培養(yǎng)量感意識(shí) 感悟度量本質(zhì)
——以“面積和面積單位”教學(xué)為例

■ 劉曉紅 盧文萍

華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)起源于數(shù)，量起源于量”。作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》新增的核心素養(yǎng)，量感是對(duì)量的感悟和直覺(jué)。建立量感有助于學(xué)生養(yǎng)成用定量的方法認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題的習(xí)慣，是形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，它對(duì)學(xué)生空間觀念的形成、幾何思維的發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升有著非常重要的作用。那么學(xué)生的量感意識(shí)如何培養(yǎng)？度量的本質(zhì)又是怎么感悟的呢？帶著這兩個(gè)問(wèn)題，我們對(duì)“面積和面積單位”這一課展開(kāi)了實(shí)踐研究。

“面積和面積單位”屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域，是學(xué)生在初步掌握長(zhǎng)度和長(zhǎng)度單位、長(zhǎng)方形和正方形的特征及其周長(zhǎng)計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，在空間形式上經(jīng)歷了“從線到面”的飛躍，是從一維空間向二維空間轉(zhuǎn)化的開(kāi)始。教材在編寫上非常重視展現(xiàn)面積概念的形成過(guò)程，注重常用面積單位表象的建立，注重在直觀操作及形式多樣的活動(dòng)中體驗(yàn)、積累感知。因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)幫助學(xué)生建立面積概念，在理解度量意義中體會(huì)量感，體會(huì)面積單位產(chǎn)生的必要性，充分經(jīng)歷確定面積單位的過(guò)程。

一、操作是建立量感的客觀基礎(chǔ)

量感的建立和形成的一個(gè)重要標(biāo)志是學(xué)生會(huì)針對(duì)實(shí)際情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，這就需要大量的直觀操作提供客觀基礎(chǔ)。學(xué)生經(jīng)歷操作的過(guò)程才能對(duì)實(shí)際情境進(jìn)行比較、分析與綜合，抽象出事物本質(zhì)，獲得對(duì)概念、法則及關(guān)系的理解。為了讓學(xué)生體會(huì)面積單位產(chǎn)生的意義，感受統(tǒng)一面積單位的必要性，體現(xiàn)度量方法多樣化和優(yōu)化的思想，學(xué)生必須充分經(jīng)歷用不同圖形作單位度量面積的操作過(guò)程，感受用正方形作面積單位的便捷性和合理性，豐富度量經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)度量意識(shí)。

【教學(xué)片段一】

師：同學(xué)們，如圖1，比一比這4個(gè)圖形中哪一個(gè)的面積最大？

圖1

生：④號(hào)圖形的面積最大。

師：眼力真好！像剛才這樣一眼就能夠看出圖形面積的大小的比較方法，稱為觀察法。

師：哪個(gè)圖形面積最小呢？生：③號(hào)圖形的面積最小。

師：是嗎？我怎么感覺(jué)①號(hào)圖形的面積最小呢？你們有沒(méi)有什么好方法能比較③號(hào)和①號(hào)圖形的面積大小呢？

生：可以將這兩個(gè)圖形重疊起來(lái)比較。

師：我們一起來(lái)試一試。（課件演示）果然是③號(hào)圖形面積小，像剛才這樣把兩個(gè)圖形重疊放在一起比較的方法，稱為重疊法。（板書(shū)：重疊法）

師：老師再考考你們的眼力，老師的手掌面和數(shù)學(xué)書(shū)的封面相比，誰(shuí)的面積大？你們能目測(cè)數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積相當(dāng)于幾個(gè)老師手掌面的面積？

生：數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積大，大約相當(dāng)于老師2個(gè)手掌面的面積。

生：也可能是3個(gè)。

師：意見(jiàn)不同怎么辦？

生：比一比不就知道了。

（教師用手掌做測(cè)量示范，學(xué)生進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積大約是教師3個(gè)手掌面那么大）

