基于多任務(wù)差分進化的飛行器近似優(yōu)化方法

陳 晅，朱華光，龍 騰，葉年輝，史人赫

（1. 北京理工大學(xué)，北京，100081；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

0 引 言

作為一類復(fù)雜的系統(tǒng)工程，飛行器設(shè)計過程中通常需要針對不同工況及任務(wù)需求進行系統(tǒng)方案優(yōu)化，且不同優(yōu)化任務(wù)之間往往存在一定的相關(guān)性與相似性（例如，不同工況下的最優(yōu)氣動外形設(shè)計）。為了實現(xiàn)相似優(yōu)化任務(wù)的高效協(xié)同求解，多任務(wù)優(yōu)化的概念應(yīng)運而生[1]，核心思想是利用相似任務(wù)間的優(yōu)化知識遷移對多個優(yōu)化任務(wù)同時求解。近年來，國內(nèi)外學(xué)者針對多任務(wù)優(yōu)化理論與方法開展了廣泛研究[2～4]。

隨著數(shù)值計算技術(shù)和計算機仿真技術(shù)的發(fā)展，計算流體力學(xué)、有限元分析等高精度建模方法在飛行器設(shè)計優(yōu)化中得到廣泛應(yīng)用。為了降低高耗時仿真模型分析成本，代理模型方法在工程設(shè)計領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[5]。近年來，基于代理模型的進化算法（Surrogate Assisted Evolution Algorithm，SAEA）[6～8]成為了工程優(yōu)化領(lǐng)域的研究熱點。在國內(nèi)外研究方面，Long等[9]提出了一種基于知識遷移抽樣的代理模型輔助差分進化算法，通過序列遷移優(yōu)化高效求解新優(yōu)化任務(wù)。然而，如何實現(xiàn)飛行器不同優(yōu)化設(shè)計任務(wù)的協(xié)同高效求解，仍是當前飛行器設(shè)計優(yōu)化理論研究與工程實踐中需要解決的重要問題。

為提高多個相似飛行器優(yōu)化設(shè)計任務(wù)的綜合優(yōu)化性能并降低優(yōu)化總成本，提出一種基于多任務(wù)差分進化的近似優(yōu)化方法（Multitasking Differential Evolution Based Approximation Optimization Method，MTDE-AOM），并通過標準數(shù)值測試和翼型多任務(wù)優(yōu)化工程案例對MTDE-AOM的優(yōu)化性能進行驗證。

1 徑向基函數(shù)方法介紹

徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）是一種插值型代理模型，該代理模型方法可表示為徑向函數(shù)線性加權(quán)形式[10]：

式中φ（·）為核函數(shù)。采用逆多二次函數(shù)作為RBF核函數(shù)；w為權(quán)重系數(shù)矢量，可以由下式求解得到[11]

式中ns為構(gòu)造代理模型的樣本規(guī)模。

2 MTDE-AOM介紹

2.1 飛行器多任務(wù)優(yōu)化問題建模

飛行器多任務(wù)優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型如式（3）所示：

式中x(i)為第i個任務(wù)的設(shè)計變量；nv為設(shè)計變量維度；fi為第i個優(yōu)化任務(wù)的目標函數(shù)；與分別為第i個任務(wù)的設(shè)計變量下界和上界；為第i個任務(wù)的第j個約束函數(shù)；為第i個任務(wù)的約束函數(shù)的數(shù)量nT為優(yōu)化任務(wù)數(shù)量。對于約束優(yōu)化問題，采用罰函數(shù)法構(gòu)建增廣目標函數(shù)，將其轉(zhuǎn)換為無約束問題進行求解。

2.2 MTDE-AOM流程

MTDE-AOM算法流程如圖1所示，具體步驟如下。

圖1 MTDE-AOM方法流程 Fig.1 Flowchart of MTDE-AOM

a）初始參數(shù)設(shè)置，包括初始種群規(guī)模Np、最大迭代次數(shù)Gm、初始縮放因子F0、交叉概率CR；定義多任務(wù)優(yōu)化問題，包括任務(wù)數(shù)量nT、問題維度nv，各優(yōu)化任務(wù)目標函數(shù)、約束函數(shù)以及設(shè)計空間等。令當前進化代數(shù)G=1。

b）采用拉丁超方試驗設(shè)計方法在歸一化設(shè)計空間中獲取Np個初始樣本點xdata，計算初始樣本點xdata關(guān)于各任務(wù)的增廣目標函數(shù)值Fi(xdata)并添加到樣本數(shù)據(jù)庫中。

c）進化代數(shù)G=1時，將作為所有優(yōu)化任務(wù)共享父代種群；當進化代數(shù)G≥2時，將更新后的子代種群作為新父代種群。其中，父代個體xj可表示為對共享父代種群進行變異和交叉操作[11,12]。

