借助弱測(cè)量和環(huán)境輔助測(cè)量的N 量子比特狀態(tài)退相干抑制*

張驕陽(yáng) 叢爽 王馳 Sajede Harraz

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)自動(dòng)化系,合肥 230027)

退相干抑制是量子系統(tǒng)控制中一項(xiàng)重要的控制任務(wù).受到經(jīng)典控制理論中的前饋控制的啟發(fā),本文借助弱測(cè)量和環(huán)境輔助測(cè)量提出一種新的退相干抑制方案,并將其推廣到一般的N 量子比特情形.所提方案的核心思想是:在退相干通道前,借助弱測(cè)量算符和前饋控制算符將量子比特轉(zhuǎn)移到一個(gè)對(duì)環(huán)境噪聲更魯棒的狀態(tài)上;在退相干通道中,對(duì)與被保護(hù)的量子比特耦合的環(huán)境進(jìn)行測(cè)量;在退相干通道后,再借助相應(yīng)的反轉(zhuǎn)算符恢復(fù)初始狀態(tài).所提方案適用于具有至少一個(gè)可逆的Kraus 算符的任意退相干通道下的量子狀態(tài)保護(hù).假設(shè)所考慮的振幅阻尼或相位阻尼退相干通道的特性是完全已知的,那么所提方案即便是在重阻尼情況下也能取得100%的保真度,這是所提方案的最大優(yōu)勢(shì).以2 量子比特糾纏態(tài)的并發(fā)度增強(qiáng)和噪聲環(huán)境下量子隱形傳態(tài)的保真度提高為例設(shè)計(jì)了兩組數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn),推導(dǎo)了性能指標(biāo)的解析表達(dá)式,并通過(guò)與無(wú)保護(hù)方案對(duì)比凸顯出所提方案的優(yōu)越性.

1 引言

環(huán)境噪聲的存在對(duì)量子信息系統(tǒng)狀態(tài)造成的干擾是量子信息理論實(shí)現(xiàn)的最大瓶頸之一.任何實(shí)際的開(kāi)放量子系統(tǒng)在與環(huán)境發(fā)生相互作用的過(guò)程中都難免受到環(huán)境噪聲的影響而導(dǎo)致退相干[1],因此研究如何借助合適的控制策略對(duì)開(kāi)放量子系統(tǒng)進(jìn)行退相干抑制具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值.環(huán)境噪聲引起的退相干的類型有多種,其中振幅阻尼和相位阻尼是兩種典型的退相干機(jī)制,已經(jīng)引起了廣泛的關(guān)注[2?10].在振幅阻尼通道(amplitude damping channel,ADC)中,退相干的具體表現(xiàn)是量子系統(tǒng)的初始狀態(tài)會(huì)逐漸衰減到一個(gè)與環(huán)境溫度相關(guān)的穩(wěn)態(tài)上;在相位阻尼通道(phase damping channel,PDC)中,退相干的具體表現(xiàn)是量子系統(tǒng)在與環(huán)境相互作用的過(guò)程中產(chǎn)生隨機(jī)相移.目前,人們已經(jīng)陸續(xù)提出了多種類型的退相干抑制方案,如借助無(wú)退相干子空間[11?14]、量子糾錯(cuò)技術(shù)[15?17]或動(dòng)力學(xué)解耦[18?21]等手段.然而,無(wú)退相干子空間要求相互作用哈密頓量必須具有適當(dāng)?shù)膶?duì)稱性,但這種對(duì)稱性并非總是存在;量子糾錯(cuò)技術(shù)需要利用冗余的抽象信息對(duì)物理系統(tǒng)進(jìn)行編碼,這無(wú)疑需要額外的資源和成本;動(dòng)力學(xué)解耦則要求控制器能夠產(chǎn)生任意大、無(wú)約束、超高頻的控制序列,這顯然不是一件容易實(shí)現(xiàn)的事情.因此,開(kāi)發(fā)新的實(shí)用的退相干抑制方案成為了近年來(lái)研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題.

