數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的本質(zhì)內(nèi)涵、心理機(jī)制和實踐策略

■ 席愛勇

一、數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的本質(zhì)內(nèi)涵

二、數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的心理機(jī)制

1.數(shù)學(xué)言語表征內(nèi)部轉(zhuǎn)換的心理機(jī)制

數(shù)學(xué)言語表征內(nèi)部轉(zhuǎn)換從表征視角看就是數(shù)學(xué)語義編碼內(nèi)部相互轉(zhuǎn)換形成語義編碼組織的過程，既包括對自然語言進(jìn)行概念化、符號化和形式化數(shù)學(xué)加工的過程，也包括對數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、關(guān)系、規(guī)律、模型、結(jié)構(gòu)等進(jìn)行生活化、通俗化的解釋實踐的過程，是一個由口語、文字和符號三種不同言語表征構(gòu)成的轉(zhuǎn)換循環(huán)系統(tǒng)。

口語表征轉(zhuǎn)換為文字表征，本質(zhì)上就是基于現(xiàn)實生活表象從感性具體向理性具體的轉(zhuǎn)換，是數(shù)學(xué)的第一次抽象過程，即“橫向數(shù)學(xué)化”；文字表征轉(zhuǎn)換為符號表征，本質(zhì)就是基于數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯推理從理性具體向理性一般的轉(zhuǎn)換過程，是數(shù)學(xué)的第二次抽象過程，即“縱向數(shù)學(xué)化”。無論“橫向數(shù)學(xué)化”還是“縱向數(shù)學(xué)化”，都是數(shù)學(xué)抽象建構(gòu)過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”。當(dāng)然，轉(zhuǎn)換是雙向的，符號表征也可以轉(zhuǎn)換成文字表征或口語表征，文字表征也可以轉(zhuǎn)換成口語表征，這是數(shù)學(xué)的解釋和應(yīng)用的過程，也是學(xué)生理解數(shù)學(xué)表達(dá)并進(jìn)行廣泛遷移和靈活應(yīng)用的過程。

2.數(shù)學(xué)心像表征內(nèi)部轉(zhuǎn)換的心理機(jī)制

數(shù)學(xué)心像表征內(nèi)部轉(zhuǎn)換從表征視角看就是數(shù)學(xué)心像編碼內(nèi)部之間相互轉(zhuǎn)換形成心像編碼組織的過程，主要表現(xiàn)為心像表征系統(tǒng)內(nèi)實物圖像、幾何圖形、圖示圖標(biāo)等表征的相互轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生認(rèn)識事物的空間形式、形態(tài)變化、運動規(guī)律和內(nèi)在本質(zhì)關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生空間想象、幾何直觀、空間觀念等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，不斷建構(gòu)和完善學(xué)生的數(shù)學(xué)心理意象和認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖式。

實物圖像表征轉(zhuǎn)換為幾何圖形表征是一個直觀抽象的過程，在這個過程中，剔除了圖形的顏色、材質(zhì)等物理屬性，保留了圖形的空間形式、形態(tài)特征和位置關(guān)系，便于學(xué)生更精準(zhǔn)地從數(shù)學(xué)視角認(rèn)識圖形、理解圖形和研究圖形，讀懂圖形的幾何特征和性質(zhì)規(guī)律，可以形成數(shù)學(xué)直觀?！耙粓D勝千文”大概就是這個意思。當(dāng)然，教師既可以引導(dǎo)學(xué)生從實物圖像表征走向幾何圖形或圖示圖標(biāo)表征，也可以從幾何圖形表征或圖示圖標(biāo)表征走向?qū)嵨飯D像表征，根據(jù)幾何圖形想象所描述的事物，想象物體的方位和相互之間的位置關(guān)系，描述物體的運動和變化，從圖形和幾何的視角進(jìn)行解釋和實踐應(yīng)用，是一個從一般走向特殊的思維過程，有利于提升學(xué)生的幾何直觀和空間觀念。

3.數(shù)學(xué)言語和心像表征相互轉(zhuǎn)換的心理機(jī)制

數(shù)學(xué)言語和心像表征相互轉(zhuǎn)換的心理機(jī)制既表現(xiàn)為從言語表征向心像表征轉(zhuǎn)換的過程，也表現(xiàn)為從心像表征向言語表征轉(zhuǎn)換的過程，從心理表征視角看，就是數(shù)學(xué)語義編碼組織和心像編碼組織的互通互譯，逐步建構(gòu)能深度理解和廣泛遷移應(yīng)用的認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖式的過程。

