基于觀測(cè)器的飛行器魯棒故障診斷與容錯(cuò)控制方法

彭 宇，林瑞仕，高曉穎，屈玉苗，白 駿

（北京航天自動(dòng)控制研究所，北京，100076）

0 引 言

隨著現(xiàn)代工業(yè)控制系統(tǒng)的復(fù)雜性與集成度日益提高，可靠性和安全性成為衡量系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)，因此對(duì)于容錯(cuò)控制的研究具有深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)意義。容錯(cuò)控制是建立在故障檢測(cè)和估計(jì)的基礎(chǔ)上，附加控制律以確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。近二十年來(lái)，基于觀測(cè)器的故障估計(jì)和容錯(cuò)控制一直受到廣泛的關(guān)注，并已成功應(yīng)用到一些實(shí)際系統(tǒng)中[1～5]。

自適應(yīng)故障估計(jì)觀測(cè)器具有能夠?qū)顟B(tài)信息和故障信息同時(shí)估計(jì)出來(lái)的優(yōu)點(diǎn)，適用于多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)狀態(tài)變量不完全可測(cè)的情況。近年來(lái)，學(xué)者針對(duì)該領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究[6～13]，文獻(xiàn)[7]引入適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，有效放松了系統(tǒng)嚴(yán)格正實(shí)（SPR）條件，拓寬了自適應(yīng)故障估計(jì)觀測(cè)器的適用范圍，并通過(guò)提出一種比例加積分的故障估計(jì)算法提高了故障估計(jì)的準(zhǔn)確性和快速性，但是在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模中沒(méi)有考慮未知輸入擾動(dòng)的影響。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)的故障估計(jì)觀測(cè)器抑制了干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，具有良好的魯棒性，但是在定義Lyapunov函數(shù)時(shí)選取了特殊的Lyapunov矩陣，造成了系統(tǒng)信息的缺失，具有一定的保守性，降低了故障估計(jì)的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[9]提到了基于故障估計(jì)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋容錯(cuò)控制器設(shè)計(jì)，依據(jù)魯棒H∞控制理論構(gòu)造LMI約束抑制干擾向量對(duì)系統(tǒng)性能的影響，但是在求解LMI時(shí)忽略了變量之間的關(guān)系，無(wú)法得到正確的狀態(tài)反饋矩陣K，所以文獻(xiàn)[9]轉(zhuǎn)而設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)輸出反饋容錯(cuò)控制器來(lái)確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

針對(duì)上述分析，本文在自適應(yīng)故障估計(jì)算法的基礎(chǔ)上，將狀態(tài)估計(jì)誤差和故障估計(jì)誤差組成增廣系統(tǒng)，并構(gòu)造LMI約束抑制干擾對(duì)觀測(cè)器設(shè)計(jì)的影響。在故障估計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋容錯(cuò)控制器，采用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

1 系統(tǒng)描述

考慮有未知輸入擾動(dòng)及故障模式下的線性時(shí)不變（LTI）動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述如下：

式中x（t），u（t）分別為狀態(tài)向量、控制輸入向量，x（t） ∈Rn，u（t） ∈Rm；y（t）為量測(cè)輸出向量，y（t） ∈Rp；d（t） ∈Rd為未知輸入擾動(dòng)向量（包括外界干擾和系統(tǒng)內(nèi)部噪聲），d（t） ∈Rd且為L(zhǎng)2范數(shù)有界即d（t） ∈L2［ 0 ,T）；f（t）為系統(tǒng)故障向量，f（t） ∈Rr；A，B，C，D，E均為適當(dāng)維數(shù)已知確定矩陣，B，E均是列滿秩矩陣。

為了檢測(cè)和估計(jì)故障，對(duì)系統(tǒng)式（1）、式（2）構(gòu)造相應(yīng)的全階故障估計(jì)觀測(cè)器如下：

根據(jù)式（1）式（4）作如下定義：

則可得到誤差動(dòng)態(tài)方程如下：

式中ex（t）為狀態(tài)估計(jì)誤差，ex（t） ∈Rn；ey（t）為輸出估計(jì)誤差，ey（t） ∈Rp；ef（t）為故障估計(jì)誤差，ef（t）∈Rr。

2 自適應(yīng)增廣故障估計(jì)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

定義故障估計(jì)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)如下：

式中R為待設(shè)計(jì)的增益矩陣。

注1：從式（10）可知，故障估計(jì)的導(dǎo)數(shù)（t）即估計(jì)故障的變化趨勢(shì)由故障估計(jì)本身（t）和系統(tǒng)輸出估計(jì)誤差ey（t）組成，具有自適應(yīng)調(diào)節(jié)的功能。

本文考慮的是時(shí)變故障，即（t）≠0，則故障估計(jì)誤差對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)如下：

將式（8）和式（11）組成一個(gè)增廣系統(tǒng)：

由式（12）可知，除了待設(shè)計(jì)的增益矩陣L和R以外，其他系數(shù)矩陣均為已知確定的。因此，故障估計(jì)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)問(wèn)題可以描述為：設(shè)計(jì)最優(yōu)的觀測(cè)器增益矩陣使得增廣誤差系統(tǒng)式（12）漸近穩(wěn)定，并且使?fàn)顟B(tài)估計(jì)誤差ex（t）和故障估計(jì)誤差ef（t）盡量達(dá)到最小。