師：剛才我們以什么為標(biāo)準(zhǔn)度量數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積？除了用手掌面度量課本封面的面積還可以用什么來(lái)度量課本封面的面積？

（學(xué)生自由量一量，上臺(tái)匯報(bào)交流）

生：我以練習(xí)本的封面為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量，數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積相當(dāng)于1本練習(xí)本封面的面積。

生：我以文具盒為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量，數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積相當(dāng)于4個(gè)文具盒的面積。

生：我以直尺為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量，數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積相當(dāng)于10根直尺的面積。

師：為什么剛剛估測(cè)數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積，怎么有的測(cè)出來(lái)是1 個(gè)的，有的測(cè)出來(lái)是4 個(gè)的，甚至還有10個(gè)的？是數(shù)學(xué)書(shū)封面的面積發(fā)生變化了嗎？

生：沒(méi)有，因?yàn)槲覀冇脕?lái)測(cè)量比較的標(biāo)準(zhǔn)面不一樣，所以測(cè)量出來(lái)的數(shù)量也不一樣。

師（小結(jié)）：原來(lái)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)面不同，測(cè)量的結(jié)果也就不一樣。為了避免數(shù)據(jù)的改變，最好固定一個(gè)測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)面。

師：剛才咱們用觀察法看出大屏幕上④號(hào)圖形的面積最大，用重疊法知道③號(hào)圖形的面積最小，剩下的①號(hào)圖形和②號(hào)圖形相比，誰(shuí)的面積大？誰(shuí)的面積小呢？你們有什么好方法？

生：看不出來(lái)，我們找一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)面測(cè)量就可以了。

師：老師給你們提供了一個(gè)學(xué)具袋，里面有三角形、圓形、長(zhǎng)方形、正方形這四種“標(biāo)準(zhǔn)面”，4人為一組，任選一種作單位來(lái)測(cè)量，比一比哪個(gè)面積大？

（教師利用課件出示操作要求，請(qǐng)小組長(zhǎng)負(fù)責(zé)記錄小組中得出的結(jié)論。學(xué)生活動(dòng)，教師巡視，組織交流與分享?；顒?dòng)結(jié)束后，小組匯報(bào)展示、交流）

師(小結(jié))：大家借助這四種圖形，都比較出了兩個(gè)圖形面積的大小。如果要準(zhǔn)確地測(cè)量圖形面積的大小，你們覺(jué)得用哪種圖形做面積單位最方便、合理？為什么？

生：三角形、圓形都有空隙，有空隙測(cè)量就會(huì)不準(zhǔn)確，正方形沒(méi)有空隙，測(cè)量最準(zhǔn)確。

師：長(zhǎng)方形也沒(méi)有空隙，為什么你們不選用長(zhǎng)方形呢？

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬不相等，我們組在擺的時(shí)候要考慮擺的方向和位置，而正方形不受這些限制，擺起來(lái)就方便多了。

師：你們的想法和數(shù)學(xué)家們的想法是一樣的，正方形確實(shí)是最合適的圖形。所以咱們測(cè)量面積一般統(tǒng)一用正方形做測(cè)量單位。

【思考】面積和面積單位，不是概念術(shù)語(yǔ)的記憶過(guò)程，也不是單純的直觀形象的積累過(guò)程，面積的本質(zhì)是一個(gè)數(shù)，是用“數(shù)”刻畫(huà)“一個(gè)區(qū)域的大小”，是用“數(shù)”描述“形”。這是度量的本質(zhì)，也是面積與長(zhǎng)度、體積相通的地方。因此，就要先確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)做單位，然后數(shù)出有幾個(gè)這樣的單位。故此教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了三個(gè)層次，層次1 和層次2 體現(xiàn)了量的初步認(rèn)識(shí)，層次3 體現(xiàn)了量的間接比較，這樣分化了難點(diǎn)，目的是逐步培養(yǎng)度量意識(shí)，豐富度量經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)出方法多樣化和優(yōu)化的思想。

