基于動態(tài)高斯濾波的拓?fù)鋬?yōu)化靈敏度過濾方法

王 偉,張岐良+,徐穎珊

(1.中山大學(xué) 系統(tǒng)科學(xué)與工程學(xué)院，廣東 廣州 510006；2.北京空天技術(shù)研究所，北京 100039)

0 引言

結(jié)構(gòu)優(yōu)化[1]是在給定的設(shè)計區(qū)域內(nèi)，在滿足約束條件和載荷作用下，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)的最佳性能。隨著航空航天業(yè)以及建筑業(yè)的快速發(fā)展，越來越多的工程師和建筑師開始注重結(jié)構(gòu)優(yōu)化，都試圖利用結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)來得到最完美的結(jié)構(gòu)。現(xiàn)如今，結(jié)構(gòu)優(yōu)化已滲入到工程中的各個方面，例如可用于多相材料結(jié)構(gòu)設(shè)計[2-3]、柔性結(jié)構(gòu)設(shè)計[4]、熱結(jié)構(gòu)優(yōu)化[3,5-7]、結(jié)構(gòu)輕量化[8]等。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化分為尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化，其中拓?fù)鋬?yōu)化是目前公認(rèn)最具有難度、最有挑戰(zhàn)性的難題。根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)表示模型的不同，拓?fù)鋬?yōu)化方法可分為兩個分支[9-10]：材料描述模型和邊界描述模型。材料描述模型主要包括變密度法[11-13]和ESO(evolutionary structural optimization)法[14]，它是通過有限個密度單元離散設(shè)計域；邊界描述模型主要包括水平集法(Level Set Method，LSM)[15]、移動可變形組件(Moving Morphable Components,MMC)方法[16]和移動可變形孔洞(Moving Morphable Void，MMV)方法[17]，它是用高維函數(shù)隱式或顯式地表示結(jié)構(gòu)邊界的演化過程。

變密度法因原理簡單、易于實現(xiàn)等優(yōu)點被廣泛使用，但數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象如網(wǎng)格依賴性、棋盤格等常出現(xiàn)在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，為了解決此類現(xiàn)象，在文獻(xiàn)[12]中，SIGMUND提出了傳統(tǒng)的靈敏度過濾方法。傳統(tǒng)的靈敏度過濾方法考慮過濾半徑內(nèi)所有單元對中心單元的影響，通過引入權(quán)重因子，對過濾半徑內(nèi)所有單元靈敏度進(jìn)行距離加權(quán)平均，來修改中心單元的靈敏度。通過靈敏度過濾方法，達(dá)到解決網(wǎng)格依賴性、棋盤格等現(xiàn)象的目的，但由于這種“加權(quán)平均”效果使拓?fù)鋬?yōu)化邊界上出現(xiàn)中間密度單元，造成拓?fù)鋬?yōu)化邊界模糊，出現(xiàn)所謂的“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象。

為解決因靈敏度過濾造成的“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象，廉睿超等[18]對灰度單元進(jìn)行分層雙重懲罰，即對過濾后的單元靈敏度再進(jìn)行懲罰；龍凱等[19]考慮密度梯度的靈敏度過濾方法，即在原有靈敏度過濾表達(dá)式中增加密度梯度權(quán)函數(shù)項；張志飛等[20]利用雙重固體各向同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型(Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP)，首先利用帶靈敏度過濾的SIMP方法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，然后用不帶靈敏度過濾的SIMP方法，從而有效抑制灰度單元的產(chǎn)生；陳垂福等[21]考慮變過濾半徑的靈敏度方法，通過在優(yōu)化過程中逐漸減小過濾半徑來抑制中間密度單元的出現(xiàn)；匡兵等[22]對靈敏度過濾公式進(jìn)行改進(jìn)，考慮了過濾前中心單元靈敏度的影響；李家春等[23]基于空間擴(kuò)張策略建立了雙向插值函數(shù)的拓?fù)鋬?yōu)化模型；SIGMUND[24]提出密度投影方法，利用Heaviside函數(shù)對中間密度投影來獲得0/1解決方案；FU等[25]提出一種邊緣光滑的材料分配策略，利用基于tanh函數(shù)表達(dá)式的Heaviside平滑函數(shù)對網(wǎng)格點密度進(jìn)行投影，使密度值快速趨向0和1兩端；HUANG[26]提出一種浮動投影拓?fù)鋬?yōu)化(Floating Projection Topology Optimization，F(xiàn)PTO)方法，該方法基于tanh 函數(shù)利用參數(shù)調(diào)節(jié)對設(shè)計變量進(jìn)行浮動投影。