注2：根據(jù)全維觀測(cè)器的漸近等價(jià)條件[14]可知，本節(jié)設(shè)計(jì)的增廣故障估計(jì)觀測(cè)器存在的充分必要條件為被觀測(cè)系統(tǒng)是可觀測(cè)的。

定理1：考慮系統(tǒng)式（12），對(duì)于給定的標(biāo)量 0γ＞和α＞0，如果存在對(duì)稱正定矩陣和矩陣使得式（13）、式（14）成立，則增廣故障估計(jì)觀測(cè)器可使得狀態(tài)估計(jì)誤差和故障估計(jì)誤差以α穩(wěn)定裕度指數(shù)收斂，并且滿足

證明：首先定義一個(gè)Lyapunov函數(shù)為

取其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：

將式（16）代入式（18）可得：

由式（17）可知 0J＜即＜0Π，應(yīng)用Schur補(bǔ)引理可得到式（13）成立。根據(jù)李亞普諾夫判據(jù)推廣形式即特征值分布理論[14]可得，若式（14）成立，狀態(tài)估計(jì)誤差和故障估計(jì)誤差是穩(wěn)定的并以α穩(wěn)定裕度指數(shù)收斂。

證畢

注3：在這里，假設(shè)故障及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)均為L(zhǎng)2范數(shù)有界即f（t）,（t） ∈L2［0,T），因此增廣向量組（t）為L(zhǎng)2范數(shù)有界。從定理1可以看出，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)量γ，可以使得狀態(tài)估計(jì)誤差和故障估計(jì)誤差盡量達(dá)到最小。

注4：從文獻(xiàn)[8]中可以看出，傳統(tǒng)自適應(yīng)故障估計(jì)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法中選取的Lyapunov函數(shù)為

從定理1的證明中可以看出，本文設(shè)計(jì)的算法將未知待求矩陣L和R組成一個(gè)增廣矩陣，誤差增廣系統(tǒng)式（12）中其他系數(shù)矩陣均為已知，使得Lyapunov矩陣可以作為一個(gè)整體代入計(jì)算，即選取的Lyapunov函數(shù)為

式中P11，P12，P22為中適當(dāng)維數(shù)的子矩陣。這樣充分利用了系統(tǒng)信息，降低了設(shè)計(jì)的保守性。

注5：從式（14）可以看出，定理1利用α穩(wěn)定裕度來(lái)改善狀態(tài)估計(jì)誤差和故障估計(jì)誤差的收斂速度。

通過(guò)定理1給出的算法可以求得自適應(yīng)增廣故障估計(jì)觀測(cè)器增益矩陣L和R，從而同時(shí)得到系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)向量（t）和故障估計(jì)向量（t）。

3 容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)

本節(jié)將基于第2節(jié)獲得的系統(tǒng)狀態(tài)和故障的實(shí)時(shí)估計(jì)信息設(shè)計(jì)容錯(cuò)控制器，使得系統(tǒng)在出現(xiàn)故障時(shí)仍可確保穩(wěn)定性?？紤]實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)變量一般都是不可測(cè)的，因此容錯(cuò)控制方法采用基于故障估計(jì)觀測(cè)器的反饋控制，而反饋控制通常分為狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制。

文獻(xiàn)[9]提到了基于故障估計(jì)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)，依據(jù)魯棒H∞控制理論構(gòu)造LMI約束抑制干擾向量η（t）對(duì)系統(tǒng)性能的影響，但是在設(shè)計(jì)的LMI中同時(shí)出現(xiàn)了定義的新變量W=KP，K和P，使得在運(yùn)用MATLAB中LMI工具箱求解的過(guò)程中將三者當(dāng)作各自獨(dú)立的變量，忽視了W=KP，無(wú)法得到正確的狀態(tài)反饋矩陣K，因此給容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)一定的困難。因此，文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)了動(dòng)態(tài)輸出反饋容錯(cuò)控制器來(lái)確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為了克服上述設(shè)計(jì)過(guò)程中的難點(diǎn)，本文運(yùn)用一種新的構(gòu)造LMI約束和變量處理方法，解決了基于故障估計(jì)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋容錯(cuò)控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。首先給出以下假設(shè)。

假設(shè)1：rank（B,E） =rank（B）。

由文獻(xiàn)[8]可知，假設(shè)1相當(dāng)于存在一個(gè)矩陣B*∈Rm×n使得

式中K∈Rm×n為狀態(tài)反饋矩陣。

在這里，將式（20）代入式（1）可得：

將式（19）代入式（21）可得：

定理2：考慮系統(tǒng)式（22），對(duì)于一個(gè)給定的標(biāo)量β＞0，如果存在對(duì)稱正定矩陣Q∈Rn×n和矩陣M∈Rn×n使得如下LMI成立，則基于故障估計(jì)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制可使系統(tǒng)式（1）狀態(tài)魯棒穩(wěn)定，并且滿足