近年來(lái),借助弱測(cè)量(weak measurement,WM)的退相干抑制方案已從理論和實(shí)驗(yàn)兩個(gè)方面得到了驗(yàn)證,并顯示出了良好的應(yīng)用前景[10].弱測(cè)量推廣了傳統(tǒng)的投影測(cè)量,它可以通過(guò)弱化相互作用強(qiáng)度來(lái)降低對(duì)量子系統(tǒng)狀態(tài)的干擾,從而在獲取量子系統(tǒng)狀態(tài)的部分信息的同時(shí)不至于使得量子系統(tǒng)塌縮到某個(gè)本征態(tài).在弱測(cè)量中,所獲取的信息和對(duì)系統(tǒng)造成的干擾之間存在著一種平衡機(jī)制,即弱測(cè)量的強(qiáng)度越小,所獲取的信息就越少,但同時(shí)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)造成的干擾也越小.借助于弱測(cè)量,人們已經(jīng)開(kāi)發(fā)出多種超越經(jīng)典概念的退相干抑制方案,如借助弱測(cè)量的量子反饋控制方案[22,23]、弱測(cè)量及量子測(cè)量反轉(zhuǎn)方案[24,25]以及量子前饋控制方案[26,27].Branczyk等[22]于2007 年提出了基于量子反饋控制的相位退相干抑制方案,其核心思想是在量子比特通過(guò)退相干通道后先借助弱測(cè)量算符收集關(guān)于環(huán)境噪聲和量子系統(tǒng)狀態(tài)的信息,然后再根據(jù)測(cè)量結(jié)果施加相應(yīng)的控制算符來(lái)恢復(fù)量子狀態(tài).Gillett等[23]于2010 年對(duì)基于量子反饋控制的相位退相干抑制方案進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,具體做法是先使用非確定性的線性受控Z門(mén)將量子比特糾纏到另一個(gè)光子比特上以實(shí)現(xiàn)對(duì)量子比特的變強(qiáng)度測(cè)量(包括強(qiáng)測(cè)量和弱測(cè)量),然后對(duì)光子比特進(jìn)行投影測(cè)量,最后依據(jù)投影測(cè)量的結(jié)果對(duì)量子比特施加旋轉(zhuǎn)算符進(jìn)行校正.針對(duì)初始狀態(tài)可以位于Bloch 球的任意平面上的情況,Harraz等[28]于2019 年推導(dǎo)出了沿Bloch 球不同基底進(jìn)行測(cè)量和旋轉(zhuǎn)的最優(yōu)控制參數(shù),并指出實(shí)現(xiàn)性能最優(yōu)的量子反饋控制需要依據(jù)初始狀態(tài)在Bloch 球上的具體位置在不同的基底下施加控制算符.上述幾種基于量子反饋控制的退相干抑制方案都要求初始狀態(tài)是已知的,且都難以獲得足夠高的保真度,這說(shuō)明在經(jīng)過(guò)退相干通道后再提取信息的做法有待改進(jìn).事實(shí)上,量子狀態(tài)在進(jìn)入退相干通道之前的先驗(yàn)信息對(duì)于開(kāi)發(fā)退相干抑制方案來(lái)說(shuō)同樣至關(guān)重要.Korotkov和Keane[24]于2010 年提出了基于弱測(cè)量及量子測(cè)量反轉(zhuǎn)的振幅退相干抑制方案,具體做法是先在量子比特上施加弱測(cè)量算符使其向基態(tài)移動(dòng)并減小激發(fā)態(tài)的權(quán)重以使得其不易受到環(huán)境噪聲的影響,在退相干后再施加量子測(cè)量反轉(zhuǎn)算符恢復(fù)激發(fā)態(tài)的權(quán)重以使得量子比特的狀態(tài)近似恢復(fù)到初始狀態(tài).在弱測(cè)量及量子測(cè)量反轉(zhuǎn)方案的基礎(chǔ)上,Wang等[26]于2014 年提出了基于量子前饋控制的振幅退相干抑制方案,其思想與弱測(cè)量及量子測(cè)量反轉(zhuǎn)方案大致相同,只是在弱測(cè)量之后添加前饋控制算符,量子比特肯定能被轉(zhuǎn)移到一個(gè)不易受到環(huán)境噪聲影響的狀態(tài)上.上述提及的3 種借助弱測(cè)量的退相干抑制方案所研究的物理模型大多是單量子比特系統(tǒng).Harraz等[27]于2020 年將文獻(xiàn)[26]中的方案推廣到了2 量子比特狀態(tài)的振幅退相干抑制中,初步展現(xiàn)了基于量子前饋控制的退相干抑制方案向多量子比特系統(tǒng)推廣的潛力.