當(dāng)前方法存在優(yōu)化迭代步數(shù)多、優(yōu)化參數(shù)難以確定等問題，且優(yōu)化結(jié)果不穩(wěn)定，最終的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)仍可能出現(xiàn)中間密度單元。針對具有體積約束的結(jié)構(gòu)柔度最小優(yōu)化問題，采用變密度法來求解該優(yōu)化問題，其主要步驟包括：建立模型、有限元計算、靈敏度過濾與設(shè)計變量更新。針對Sigmund的傳統(tǒng)靈敏度過濾方法因“加權(quán)平均”造成的“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象，本文提出一種基于動態(tài)高斯濾波的靈敏度過濾方法，即在優(yōu)化過程中逐漸減小高斯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的值，降低周圍單元對中心單元的影響，對單元靈敏度進(jìn)行動態(tài)濾波，以避免在優(yōu)化中產(chǎn)生中間密度單元，消除邊界模糊現(xiàn)象，并通過經(jīng)典數(shù)值算例驗證了該靈敏度過濾方法的可行性和穩(wěn)定性。

1 變密度法拓?fù)浣Ｅc求解方法

變密度法[11-13]將設(shè)計域的材料分布問題視為各單元的密度值問題，引入連續(xù)設(shè)計變量x作為單元的相對密度值，通過SIMP模型材料屬性的合理近似模型(Rational Approximation of Material Properties，RAMP)引入懲罰因子，并建立材料彈性模量與單元相對密度之間的函數(shù)關(guān)系，對中間密度值的單元進(jìn)行有限度的懲罰，盡量減少中間密度單元數(shù)，使單元密度值盡可能趨向0或1。

1.1 密度插值模型

本文采用SIMP模型，建立的材料彈性模量與單元相對密度之間的函數(shù)關(guān)系如下[13]：

(1)

式中:E0為固體材料的彈性模量；Emin為空洞部分的彈性模量，其值很小，通常取E0/109，以此來防止整體剛度矩陣奇異；每個單元e被賦予一個密度xe；Ee為單元e的彈性模量；p為懲罰因子。

基于SIMP模型的彈性模量插值公式，結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣表達(dá)式以及整體剛度矩陣靈敏度信息表達(dá)式分別如下[13]：

(2)

(3)

1.2 基于SIMP的拓?fù)鋬?yōu)化模型

基于密度插值模型，建立以結(jié)構(gòu)柔度最小為目標(biāo)，具有體積約束的優(yōu)化問題[13]：

minc(x)=UTKU=

s.t.

KU=F,

0≤x≤1。

(4)

式中:F為施加的載荷矢量，c為結(jié)構(gòu)柔度，U為整體位移矢量，K為整體剛度矩陣，ue是單元位移矢量，ke為單元剛度矩陣，x為設(shè)計變量，N為用于離散設(shè)計域的單元數(shù)目，p為懲罰因子，V(x)為材料體積，V0為設(shè)計域體積，f為規(guī)定的體積分?jǐn)?shù)。

1.3 有限元分析與計算

在結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域，有限元分析是一種常用的近似數(shù)值計算方法，它是用若干個有限大小的單元體離散化連續(xù)體。有限元計算主要包括以下步驟：

(1)將連續(xù)體變換為離散體。將連續(xù)體離散成有限個單元體的集合。

(2)對單元進(jìn)行分析。求出單元的結(jié)點信息、結(jié)點力信息以及剛度矩陣等。

(3)進(jìn)行整體分析。利用單元剛度矩陣組裝整體剛度矩陣，并建立結(jié)點平衡方程組，求解出單元各結(jié)點的位移大小。

在變密度法中，有限元求解是其中的一個步驟，通過調(diào)用有限元求解器更新結(jié)構(gòu)的柔度值與單元靈敏度，進(jìn)而更新設(shè)計變量的值，然后根據(jù)新的設(shè)計變量值再次調(diào)用有限元更新變量，直至達(dá)到拓?fù)鋬?yōu)化的收斂標(biāo)準(zhǔn)。

