優(yōu)化問題計算花費較大的困難，采用序列單循環(huán)方法，通過構造一系列近似的確定性子優(yōu)化問題，將內外層優(yōu)化連續(xù)求解，該序列確定性子優(yōu)化問題與求解MPP點的優(yōu)化列式分別為式（10）與式（11）：

對于優(yōu)化列式（11），可將第j個目標函數在q（k）處做一階泰勒展開，即：

2.2 基于MFSE的拓撲優(yōu)化方法

針對式（10）的優(yōu)化問題，可采用傳統(tǒng)SIMP方法求解，即用每一個有限元單元的有無表征結構拓撲形式?？紤]到實際航空航天結構有限元網格數量巨大，由此會造成優(yōu)化問題設計變量ρ數目巨大。本文采用采用MSFE方法求解確定性拓撲優(yōu)化問題，即用一個材料場（空間有界場）表征結構拓撲形式，見圖1。

圖1 材料場表征結構拓撲形式示意 Fig.1 Schematic illustration of MFSE Method

材料場級數展開表達式為

式中Npt為觀察點數量；η為設計變量；λ與ψ分別為相關矩陣C的特征向量與特征值，相關矩陣C由式（15）、式（16）定義：

式中l(wèi)c為材料場相關長度。

圖2為不同相關長度下的材料場，其中圖2b材料場相關長度大于圖2a材料場中的相關長度。從幾何上來看，大于中相關長度越大，材料場越平滑。在拓撲優(yōu)化過程中，相關長度可起到控制拓撲結構細節(jié)程度的作用，即，相關長度越小，拓撲結構細節(jié)程度越高、細節(jié)構件尺度越小。

圖2 不同相關長度下的材料場 Fig.2 Material Fields with Different Correlation Lengths

式（14）中的材料場級數展開本質上是用個場函數的線性疊加來構成材料場?？紤]到較小的特征值與其對應的特征向量對材料場影響較小，因此可給定一小值ε，經過判斷若則將材料場函數截斷為M項，即：

考慮到φ（x）的值域是（ -∞,+∞），可基于Sigmoid函數將φ（x）投影到區(qū)間［0,1］，即：

式中 參數β可用來調整隨φ（x）增大或減?。▁）趨近于0或1的速率。β取值越大（x）趨近于0的速率快，同時Sigmoid函數非線性程度越高。β取值可在迭代過程中逐步增加使最終的（x）取值趨近于0或1。當空間位置x處，（x）=0認為該處為空相，反之，（x）=1認為該處結構為實相。

室內的體驗效果比模型和圖紙的真實感和沉浸感更為強烈，不過其弊端是不能像在真實樣板房中感受各種材質的質感?？梢酝ㄟ^提升渲染的質量來彌補虛擬環(huán)境中造成的色差。

3 非概率可靠性拓撲優(yōu)化求解流程

可靠性拓撲優(yōu)化算法實施流程如圖3所示。a）根據第1.1節(jié)闡述的方法將樣本數據量化為多橢球凸集模型；b）根據結構設計域形式劃分獨立于有限元網格的觀察點，并根據1.2節(jié)闡述的方法構建材料場函數；c）根據式（13）更新不確定性變量；d）基于移動漸進線法更新設計變量；e）重復步驟c與步驟d，直至滿 足 收 斂 條 件 ：與，迭代結束，輸出滿足可靠性指標的最優(yōu)結構拓撲形式。

4 算 例

4.1 三維算例

算例設計域為長方體結構，如圖4所示，長度l= 48 mm，寬度w=24 mm，高度h=24 mm。該結構在左端面固定，承受3個面內不確定性載荷F1、F2與F3，載荷間存在相關性。結構材料彈性模量存在不確定性，其變化區(qū)間為E∈[1.2×1011，2.1×1011] Pa。

圖4 三維算例結構與載荷形式 Fig.4 Design Domain for 3-dimensional Structure with Multiple Loads