上述幾種借助弱測(cè)量的退相干抑制方案的做法都是直接在量子系統(tǒng)上施加弱測(cè)量或者控制算符,不過(guò)還有一些方案可以通過(guò)直接操縱與量子系統(tǒng)耦合的環(huán)境(退相干通道)來(lái)抑制量子系統(tǒng)發(fā)生退相干,如環(huán)境輔助糾錯(cuò)(environment-assisted error correction,EAEC)方案[29]和借助環(huán)境輔助測(cè)量(environment-assisted measurement,EAM)的退相干抑制方案[30?32].Gregoratti和Werner[29]于2003 年提出了環(huán)境輔助糾錯(cuò)方案,具體做法是先對(duì)與被保護(hù)的量子系統(tǒng)耦合的環(huán)境進(jìn)行測(cè)量,然后根據(jù)測(cè)量結(jié)果對(duì)被保護(hù)的量子系統(tǒng)施加反轉(zhuǎn)算符,它可以以100%的成功概率完全恢復(fù)與存在噪聲的環(huán)境耦合的未知量子態(tài).但由于在許多類型的退相干作用下,開(kāi)放量子系統(tǒng)的狀態(tài)演化并非都存在環(huán)境輔助糾錯(cuò)方案所必需的任意幺正分解,因此該方案的應(yīng)用受到了極大的限制.借助環(huán)境輔助測(cè)量的退相干抑制方案是環(huán)境輔助糾錯(cuò)方案的擴(kuò)展,其思想與環(huán)境輔助糾錯(cuò)方案類似,但能夠適用于抑制Kraus 算符不是任意幺正類型的退相干[30].

目前,絕大多數(shù)基于弱測(cè)量的退相干抑制方案都只適用于特定形式的退相干通道且沒(méi)能推廣到N量子比特情形.此外,各種退相干抑制方案普遍無(wú)法在重阻尼的情況下取得令人滿意的保真度,性能指標(biāo)的解析表達(dá)式的推導(dǎo)也是難點(diǎn)問(wèn)題.圍繞上述幾個(gè)亟待解決的問(wèn)題,本文借助弱測(cè)量和環(huán)境輔助測(cè)量推導(dǎo)出了一種基于量子前饋控制的退相干抑制方案.與先前提出的同類方案相比,本文所提方案能夠適用于振幅阻尼和相位阻尼兩種退相干通道上的量子狀態(tài)保護(hù),且被推廣到了一般的N量子比特情形.通過(guò)結(jié)合環(huán)境輔助測(cè)量,所提方案即使在重阻尼的情況下也能獲得100%的保真度.為了展現(xiàn)所提方案的應(yīng)用前景,本文還以2 量子比特糾纏態(tài)的并發(fā)度增強(qiáng)和噪聲環(huán)境下量子隱形傳態(tài)的保真度提高為例設(shè)計(jì)了兩組數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn),推導(dǎo)了各個(gè)性能指標(biāo)的解析表達(dá)式,并通過(guò)與無(wú)保護(hù)方案對(duì)比凸顯出所提方案的優(yōu)越性.

2 單量子比特情形

本節(jié)以單量子比特系統(tǒng)為例,研究借助弱測(cè)量和環(huán)境輔助測(cè)量的退相干抑制方案.所提方案的核心思想是:在退相干通道前,借助弱測(cè)量算符和前饋控制算符將量子比特轉(zhuǎn)移到一個(gè)對(duì)環(huán)境噪聲更魯棒的狀態(tài)上;在退相干通道中,借助環(huán)境輔助測(cè)量對(duì)與被保護(hù)的量子比特耦合的環(huán)境進(jìn)行測(cè)量;在退相干通道后,再借助相應(yīng)的反轉(zhuǎn)算符恢復(fù)初始狀態(tài).其思想與經(jīng)典控制理論中的前饋控制十分類似.所提退相干抑制方案的詳細(xì)步驟如下.