1.4 優(yōu)化模型求解方法

以結(jié)構(gòu)柔度最小為目標(biāo)，具有體積約束的拓?fù)鋬?yōu)化問題本質(zhì)上是一個二次規(guī)劃問題，而求解這樣的二次規(guī)劃問題主要有兩種方法：一種是優(yōu)化準(zhǔn)則法(Optimality Criteria，OC)[1]，一種是移動漸進(jìn)線法(Method of Moving Asymptotes,MMA)[27]。其中OC法主要用來解決單約束問題，MMA法主要用來解決多約束問題，本文建立的模型為單約束柔度最小化問題，因此采用OC法求解更為方便，效率也更高。

OC法[1]通過引入拉格朗日乘子，將帶約束的目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成拉格朗日函數(shù)，如下所示：

L=c+λ1(V(x)-fV0)+λ2(KU-F)+

(5)

(6)

拓?fù)鋬?yōu)化迭代終止條件由設(shè)計變量的最大變化值決定, 當(dāng)變化量小于等于設(shè)定的容許誤差值時，拓?fù)鋬?yōu)化達(dá)到收斂標(biāo)準(zhǔn)，從而跳出循環(huán)，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下[13]：

max(max|xk+1-xk|)≤ε。

(7)

式中:k為迭代步數(shù)，xk+1為第(k+1)步設(shè)計變量的值，xk為第k步設(shè)計變量的值，ε為設(shè)定的容許誤差。

2 靈敏度過濾方法

基于本文的拓?fù)鋬?yōu)化模型，目標(biāo)函數(shù)c對單元密度xe的靈敏度為[13]：

(8)

2.1 傳統(tǒng)靈敏度過濾方法

Sigmund的傳統(tǒng)靈敏度過濾方法(簡稱傳統(tǒng)方法)[13]如下：

(9)

Hei=max(0,rmin-dist(i,e))，

(10)

Ne={i|dist(i,e)}≤rmin。

(11)

式中:dist(i,e)為單元i的中心與單元e的中心之間的距離，rmin為過濾器的過濾半徑。

傳統(tǒng)方法中，考慮了過濾半徑內(nèi)所有單元對中心單元的影響，通過引入權(quán)重因子對過濾半徑內(nèi)的所有單元靈敏度進(jìn)行距離加權(quán)平均，來修改中心單元的靈敏度。過濾半徑越大，對中心單元造成影響的周圍單元越多，消除棋盤格和網(wǎng)格依賴性效果越好，但是過大的過濾半徑會導(dǎo)致拓?fù)鋬?yōu)化邊界的不清晰，出現(xiàn)“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象；過小的過濾半徑雖然能減少灰度單元的產(chǎn)生，但容易出現(xiàn)棋盤格和網(wǎng)格依賴性現(xiàn)象。因此，傳統(tǒng)方法不能在避免棋盤格和網(wǎng)格依賴性的基礎(chǔ)上，消除“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象，這樣會影響拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的可制造性。

2.2 動態(tài)高斯濾波的靈敏度過濾方法

在拓?fù)鋬?yōu)化初始時，傳統(tǒng)方法利用過濾半徑內(nèi)的單元對中心單元的距離加權(quán)平均影響，來消除棋盤格和網(wǎng)格依賴性現(xiàn)象；隨著拓?fù)鋬?yōu)化的進(jìn)行，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)慢慢形成，這時棋盤格和網(wǎng)格依賴性現(xiàn)象已經(jīng)基本消除，但由于過濾半徑的存在，中心單元仍會受到周圍單元的影響，出現(xiàn)“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象。為此，本文提出一種基于動態(tài)高斯濾波的靈敏度過濾方法，在拓?fù)鋬?yōu)化迭代的初始階段，為避免出現(xiàn)棋盤格和網(wǎng)格依賴性現(xiàn)象，將高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)定為最大值，考慮過濾半徑內(nèi)其他單元對中心單元的影響；隨著優(yōu)化的進(jìn)行，逐漸減小標(biāo)準(zhǔn)差的值，防止過濾方法的“加權(quán)平均”效果產(chǎn)生灰度單元，從而避免出現(xiàn)“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象。其過濾公式如下：