層次1：面積相差比較大的兩個(gè)物體。通過(guò)展示四個(gè)不同圖形，選擇面積最大的圖形。第四個(gè)圖形明顯比其他圖形大得多，呈現(xiàn)度量方法：觀察法。

層次2：面積接近的兩個(gè)圖形。接下來(lái)選擇面積最小的圖形。通過(guò)比較面積很接近的兩個(gè)圖形，當(dāng)觀察法比較不出結(jié)果時(shí)，自然而然引出第二種度量方法：重疊法。

層次3：面積相差比較小的兩個(gè)圖形。面積的度量工具為什么是小正方形、小圓形、小三角形呢？面積為什么不能用直尺來(lái)度量？面積的度量為什么要讓學(xué)生去“擺”呢？帶著對(duì)這些問(wèn)題的思考，教師設(shè)計(jì)了面積相差比較小且不同的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積大小比較環(huán)節(jié)，可以進(jìn)行這樣的處理：教師沒(méi)有直接把小正方形、小圓形、小三角形等學(xué)具直接提供給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生借助已有的度量經(jīng)驗(yàn)，“小長(zhǎng)度可以度量大長(zhǎng)度”，教師啟發(fā)學(xué)生用“小面積去度量大面積”，讓學(xué)生經(jīng)歷面積單位的產(chǎn)生過(guò)程。學(xué)生在擺的過(guò)程中會(huì)慢慢體會(huì)到，度量工具應(yīng)該與所要度量的物體具有相同的特征。然后，學(xué)生進(jìn)行優(yōu)化選擇，才得出了結(jié)論——用小正方形做測(cè)量面積的面積單位最合適，實(shí)現(xiàn)了操作經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識(shí)的有效對(duì)接。

一系列的操作活動(dòng)使學(xué)生進(jìn)一步明晰思考過(guò)程，主動(dòng)參與建構(gòu)，感受統(tǒng)一面積單位的必要性，豐富了學(xué)生建立面積單位的表象，從而促進(jìn)空間觀念的發(fā)展。

二、想象是理解度量本質(zhì)的有力支撐

想象就是把研究對(duì)象通過(guò)分析位置、度量等關(guān)系產(chǎn)生相應(yīng)的思考。想象需要實(shí)實(shí)在在的支撐，建立在表象的基礎(chǔ)上。想象能幫助學(xué)生從操作實(shí)物向操作表象邁進(jìn)，發(fā)展抽象思維；想象能幫助學(xué)生快速地對(duì)幾何圖形做出判斷分析，以便深入認(rèn)識(shí)空間結(jié)構(gòu)。教學(xué)中教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)想象，調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，從而開(kāi)拓思維的廣度和深度，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，讓表象更豐厚，想象是理解度量本質(zhì)的有力支撐。

【教學(xué)片段二】

1.學(xué)生自學(xué)課本63頁(yè)面積單位

（1）自學(xué)提示

①常用的面積單位有哪些？

②教材是如何描述這些面積單位的？

③在學(xué)具袋中找到這個(gè)單位。

④在生活中找一找和這個(gè)單位大小差不多的物體。

（2）學(xué)生自學(xué)后全班交流

生：面積單位有平方厘米、平方分米、平方米。邊長(zhǎng)是1厘米的正方形的面積是1平方厘米。

（教師把1平方厘米的小正方形貼在黑板上）

師：你們能在學(xué)具袋中找到1 平方厘米的小正方形嗎？請(qǐng)摸一摸這個(gè)小正方形的面積，想一想生活中哪些物體表面的面積大約是1平方厘米？

生：我們大拇指指甲蓋的面積大約是1平方厘米。

師：用手中的1 平方厘米的小正方形去比一比你們的大拇指指甲的面積，看一看它比1 平方厘米大還是?。?/p>

師：閉上眼睛想一想1平方厘米有多大，然后估一估學(xué)具袋中的會(huì)員卡表面的面積大約有多少平方厘米？再動(dòng)手量一量。

師：量完了會(huì)員卡，我們用手中的1平方厘米再來(lái)量一量課桌面的面積，說(shuō)一說(shuō)量后感受。

生：這樣量起來(lái)太慢了，桌面太大了。

師（小結(jié)）：看來(lái)平方厘米適合量比較小的物體。量課桌面的面積我們還需要大一些的面積單位。

2.認(rèn)識(shí)平方分米

師：回顧一下剛才我們是怎樣學(xué)習(xí)平方厘米這個(gè)面積單位的？下面我們就按照平方厘米的學(xué)習(xí)方法來(lái)學(xué)習(xí)平方分米和平方米。