步驟1在退相干通道前,首先施加完備的前-弱測(cè)量(pre-weak measurement)算符m0和m1來(lái)獲取關(guān)于系統(tǒng)狀態(tài)的一些信息.前-弱測(cè)量算符選取為

其中ρin為初始狀態(tài).

步驟2為了將量子狀態(tài)轉(zhuǎn)移到一個(gè)對(duì)環(huán)境噪聲更魯棒的狀態(tài)上,依據(jù)步驟1的測(cè)量結(jié)果施加前饋控制算符f0或f1.前饋控制算符選取為

假設(shè)獲取的是對(duì)應(yīng)于m0的測(cè)量結(jié)果,那么說(shuō)明系統(tǒng)狀態(tài)已經(jīng)處于能夠不受環(huán)境噪聲影響的基態(tài)附近,因此此時(shí)前饋控制算符即選取為單位矩陣.否則,需要通過(guò)施加前饋控制算符來(lái)將系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到一個(gè)對(duì)環(huán)境噪聲更魯棒的狀態(tài)上.施加前饋控制算符后,單量子比特系統(tǒng)的狀態(tài)將變?yōu)?/p>

步驟3目前,系統(tǒng)狀態(tài)即將通過(guò)退相干通道.假設(shè)退相干通道的特性是完全已知的.需要說(shuō)明的是,所提退相干抑制方案適用于具有至少一個(gè)可逆的Kraus 算符的任意退相干通道下的量子狀態(tài)保護(hù),但為了簡(jiǎn)便,本文只考慮兩種最為典型的退相干通道,即振幅阻尼通道和相位阻尼通道.在Born-Markov 近似下,振幅阻尼通道的Kraus 算符為

相位阻尼通道的Kraus 算符為

其中,r=1?e?κt∈[0,1](κ >0)為退相干通道的衰減率.不過(guò),本文所涉及的弱測(cè)量算符、控制算符與Kraus 算符的作用都是瞬時(shí)性的.因此,在量子比特通過(guò)退相干通道的時(shí)刻,應(yīng)當(dāng)將r設(shè)置為一個(gè)與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù).

容易驗(yàn)證,對(duì)于所考慮的兩種類型的退相干,均不存在幺正矩陣U0和U1,使得其Kraus 算符e0和e1同時(shí)滿足e0=c0U0和e1=c1U1(其中c0和c1為常數(shù)),即所考慮的退相干的Kraus 算符都不是任意幺正類型的.此時(shí),環(huán)境輔助糾錯(cuò)方案不適用,但仍可以借助環(huán)境輔助測(cè)量來(lái)開(kāi)發(fā)退相干抑制方案.施加環(huán)境輔助測(cè)量的方法為:先對(duì)環(huán)境(退相干通道)施加一個(gè)測(cè)量算符,環(huán)境會(huì)塌縮到可觀測(cè)的本征態(tài)上,這使得量子系統(tǒng)被投影到一個(gè)與環(huán)境相關(guān)的狀態(tài)上.具體來(lái)說(shuō),假設(shè)退相干通道塌縮到了第k個(gè)本征態(tài)上,那么單量子比特系統(tǒng)的狀態(tài)將會(huì)處于(其中,ρ(0)為量子系統(tǒng)的初始狀態(tài),Ek是一個(gè)可逆的Kraus 算符).顯然,對(duì)于振幅阻尼通道和相位阻尼通道而言只有e0是可逆的.因此這里僅考慮對(duì)應(yīng)于e0的測(cè)量結(jié)果,并丟棄對(duì)應(yīng)于e1的測(cè)量結(jié)果,這使得該退相干抑制方案成為了一個(gè)概率性的方案.施加環(huán)境輔助測(cè)量后,單量子比特系統(tǒng)的狀態(tài)將以的概率變?yōu)?/p>