(12)

對于高斯核函數(shù)來說，標(biāo)準(zhǔn)差σ越大，高斯核函數(shù)W的平滑程度就越好，過濾半徑內(nèi)的其他單元對中心單元的影響就越大；標(biāo)準(zhǔn)差σ越小，高斯核函數(shù)W越尖銳，濾波效果就越弱。其中，均值為0，不同σ值對應(yīng)的高斯核函數(shù)圖像如圖1所示。

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差σ小到一定程度時，高斯濾波就相當(dāng)于對單元靈敏度沒有進(jìn)行過濾。因此，在拓?fù)鋬?yōu)化初始時，將標(biāo)準(zhǔn)差σ設(shè)定為最大值，考慮過濾半徑內(nèi)其他單元對中心單元的影響；隨著優(yōu)化的進(jìn)行，逐漸減小標(biāo)準(zhǔn)差σ的值，避免出現(xiàn)“邊界擴(kuò)散”的現(xiàn)象。

為了衡量最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中單元密度的離散程度，構(gòu)建拓?fù)鋬?yōu)化過程的離散性能指標(biāo)[19]：

(13)

式中:s為結(jié)構(gòu)的離散率，N為設(shè)計域中所有離散單元的數(shù)目，xi是第i個單元的相對密度。s為0～1之間的數(shù)，s越小，則更多單元的密度趨向0與1兩端，中間密度單元越少，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)越清晰；當(dāng)s為0時，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)構(gòu)型完全為離散0-1矩陣的形式。

高斯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差σ在拓?fù)鋬?yōu)化過程中是動態(tài)變化的，本文利用離散率s對高斯參數(shù)σ進(jìn)行更新，公式如下：

σ=σmin+(σmax-σmin)×s。

(14)

式中:σmin為標(biāo)準(zhǔn)差σ的最小值，σmax為標(biāo)準(zhǔn)差σ的最大值，通過該公式更新標(biāo)準(zhǔn)差σ，可使σ從最大值σmax逐漸變化到最小值σmin。

基于動態(tài)高斯靈敏度過濾的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化具體步驟如圖2所示。

3 數(shù)值算例

將本文動態(tài)高斯濾波方法與變密度法結(jié)合，并用數(shù)值算例來說明基于動態(tài)高斯濾波的靈敏度過濾方法(簡稱本文方法)的可行性與穩(wěn)定性。在所有算例中，單位都是統(tǒng)一的，并假定以下參數(shù)：E0=1，Emin=10-9，材料的泊松比ν=0.3，rmin=1.5，ε=0.01，本文優(yōu)化算法程序在MATLAB R2012a上實現(xiàn)[13]，實驗環(huán)境為：CPU:11th Gen Intel Core i7-11700，GPU:NVIDIA GeForce GTX 1650 SUPER和32.0 GB運行內(nèi)存。

為了評價最終優(yōu)化結(jié)構(gòu)的清晰程度，量化結(jié)構(gòu)中灰度單元的數(shù)目，引入結(jié)構(gòu)灰度率這一性能指標(biāo)，其公式如下：

(15)

式中:g為結(jié)構(gòu)的灰度率，xmin取0.001，h(xi)為拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中單元密度在xmin～1之間的單元數(shù)目，N為設(shè)計域中單元的總數(shù)目?；叶嚷蔳越大，優(yōu)化結(jié)果存在的灰度單元越多；灰度率g越小，灰度單元越少，優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界越清晰。

3.1 過濾參數(shù)分析

如圖3所示，在簡支梁上部中間位置施加豎直向下，大小為1 kN的集中力，將設(shè)計域劃分為60×20的網(wǎng)格，以結(jié)構(gòu)柔度最小為目標(biāo)，目標(biāo)體積為50%建立拓?fù)鋬?yōu)化模型，因為簡支梁的結(jié)構(gòu)和所受載荷均對稱，所以取簡支梁的一半，并設(shè)置對稱約束，進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。