數(shù)學(xué)言語和心像表征的相互轉(zhuǎn)換可以實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，建立數(shù)形聯(lián)系。正如數(shù)學(xué)家華羅庚所言：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！边@樣，我們就可以把一個相對復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)概念、命題、規(guī)則或問題圖形化，使之簡明、形象，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考和想象，對其數(shù)學(xué)關(guān)系和空間形式能進(jìn)行直觀感知、整體把握和多維表達(dá)，不斷增強(qiáng)運用幾何直觀和空間想象思考問題的意識，逐步形成數(shù)學(xué)直觀，在具體情境中感悟事物的本質(zhì)，形成解決問題的思路。

三、數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的實踐策略

數(shù)學(xué)語言的靈活轉(zhuǎn)換需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實踐中逐步實現(xiàn)。具體地說，教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試通過想、畫、說、寫的策略實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換。首先要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)客觀現(xiàn)實生活或數(shù)學(xué)對象嘗試去想一想，如果學(xué)生一時想不明白，就可以引導(dǎo)他們嘗試去畫一畫，再去想一想。學(xué)生只有想明白了才有可能說明白，學(xué)生說明白了才有可能寫明白。因此，想、畫、說、寫是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)理解、實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的行為邏輯。

1.讓學(xué)生嘗試想

數(shù)學(xué)的研究對象無論是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)，還是點、線、面、體，在現(xiàn)實生活中都是不存在的，都是人們通過數(shù)學(xué)思維想出來的符號表征系統(tǒng)。數(shù)學(xué)概念的歸納、數(shù)學(xué)規(guī)則的提煉、數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)都需要學(xué)生嘗試去想，然后通過數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換來實現(xiàn)。因此，數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的第一要義就是教師要善于引導(dǎo)學(xué)生嘗試去想，通過想來建構(gòu)數(shù)學(xué)概念、規(guī)則和模型，發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題。

教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試去想，在方法路徑上，不僅要善于引導(dǎo)學(xué)生從“一到多”發(fā)散性多元表征地想，也要善于引導(dǎo)學(xué)生從“多到一”本質(zhì)歸納地想，還要善于引導(dǎo)學(xué)生由此及彼類推地想，甚至要善于引導(dǎo)學(xué)生審視性批判、辯證地想。

教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試去想，在組織形式上，不僅要引導(dǎo)學(xué)生獨立探索地想，還要引導(dǎo)學(xué)生相互啟發(fā)地想，在讀懂他人想法的基礎(chǔ)上表達(dá)自己的想法，相互交流不同想法，學(xué)會相互啟發(fā)，實現(xiàn)思想碰撞。這樣不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力，還有利于培養(yǎng)學(xué)生溝通交流和分享的能力。

2.讓學(xué)生嘗試畫

吳正憲老師指出：“涂畫蘊含著豐富的數(shù)學(xué)信息；涂畫能喚起兒童已有的經(jīng)驗；涂畫能幫助兒童理解數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系；涂畫是兒童重要的表達(dá)方式；涂畫是兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的工具；涂畫是促進(jìn)兒童有效地學(xué)好數(shù)學(xué)的重要途徑。”“讓兒童在涂畫中表達(dá)學(xué)習(xí)情感，在涂畫中理解數(shù)學(xué)意義，在涂畫中感悟數(shù)學(xué)思想，在涂畫中釋放創(chuàng)造力?！笨梢?，“畫數(shù)學(xué)”是學(xué)生特別是小學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的重要策略，深受數(shù)學(xué)教師的青睞，逐步成為他們訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要策略之一。

畫，從數(shù)學(xué)語言表征轉(zhuǎn)換的視角看，既可以畫實物圖像、幾何圖形，也可以畫各種意義圖示，一、二年級學(xué)生適合畫出原生態(tài)的實物圖像和簡單模型；三、四年級學(xué)生可以畫出較抽象的幾何圖形和意義圖示，如二維平面圖、一維線段圖；五、六年級學(xué)生可以畫出比較復(fù)雜的意義圖，彰顯數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)張力，如各種概念關(guān)系圖、統(tǒng)計圖、思維導(dǎo)圖等。從提升學(xué)生思維品質(zhì)視角看，教師在引導(dǎo)學(xué)生畫圖時要具體化，畫出思維的清晰性；重細(xì)節(jié)，畫出思維的準(zhǔn)確性；思聯(lián)系，畫出思維的廣度；破難點，畫出思維的深度；重推導(dǎo)，畫出思維的邏輯性。這樣，才能從根本上提升學(xué)生數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的能力。