1）對于父代個體jx，通過變異操作生成變異個體vj，vj可以表示為從而獲得變異種群采用Rand/1變異策略實現(xiàn)變異操作。此外，使用自適應(yīng)縮放因子更新方法[13]在優(yōu)化過程中動態(tài)調(diào)節(jié)縮放因子大小，具體如式（4）所示：

式中F0是初始縮放因子；Gm是最大迭代次數(shù)；G是當前進化代數(shù)。

2）對種群個體xj和vj進行交叉操作生成試驗個體并獲得試驗種群

d）使用樣本數(shù)據(jù)庫中所有樣本構(gòu)造各任務(wù)增廣目標函數(shù)的RBF代理模型并預(yù)測試驗種群個體各任務(wù)的響應(yīng)值

e）使種群個體針對每個任務(wù)分別進行選擇 操作[12,13]，經(jīng)選擇后獲得nT個子代種群每個子代種群個體數(shù)為Np，第i個優(yōu)化任務(wù)的子代種群可以表示為

f）對式（3）中的目標函數(shù)與約束函數(shù)構(gòu)造RBF代理模型，并采用序列二次規(guī)劃算法求解，將獲得的各優(yōu)化任務(wù)局部最優(yōu)解添加到子代種群中。

g）采用多任務(wù)樣本遷移機制，即通過聚類分析獲取各優(yōu)化任務(wù)優(yōu)質(zhì)子代個體，共同組成下次迭代共享父代種群，具體如下：

1）使用k-means算法對當前子代種群xgen進行聚類，對于第i個優(yōu)化任務(wù)的種群，聚類個數(shù)為Np/nT個。將該類別個體中的最優(yōu)個體表示為

式中表示第i個優(yōu)化任務(wù)對應(yīng)的子代種群經(jīng)過聚類操作以后的第m個類別的所有個體；表示該類別的個體數(shù)量；表示第i個優(yōu)化任務(wù)第m個類別的最優(yōu)個體。本步驟中，通過聚類分析篩選出各優(yōu)化任務(wù)優(yōu)質(zhì)子代個體。

2）保留第i個優(yōu)化任務(wù)每個類別的最優(yōu)個體，并將其加入該優(yōu)化任務(wù)的新子代種群中，將Tn個優(yōu)化任務(wù)的子代種群合并，組成個體總數(shù)為pN的新子代種群，并更新樣本庫。

h）判斷是否達到最大種群進化代數(shù)，若沒有達到，令G=G+1,返回步驟c；否則，優(yōu)化過程結(jié)束，輸出各優(yōu)化任務(wù)的最優(yōu)解。

3 標準數(shù)值測試算例

為了驗證MTDE-AOM算法的多任務(wù)優(yōu)化性能，選取了文獻[9]中6個標準數(shù)值測試算例，與標準多任務(wù)差分進化算法（Multitasking Differential Evolution，MTDE）[4]及標準差分進化算法（Differential Evolution，DE）[11]進行對比，對MTDE-AOM的收斂性和優(yōu)化效率進行驗證。

3.1 算例描述與參數(shù)設(shè)置

MTDE-AOM算法的參數(shù)設(shè)置如表1所示，MTDE算法各參數(shù)與MTDE-AOM保持一致，DE算法的種群規(guī)模為 2Np，其余參數(shù)與表1一致。各算法分別對各算例連續(xù)優(yōu)化20次，統(tǒng)計優(yōu)化結(jié)果中可行解的最優(yōu)解、均值、最差解、標準差進行對比。