σmin和σmax取值的不同組合會影響拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，為了評估其影響，本開展了參數(shù)研究。以簡支梁模型為例，選取懲罰因子p=4，對參數(shù)σmin與σmax進(jìn)行參數(shù)選優(yōu)，建立實驗表如表1所示。拓?fù)鋬?yōu)化最終數(shù)據(jù)如表2和圖4～圖7所示，最終結(jié)構(gòu)如圖8所示，依據(jù)迭代步數(shù)、柔度值、結(jié)構(gòu)離散率和灰度率來確定合適的參數(shù)組合值。

表1 不同參數(shù)組合值對應(yīng)的實驗表

表2 不同參數(shù)組合值簡支梁優(yōu)化數(shù)據(jù)

由表2和圖8可知，本文方法得到的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)離散率s的值很小，結(jié)構(gòu)中單元密度趨于兩極化，且灰度率g很小，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)邊界清晰，在消除棋盤格現(xiàn)象的同時，可以解決“邊界擴(kuò)散”問題，最終的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)幾乎無灰度單元。由圖4可知，σmin位于0.01～0.1之間時，優(yōu)化迭代步數(shù)較少，最少迭代步數(shù)僅為39次，σmax增大時迭代步數(shù)會有所增加，但繼續(xù)減小σmin值無助于減少迭代步數(shù)；當(dāng)σmin取0.5或1時迭代步數(shù)大幅增加，最大迭代步數(shù)為200次，是最少迭代步數(shù)的5倍左右。由圖5知，當(dāng)σmin一定時，σmax的值越大，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)柔度值越?。划?dāng)σmax一定時，隨著σmin減小，結(jié)構(gòu)柔度值整體會有一個下降的趨勢，且σmin=0.1是一個分界線，σmin≤0.1時的結(jié)構(gòu)柔度值與σmin>0.1時的結(jié)構(gòu)柔度值相差較大。由圖6可知，當(dāng)σmax一定時，σmin越小，結(jié)構(gòu)離散率s的值越小，單元密度越趨于兩極化；當(dāng)σmin≤0.1時，s的值處于一個很小的范圍，最小s值僅為4.6807e-13。由圖7可知，當(dāng)σmin在0.01～0.1之間取值時，結(jié)構(gòu)的灰度率g極小，最小值為0，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中幾乎無灰度單元，結(jié)構(gòu)邊界清晰；當(dāng)σmin在0.5～1之間取值時，灰度率會相應(yīng)增大，結(jié)構(gòu)邊界處會出現(xiàn)灰度單元，最大灰度率達(dá)到2.75%。由圖6和圖7可看出，σmax越大，結(jié)構(gòu)相應(yīng)的離散率和灰度率會越大。同時考慮優(yōu)化的迭代步數(shù)、結(jié)構(gòu)柔度、結(jié)構(gòu)的離散率與灰度率，數(shù)值實驗表明σmin取值范圍應(yīng)在0.01～0.1區(qū)間內(nèi)。

在簡支梁算例中，當(dāng)σmin分別取0.01、0.05、0.1，圖8的(1)～(5)、(6)～(10)、(11)～(15)分別對應(yīng)不同σmax值的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。當(dāng)σmin分別取0.01與0.05，σmax取5和10時，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)右下角有不連通區(qū)域；當(dāng)σmin取0.1，σmax取5時，結(jié)構(gòu)右下角有不連通區(qū)域，σmax取25時，結(jié)構(gòu)內(nèi)部有微小孔洞區(qū)域，對制造工業(yè)技術(shù)要求較高。數(shù)值實驗表明，當(dāng)σmax取值過大，結(jié)構(gòu)柔度值會隨之降低，但拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)內(nèi)部會出現(xiàn)微小孔洞區(qū)域；當(dāng)σmax取值過小，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會出現(xiàn)不連通區(qū)域；在充分考慮拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可制造性的前提下，σmax取值應(yīng)在15～20之間。