3.讓學(xué)生嘗試說

說是學(xué)生數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的重要表達(dá)方法。說，不但能幫助學(xué)生學(xué)會靈活地進(jìn)行數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，而且能由內(nèi)而外地幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)思考和表達(dá)的路徑，還能幫助學(xué)生從會說、會表達(dá)，逐步走向會思考，從而將數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、方法思想和價值觀念，實現(xiàn)“轉(zhuǎn)識成智”，逐步形成數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

根據(jù)學(xué)生不同年齡、不同思維特點和語言表達(dá)能力水平，一、二年級學(xué)生可以在日常生活語言“模仿說”中實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，三、四年級學(xué)生可以在數(shù)學(xué)概念關(guān)系“嘗試說”中實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，五、六年級學(xué)生可以在數(shù)學(xué)符號模型“自由說”中實現(xiàn)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換。從說的內(nèi)容看，不僅要說數(shù)學(xué)結(jié)論答案，更要說數(shù)學(xué)思維過程，如數(shù)學(xué)概念的歸納過程、數(shù)學(xué)運算的推演過程、數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程以及數(shù)學(xué)問題的解決過程等，逐步養(yǎng)成有理有據(jù)有條理的說理習(xí)慣。

4.讓學(xué)生嘗試寫

寫，不僅是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的重要方法，也是學(xué)生提升系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化思維水平和數(shù)學(xué)寫作能力的重要手段，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要策略，是反映學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識等綜合素養(yǎng)的集中體現(xiàn)。

寫，不僅可以用數(shù)學(xué)圖標(biāo)表征，也可以用文字或符號表征，還可以用圖形和符號結(jié)合的方式進(jìn)行表征，可以綜合運用多元表征方式表達(dá)數(shù)和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系，讓數(shù)學(xué)概念屬性、性質(zhì)運算、關(guān)系規(guī)律、思維過程和結(jié)果看得見。

寫，在不同類型的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出不同的形態(tài)特征。例如，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中表現(xiàn)為多元描述和表達(dá)，在數(shù)學(xué)運算學(xué)習(xí)中表現(xiàn)為算理和算法推演，在問題解決學(xué)習(xí)中表現(xiàn)為一題多解或一題多變，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念關(guān)系梳理圖、數(shù)學(xué)思維導(dǎo)圖，在數(shù)學(xué)閱讀寫作中表現(xiàn)為數(shù)學(xué)日記、數(shù)學(xué)小論文等。

可見，無論是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理，還是數(shù)學(xué)建模，都要用數(shù)學(xué)語言表征和交流。這種表征和交流就是學(xué)生嘗試通過想、畫、說、寫等方式方法和實踐策略進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象、推理和建模的思維過程。因此，數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換有利于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光洞察客觀世界，數(shù)形結(jié)合地理解數(shù)學(xué)本質(zhì)內(nèi)涵，抽象出數(shù)學(xué)的研究對象及其屬性，形成數(shù)學(xué)概念、關(guān)系和結(jié)構(gòu)，理解現(xiàn)實世界背后的數(shù)學(xué)原理，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和直觀想象能力；促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析客觀世界，建構(gòu)數(shù)學(xué)對象之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的邏輯聯(lián)系，靈活運用多元表征以及轉(zhuǎn)換分析解決現(xiàn)實問題，不斷提升數(shù)學(xué)思維的深刻性、廣闊性、靈活性、敏捷性、批判性和創(chuàng)新性等思維品質(zhì)，從而有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力、數(shù)學(xué)建模能力等；促進(jìn)學(xué)生靈活運用數(shù)學(xué)語言表達(dá)客觀世界，簡約精準(zhǔn)地描述現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，逐步形成靈活多元的數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的習(xí)慣，發(fā)展應(yīng)用意識、實踐能力和創(chuàng)新意識。