表1 MTDE-AOM算法參數(shù)設(shè)置 Tab.1 Parameter Configuration of MTDE-AOM

對于約束優(yōu)化算例，MTDE-AOM、MTDE和DE算法參數(shù)設(shè)置與表1一致，最大模型調(diào)用次數(shù)設(shè)為

3.2 優(yōu)化結(jié)果及分析

各優(yōu)化算法的優(yōu)化結(jié)果對比如表2所示，各算法的平均模型調(diào)用次數(shù)如表3所示。優(yōu)化結(jié)果表明，對于SC問題，3種優(yōu)化算法均能夠收斂至各優(yōu)化任務(wù)的最優(yōu)解附近。隨著優(yōu)化問題維度增加，MTDE與DE算法的全局收斂性變差。以EP20優(yōu)化問題為例，對于優(yōu)化任務(wù)1，MTDE-AOM優(yōu)化結(jié)果最優(yōu)性與MTDE、DE算法相比分別提升50.21%和97.37%；對于優(yōu)化任務(wù)2，MTDE-AOM的優(yōu)化結(jié)果最優(yōu)性分別提升12.31%和95.91%。由MTDE與DE算法對比結(jié)果可知，采用多任務(wù)樣本遷移機制能夠加快進化種群優(yōu)化收斂。在優(yōu)化效率方面，相比于MTDE方法，MTDE-AOM由于引入了RBF代理模型做近似優(yōu)化，有效降低了真實模型調(diào)用次數(shù)，其平均計算成本降低了25.40%～41.23%。對于G09約束問題，相比于MTDE，在模型調(diào)動次數(shù)基本相同的情況下，最優(yōu)性分別提升7.95%和10.36%，相比于DE，最優(yōu)性提升7.30%和14.63%。

表2 MTDE-AOM、MTDE和DE標準算例優(yōu)化結(jié)果對比 Tab.2 Comparison of MTDE-AOM, MTDE, and DE on Numerical Benchmarks

表3 平均模型調(diào)用次數(shù)對比 Tab.3 Comparison of Average Number of Function Evaluations of Benchmarks

4 翼型多任務(wù)優(yōu)化工程案例

4.1 翼型多任務(wù)優(yōu)化問題

為進一步驗證提出的MTDE-AOM的工程實用性，將該方法應(yīng)用于翼型氣動多任務(wù)優(yōu)化問題[9,14]。對多種工況下的不同基準翼型進行優(yōu)化，改善翼型的升阻力特性，優(yōu)化模型如式（7）所示：

式中C lCd為翼型升阻比；tmax為翼型的最大相對厚度；t0與Cd0分別為基準翼型的最大相對厚度與阻力系數(shù)。各優(yōu)化任務(wù)的設(shè)計工況與基準翼型如表4所示。

表4 設(shè)計工況與基準翼型表 Tab.4 Design Conditions and Benchmark Airfoils

4.2 優(yōu)化結(jié)果對比分析

采用MTDE-AOM和DE算法求解式（7）所示翼型氣動多任務(wù)優(yōu)化問題，最大模型調(diào)用次數(shù) NFEmax均設(shè)置為1500。

表5給出了在兩個工況下使用MTDE-AOM和DE兩種算法優(yōu)化前后翼型的參數(shù)對比。圖2給出了優(yōu)化前后翼型外形的對比，各優(yōu)化任務(wù)優(yōu)化后的翼型升阻比分別提升了102.26%和10.27%，對于任務(wù)1，與初始翼型相比，優(yōu)化翼型最大厚度略有降低，上翼面中部變平，減小阻力，下翼面后部內(nèi)凹程度變大，因此有效地提升了翼型升力。對于任務(wù)2，翼型整體向上隆起，下翼面向內(nèi)凹陷，因此優(yōu)化后翼型彎度變大，從而有效提升了亞聲速翼型升力。

表5 翼型優(yōu)化結(jié)果 Tab.5 Result of Airfoil Optimization

圖2 翼型優(yōu)化前后對比 Fig.2 Comparison of Initial and Optimized Airfoils

5 結(jié)束語

為提升相似的飛行器系統(tǒng)優(yōu)化任務(wù)求解性能，定制一種多任務(wù)樣本遷移機制，從而利用進化過程中各優(yōu)化任務(wù)的優(yōu)質(zhì)個體信息，實現(xiàn)多個相似設(shè)計優(yōu)化任務(wù)協(xié)同優(yōu)化。優(yōu)化結(jié)果表明，MTDE-AOM算法與MTDE、DE算法相比，在全局收斂性、計算效率以及魯棒性等方面具有優(yōu)勢。未來將提出的算法應(yīng)用到飛行器裝備系統(tǒng)技術(shù)指標多任務(wù)優(yōu)化工程實踐。