由圖8可知，當(dāng)σmin取值范圍在0.01～1，σmax取值范圍在5～25時，得到的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相似，說明過濾參數(shù)的取值對拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)構(gòu)型的影響小，從而證明了本文方法的適用性與有效性。

3.2 簡支梁優(yōu)化算例

依據(jù)上述參數(shù)分析，選擇σmin=0.01，σmax=20，選取簡支梁的一半結(jié)構(gòu)(如圖3)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化。為了檢驗本文方法的有效性與高效性，將本文方法與傳統(tǒng)方法以及其他文獻(xiàn)提出的方法進(jìn)行對比實驗。實驗相關(guān)數(shù)據(jù)和最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如表3所示。

由表3可知，傳統(tǒng)方法的結(jié)構(gòu)灰度率達(dá)到了34.2500%，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)邊界模糊，存在“邊界”擴(kuò)散現(xiàn)象。本文方法以及文獻(xiàn)[19-21]、文獻(xiàn)[24]提出的方法均降低了結(jié)構(gòu)的柔度值，對灰度單元起到了抑制作用，所得到的最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)方法相似。文獻(xiàn)[19]提出的方法對灰度單元抑制的效果不太理想，灰度率g的值為12.2500%，結(jié)構(gòu)內(nèi)部存在著灰度單元。文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[24]得到的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)內(nèi)部存在微小孔洞區(qū)域，限制了結(jié)構(gòu)的可制造性，且文獻(xiàn)[24]的優(yōu)化迭代次數(shù)達(dá)到了422次，是傳統(tǒng)方法的4.5倍左右。文獻(xiàn)20的方法和本文方法的結(jié)構(gòu)灰度率g均為0，結(jié)構(gòu)中幾乎無灰度單元，消除了由于“加權(quán)平均”效果導(dǎo)致的在拓?fù)鋬?yōu)化邊界上出現(xiàn)中間密度單元造成的結(jié)構(gòu)邊界模糊，但本文方法的迭代次數(shù)僅為45次，是所有方法中最少的，比文獻(xiàn)[21]的迭代次數(shù)減少了32.8358%。本文方法得到的結(jié)構(gòu)離散率最低，離散率的值僅為4.6807e-11%，結(jié)構(gòu)內(nèi)部單元密度趨向0～1兩端；本文方法得到的結(jié)構(gòu)柔度值為195.9681，略高于其他方法的結(jié)構(gòu)柔度值，但相對于傳統(tǒng)方法降低了3.5554%。綜上可知，本文方法在減少迭代次數(shù)和抑制“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象上都體現(xiàn)出了一定的優(yōu)勢。

表3 不同方法的簡支梁優(yōu)化結(jié)果對比

圖9和圖10分別是采用不同方法得到的結(jié)構(gòu)體柔度與體積比隨迭代步數(shù)變化的曲線。

如圖9所示，本文方法和文獻(xiàn)[20]提供的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法在迭代步數(shù)為21步左右，結(jié)構(gòu)柔度開始收斂，早于其他方法，可見本文方法可以加快結(jié)構(gòu)柔度的收斂。如圖10所示，采用本文方法在確保得到目標(biāo)體積的條件下，在優(yōu)化后期結(jié)構(gòu)體積收斂于目標(biāo)體積，而其他方法得到的結(jié)構(gòu)體積一直在目標(biāo)體積附近小幅波動，本文方法相對于其他方法具有更強的穩(wěn)定性。

3.3 L型梁優(yōu)化算例

L型梁的尺寸、邊界條件與受力情況如圖11所示。L型梁的頂部被完全約束，右側(cè)上角位置處受到豎直向下，大小為1 kN的集中力，以結(jié)構(gòu)柔度最小為目標(biāo)，目標(biāo)體積為30%建立拓?fù)鋬?yōu)化模型，根據(jù)參數(shù)選優(yōu)，選取σmin=0.01，σmax=20，設(shè)計區(qū)域用90×90個離散單元進(jìn)行劃分，分別用不同方法對L型梁進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，最終拓?fù)湎嚓P(guān)數(shù)據(jù)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如表4所示。