步驟4在退相干通道后,需要施加逆前饋控制算符(對(duì)應(yīng)于m0)或(對(duì)應(yīng)于m1).由于(2)式所示的前饋控制算符是幺正的,因此逆前饋控制算符與前饋控制算符的表達(dá)式相同,即施加逆前饋控制算符后,單量子比特系統(tǒng)的狀態(tài)將會(huì)變?yōu)?/p>

步驟5最后,施加非完備的后-弱測(cè)量(postweak measurement)算符n0(對(duì)應(yīng)于m0)或n1(對(duì)應(yīng)于m1)來(lái)使得終態(tài)與其初始狀態(tài)ρin盡可能地接近.后-弱測(cè)量算符的設(shè)計(jì)原則是使得mini近似與單位矩陣成比例.非完備的后-弱測(cè)量算符從兩個(gè)完備的測(cè)量集合中選取:

整個(gè)退相干抑制方案的流程圖如圖1 所示.

圖1 整個(gè)退相干抑制方案的流程圖Fig.1.Schematic diagram of the whole decoherence suppression scheme.

初始狀態(tài)與終態(tài)的關(guān)系可以由一個(gè)完全正保跡(completely-positive and trace-preserving,CPTP)映射來(lái)描述.經(jīng)歷全部的退相干抑制流程后,單量子比特系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于m0和m1的非歸一化的終態(tài)為

采用保真度作為性能指標(biāo)來(lái)度量所提退相干抑制方案的有效性.對(duì)應(yīng)于前-弱測(cè)量算符m0和m1的保真度分別定義為

如果初始狀態(tài)為純態(tài),可以用態(tài)矢|ψin〉來(lái)描述,那么(8)式的等價(jià)表達(dá)式為

另外,總體成功概率和總體保真度可以分別表示為

令ρin=[a,b;b?,1?a]為任意未知的單量子比特系統(tǒng)的初始密度矩陣,其中a∈R和b∈C 需要使得ρin滿足量子狀態(tài)約束.不失一般性,假設(shè)在步驟1 中獲得了對(duì)應(yīng)于m1的測(cè)量結(jié)果.因此,經(jīng)歷全部的退相干抑制方案之后,非歸一化的終態(tài)為

(13)式被稱為所提退相干抑制方案的完全恢復(fù)條件.

下面依據(jù)(13)式討論完全恢復(fù)條件所要求的前-弱測(cè)量強(qiáng)度p的取值范圍.顯然qopt≤1 恒成立.因此,只需通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膒使得qopt≥0 成立.qopt≥0 等價(jià)于r≥1?(p/1?p),即rmin=0 ≥1?(p/1?p).因此,必須確保p在[0.5,1]之間變化才能完全恢復(fù)初始狀態(tài).通過(guò)(13)式的考慮完全恢復(fù)條件,總體成功概率和總體保真度的解析表達(dá)式可以表示為

圖2 后-弱測(cè)量的強(qiáng)度最優(yōu)時(shí) 與p和r的關(guān)系Fig.2. is a function of p and r with the optimum postweak measurement strength.

在推導(dǎo)退相干抑制方案的過(guò)程中,量子態(tài)是利用密度算子而非態(tài)矢算子表示,因此所提方案既適用于純態(tài)的保護(hù),也適用于混合態(tài)的保護(hù).為了展示所提方案中每一步的作用,針對(duì)初始狀態(tài)為純態(tài)和混合態(tài)的情況分別設(shè)計(jì)仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖6 所示,其中,紅色矢量為初始狀態(tài),黑色矢量為施加前-弱測(cè)量算符之后的狀態(tài),藍(lán)色矢量為施加前饋控制算符之后的狀態(tài),青色矢量為通過(guò)退相干通道之后的狀態(tài),黃色矢量為施加逆前饋控制算符之后的狀態(tài),綠色矢量為施加后-弱測(cè)量算符之后的狀態(tài).在圖6(a)中,初始狀態(tài)選取為疊加態(tài)|ψin〉=0.4500|0〉+0.8930|1〉,p設(shè)置為0.65,r設(shè)置為0.3;在圖6(b)中,初始狀態(tài)選取為混合態(tài)p設(shè)置為0.8,r設(shè)置為0.7.假定步驟1 中獲取的是對(duì)應(yīng)于m1的測(cè)量結(jié)果,步驟5 中的后-弱測(cè)量的強(qiáng)度是最優(yōu)的.