根據不確定性樣本信息（如圖5中所示樣本點），可將載荷不確定性與材料彈性模量不確定性構建為多橢球模型，即一個由用來表征載荷變量的三維橢球與表征材料彈性模量變量的區(qū)間所組成的集合，三維橢球模型如圖5所示。基于MFSE算法可將設計變量從110 592下降到1420。給定可靠性指標設計值為2，功能函數為結構最大位移不超過1 mm。基于本文提出的非概率可靠性拓撲優(yōu)化算法得到結構拓撲構型見圖6，最優(yōu)結構體積分數為18.6%，迭代過程如圖7所示。

圖5 樣本點與三維橢球模型 Fig.5 3-dimensional Ellipsoid Model with Samples

圖6 三維算例最優(yōu)拓撲結構設計 Fig.6 The Optimized Topology Design of 3-dimensional Structure

圖7 三維算例迭代過程 Fig.7 Iteration History for 3-dimensional Structure with Multiple Loads

4.2 圓柱殼正交加筋算例

圓柱殼直徑d=500 mm，高度h=300 mm、厚度t=1.5 mm。針對殼內壁開展正交加筋形式拓撲優(yōu)化設計，蒙皮與加強筋材料彈性模量皆為E=2.1×1011Pa。蒙皮厚度為0.5 mm，加強筋高度為1.5 mm。圓柱殼結構下端面固定，上端面承受2個不確定性剖面集中載荷，分別為相互垂直的剪力Px和Py。載荷作用點距離上端面l=300 mm。該算例結構與載荷如圖8所示，樣本點與量化其不確定性的橢圓模型如圖9所示?？煽啃灾笜嗽O計值為2，功能函數為結構最大位移不超過 2 mm。

圖8 圓柱殼加筋結構與剖面載荷示意 Fig.8 Schematic Illustration of Stiffened Cylindrical Shell Structure with Profile Loads

為實現(xiàn)工程中常見的正交加筋形式，可采用兩個單向材料場疊加的方式。對于單向材料場的表征，只需將式（16）中正交方向的相關長度設置為無窮大即可。對于兩個材料場與相互覆蓋區(qū)域的其插值函數可取為

基于本文提出的非概率可靠性拓撲優(yōu)化算法得到圓柱殼加筋結構最優(yōu)正交加筋拓撲構型如圖10所示，其體積分數為37.4%。

圖10 最優(yōu)正交加筋拓撲構型 Fig.10 The Optimized Topology Design of the Orthogonal Stiffened Cylindrical Shell Structure

采用傳統(tǒng)設計方法往往忽略載荷間的關聯(lián)性，采用極值載荷（或在載荷平均值基礎上乘以可包絡極值的安全系數）開展設計，即不確定性載荷分別取為：Px=14 kN，Py=9 kN；而采用非概率可靠性設計，在給定非概率可靠性指標范圍內，最危險工況對應載荷為：Px=13.93 kN，Py=8.27 kN。相比較于傳統(tǒng)設計方法，非概率可靠性設計方法對應的工況可以與可靠性指標一一對應起來，而傳統(tǒng)設計方法選取的載荷工況往往缺乏理論依據且容易造成過于保守的情況。此外，基于材料場表征拓撲構型，在大幅度縮減設計變量的同時，易于實現(xiàn)工程上常用的正交加筋構型或其它規(guī)則加筋形態(tài)的拓撲優(yōu)化設計。

5 結束語

本文針對實際航空航天結構設計過程中，廣泛存在的不確定性樣本少且結構有限元模型規(guī)模巨大的情況，提出了一種高效的可靠性拓撲優(yōu)化設計方法。首先將不確定性樣本量化為多橢球模型，并根據結構設計域構建材料場函數，進而結合功能度量法與序列單循環(huán)策略求解優(yōu)化問題，最后將最優(yōu)材料場映射回原設計空間得到最優(yōu)結構拓撲形式。算例驗證了基于MFSE法減少設計變量規(guī)模的效率以及本文提出的可靠性拓撲優(yōu)化設計方法的適用性與合理性。