由表4可知，傳統(tǒng)方法的結(jié)構(gòu)灰度率為12.6420%，結(jié)構(gòu)邊界模糊，存在中間密度單元。本文方法結(jié)構(gòu)的灰度率為1.2346e-2%，結(jié)構(gòu)中無明顯灰度單元，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)邊界清晰，無“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象。文獻(xiàn)[19]、文獻(xiàn)[21]與本文方法的迭代次數(shù)接近，但本文方法的結(jié)構(gòu)柔度值比文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[21]的結(jié)構(gòu)柔度值低，且拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)無明顯的微小孔洞區(qū)域，文獻(xiàn)[21]的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)右上角有明顯的孔洞區(qū)域，而文獻(xiàn)[19]的結(jié)構(gòu)柔度值較大，為138.759 9。文獻(xiàn)[20]和文獻(xiàn)[24]得到的結(jié)構(gòu)柔度值都較低，相對傳統(tǒng)方法分別降低了4.0160%和4.5222%，但文獻(xiàn)[20]所得結(jié)構(gòu)存在孔洞區(qū)域，文獻(xiàn)[24]的優(yōu)化迭代次數(shù)最多，為374次，優(yōu)化收斂速度慢。綜上可知，本文方法不僅可以避免出現(xiàn)“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象，還可以加快拓?fù)鋬?yōu)化的收斂速度。

表4 不同方法的L型梁優(yōu)化結(jié)果對比

3.4 懸臂梁優(yōu)化算例

為了研究本文方法的網(wǎng)格依賴性問題，以懸臂梁為例，如圖12所示。懸臂梁左側(cè)被完全固定，右側(cè)中間位置受到豎直向下，大小為1 kN的集中力，以結(jié)構(gòu)柔度最小為目標(biāo)，目標(biāo)體積為50%建立拓?fù)鋬?yōu)化模型，研究不同網(wǎng)格數(shù)量下的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對照。選取參數(shù)σmin=0.01，σmax=20，兩種方法的最終拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖13和圖14所示。

圖13是不同網(wǎng)格下采用傳統(tǒng)方法得到的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，可以看出拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)出現(xiàn)了一定的網(wǎng)格依賴性現(xiàn)象。當(dāng)網(wǎng)格劃分越細(xì)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會出現(xiàn)越多的細(xì)支結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)變得越來越復(fù)雜，這會加大結(jié)構(gòu)實際制造的難度、成本與時間，不利于實際工程制造。由圖14可知，不同網(wǎng)格下用本文方法得到的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)基本未出現(xiàn)網(wǎng)格依賴性、棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，網(wǎng)格劃分的越細(xì)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)邊界越光滑，更有利于實際工程的制造；圖13的各個拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都有中間密度單元，造成拓?fù)溥吔绮磺逦?，而圖14的各個拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)基本沒有中間密度單元，邊界清晰。由此可知本文方法不僅無棋盤格、網(wǎng)格依賴性等數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，還解決了拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象。

4 結(jié)束語

本文提供一種基于動態(tài)高斯濾波的靈敏度過濾方法。隨著拓?fù)鋬?yōu)化的進(jìn)行，減小高斯函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差的值，防止“加權(quán)平均”效果產(chǎn)生中間密度單元，避免了“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象，提高了拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的可行性和穩(wěn)定性，同時更快、更容易達(dá)到收斂。通過對不同參數(shù)組合值進(jìn)行實驗，確定了參數(shù)值的最佳取值范圍，并通過經(jīng)典算例證實了本文方法不僅保持了傳統(tǒng)方法的優(yōu)點，還解決了拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的“邊界擴(kuò)散”現(xiàn)象。

在實際工程中，結(jié)構(gòu)的中間密度單元并不存在，而本文方法可以有效避免中間密度單元的產(chǎn)生，得到具有清晰邊界的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，也使得最終的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更容易導(dǎo)入CAD軟件中進(jìn)行后處理，故本方法對在實際工程中應(yīng)用拓?fù)鋬?yōu)化具有現(xiàn)實意義。但本方法對過濾參數(shù)的選取具有一定的局限性，如何自動化地進(jìn)行參數(shù)選優(yōu)將是后續(xù)研究的重點。