生：邊長(zhǎng)為1 分米的正方形的面積是1 平方分米，我在學(xué)具袋中找到了1 平方分米的小正方形。它的大小大約是我的手掌的面積大小，用它來(lái)測(cè)量桌面比較合適。

（教師把1平方分米的小正方形貼在黑板上）

師：閉上眼睛想一想1 平方分米有多大？然后再動(dòng)手量一量桌面。

（學(xué)生匯報(bào)）

3.認(rèn)識(shí)平方米

師：誰(shuí)來(lái)介紹一下1平方米？

生：邊長(zhǎng)是1 米的正方形的面積是1 平方米，學(xué)具袋中沒(méi)有1平方米的學(xué)具。

師：1 平方米有點(diǎn)大，無(wú)法放進(jìn)咱們的學(xué)具袋。不過(guò)老師做了一個(gè)1 平方米的框架，老師也把它請(qǐng)上黑板，讓大家具體感知一下1平方米有多大，再估一估1平方米的地方能站多少個(gè)同學(xué)？

（教師請(qǐng)這節(jié)課表現(xiàn)最好的學(xué)生上臺(tái)嘗試站入1平方米框架內(nèi)，一共站了10人）

師：大家閉上眼睛把1 平方米的大小牢牢印在腦海里，再估一估黑板的面積。

（學(xué)生匯報(bào)）

【思考】在教學(xué)面積單位中，教師先讓學(xué)生自學(xué)課本，再讓學(xué)生找學(xué)具袋中的1 平方厘米、1 平方分米兩個(gè)面積單位，初步形成表象。在認(rèn)識(shí)平方厘米、平方分米和平方米的三個(gè)活動(dòng)中，雖說(shuō)都是活動(dòng)，但是教師的引導(dǎo)卻有所不同。在教學(xué)平方厘米時(shí)，為了更好地發(fā)展學(xué)生空間觀念，教師一系列的追問(wèn)活動(dòng)都是步步為營(yíng)。教學(xué)平方分米時(shí)，教師讓學(xué)生自主研究，教學(xué)平方米時(shí)完全由學(xué)生感悟，改變了傳統(tǒng)教學(xué)中教師一講到底、不分層次的現(xiàn)象。最后讓學(xué)生用三個(gè)面積單位估測(cè)一些物體表面的大小，借助聯(lián)系生活、想象估測(cè)等手段，有效地幫助學(xué)生發(fā)展了面積單位的空間觀念，增強(qiáng)了面積單位的量感。

上述教學(xué)實(shí)踐與思考，從根本上來(lái)說(shuō)，都是基于如何培養(yǎng)量感意識(shí)進(jìn)行的。整節(jié)課，教學(xué)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣，教學(xué)主線清晰明確，學(xué)生在開(kāi)始認(rèn)識(shí)面積的過(guò)程中積累了大量的感性經(jīng)驗(yàn)，全面理解了面積的概念，為面積大小的比較奠定了基礎(chǔ)。而不同層次的比較面積大小的經(jīng)歷，培養(yǎng)了學(xué)生的度量意識(shí)。最后面積單位的學(xué)習(xí)，有效地幫助學(xué)生發(fā)展了面積單位的空間觀念，增強(qiáng)了面積單位的量感。正是這些體驗(yàn)，加深了學(xué)生的度量意識(shí)，從而不斷地感悟度量的本質(zhì)。