式中ψ11=QA+ATQ-M-MT；M=QBK。

證明：首先定義一個(gè)Lyapunov函數(shù)為

取其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)：

將式（25）代入式（27）可得：

由式（26）可知J＜0即Ω＜ 0，應(yīng)用Schur補(bǔ)引理可得到式（23）成立。因此系統(tǒng)式（1）狀態(tài)x（t）魯棒穩(wěn)定，并且滿足

證畢

注6：從第2節(jié)可得到，狀態(tài)估計(jì)誤差ex（t）和故障估計(jì)誤差ef（t）是收斂的，即干擾向量η（t）為L(zhǎng)2范數(shù)有界，所以通過(guò)選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)量β，經(jīng)過(guò)LMI約束可以最大限度的減小干擾向量η（t）對(duì)系統(tǒng)性能的影響。

注7：從式（23）可知，通過(guò)對(duì)LMI的求解可以得到兩個(gè)變量的值，即M和Q。根據(jù)定義式=M QBK可知：

在這里，由于B是列滿秩矩陣，B的左逆存在且唯一，即B+=（BTB）-1BT，所以在式（28）等號(hào)兩邊同時(shí)乘以B+，可得狀態(tài)反饋矩陣K=B+Q-1M。另外，由文獻(xiàn)[7]可知，式（20）中的B*可取為B+，即B*=B+。

4 仿真算例

考慮系統(tǒng)式（1）、式（2），給定系統(tǒng)參數(shù)如下：

本文考慮的是執(zhí)行器故障，這類故障通常發(fā)生在控制輸入通道。在這里假設(shè)干擾分布矩陣為D=［0.01 0.01 0.01 0.01］T，則可以構(gòu)造滿足式（12）中的增廣系數(shù)矩陣，和。通過(guò)計(jì)算可得，是可觀測(cè)的，滿足增廣故障估計(jì)觀測(cè)器存在的充分必要條件。

第2節(jié)中的算法分析及說(shuō)明：根據(jù)定理1，設(shè)H∞性能指標(biāo)γ=0.325和穩(wěn)定裕度α=0.2，運(yùn)用MATLAB中LMI工具箱的求解器feasp，可得滿足式（13）、 式（14）的解和，由可解得：

即自適應(yīng)增廣故障估計(jì)觀測(cè)器增益矩陣為

第3節(jié)中的算法分析及說(shuō)明：根據(jù)定理2，設(shè)H∞性能指標(biāo)β=1.0001，求解LMI可得Q和M，然后通過(guò)式解得：

再將B*E=［ 0 .5787］代入式（20）即可得到基于故障估計(jì)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋控制u（t）。

下面將通過(guò)對(duì)兩種故障類型的仿真分析闡述本文所提出算法的有效性。這里假設(shè)控制輸入u（t）是幅值為0.06的常值信號(hào)，未知輸入d（t）是功率為0.005，采樣時(shí)間為0.01 s的白噪聲信號(hào)。

a）突變性故障。

定義執(zhí)行器發(fā)生的故障f（t）如下：

圖1給出了故障f（t）的估計(jì)曲線。圖2給出了有故障時(shí)系統(tǒng)在容錯(cuò)控制作用下的輸出響應(yīng)曲線。

圖1 故障估計(jì)曲線 Fig.1 Fault Estimation Curve

圖2 系統(tǒng)在容錯(cuò)控制作用下的輸出響應(yīng)曲線 Fig.2 The Output Response Curve of the System under Fault-tolerant Control

b）漸變性故障。定義執(zhí)行器發(fā)生的故障f（t）如下：

圖3給出了故障f（t）的估計(jì)曲線。圖4給出了有故障時(shí)系統(tǒng)在容錯(cuò)控制作用下的輸出響應(yīng)曲線。

圖3 故障估計(jì)曲線 Fig.3 Fault Estimation Curve

圖4 系統(tǒng)在容錯(cuò)控制作用下的輸出響應(yīng) Fig.4 The Output Response Curve of the System under Fault-tolerant Control

從以上仿真結(jié)果可以看出，本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)增廣故障估計(jì)觀測(cè)器可以快速準(zhǔn)確的估計(jì)時(shí)變故障，同時(shí)在出現(xiàn)故障時(shí)，設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋控制器可以使系統(tǒng)保持很好的穩(wěn)定性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文基于自適應(yīng)故障估計(jì)觀測(cè)器，將系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)誤差與故障估計(jì)誤差增廣成一個(gè)系統(tǒng)來(lái)求取觀測(cè)器增益，將狀態(tài)信息和故障信息同時(shí)估計(jì)出來(lái)，并利用故障估計(jì)信息附加控制律構(gòu)造狀態(tài)反饋容錯(cuò)控制系統(tǒng)。本文利用了魯棒H∞控制理論構(gòu)造LMI約束以及新的變量處理方法，有效的解決了傳統(tǒng)自適應(yīng)故障估計(jì)觀測(cè)器難于處理存在未知擾動(dòng)的不確定性系統(tǒng)和無(wú)法準(zhǔn)確、快速估計(jì)時(shí)變故障等問(wèn)題。