圖3 固定α和r=0.5的情況下與p和q的關(guān)系(a)|α|=0.2;(b)|α|=0.8Fig.3. is a function of p and q with fixed α and r=0.5 :(a)|α|=0.2;(b)|α|=0.8.

圖4 固定r的情況下與p和q的關(guān)系(a)r=0.3;(b)r=0.9Fig.4. is a function of p and q with fixed r:(a)r=0.3;(b)r=0.9.

圖5 固定r的情況下 與p和q的關(guān)系(a)r=0.3;(b)r=0.9Fig.5.is a function of p and q with fixed r:(a)r=0.3;(b)r=0.9.

圖6(a)中的6 個(gè)矢量均位于Bloch 球的球面上,模長(zhǎng)均為1;圖6(b)中的6 個(gè)矢量均位于Bloch 球的內(nèi)部,其中紅色矢量、黑色矢量、藍(lán)色矢量、青色矢量、黃色矢量和綠色矢量的模長(zhǎng)分別為0.9521,0.9731,0.9731,0.9897,0.9897和0.9521.正是由于本文借助環(huán)境輔助測(cè)量來(lái)避免不可逆的Kraus 算符e1引起的量子比特軌跡跳變,因此圖6(a)中的量子比特通過(guò)退相干通道之后仍為純態(tài),而不是演化到一個(gè)混合態(tài)上.作為對(duì)比,本文還研究了在相同的初始狀態(tài)和相同的退相干通道時(shí)無(wú)保護(hù)情形下系統(tǒng)狀態(tài)的演化.對(duì)于所選取的純態(tài),通過(guò)振幅阻尼通道后的保真度為80.49%,通過(guò)相位阻尼通道后的保真度為94.72%.對(duì)于所選取的混合態(tài),通過(guò)振幅阻尼通道后的保真度為79.25%,通過(guò)相位阻尼通道后的保真度為88.04%.為了量化施加退相干抑制方案后保真度的提升,可以將其具體地定義為

圖6 Bloch 球上單量子比特狀態(tài)保護(hù)的詳細(xì)過(guò)程(a)純態(tài)的保護(hù);(b)混合態(tài)的保護(hù)Fig.6.Detailed procedure of the single-qubit state protection process on the Bloch sphere:(a)pure state protection;(b)mixed state protection.

以純態(tài)的保護(hù)為例進(jìn)行分析.當(dāng)退相干通道為振幅阻尼通道時(shí),(19)式可以寫(xiě)為

當(dāng)退相干通道為相位阻尼通道時(shí),(19)式可以寫(xiě)為

3 N 量子比特情形

目前,絕大多數(shù)借助弱測(cè)量的退相干抑制方案都只適用于單量子比特情形.本節(jié)將把適用于單量子比特狀態(tài)的退相干抑制方案推廣到一般的N量子比特情形.通常,保護(hù)N量子比特狀態(tài)免受退相干的影響意味著每一步都需要 2N個(gè)算符.與文獻(xiàn)[27]一致,我們假設(shè)退相干過(guò)程在N量子比特系統(tǒng)中的每一個(gè)量子比特上局部且獨(dú)立地發(fā)生,并且具有相同的衰減率.前/后-弱測(cè)量算符、前饋控制算符及其逆算符以及量子噪聲算符都可以由Kronecker 積構(gòu)造,其表達(dá)式如下所示.

前-弱測(cè)量算符為

圖7 與初始純態(tài)和r的關(guān)系 Fig.7. are a function of the initial pure state and r:

前饋控制算符及其逆算符為

振幅/相位阻尼通道的Kraus 算符為

其中只有E0可逆.

后-弱測(cè)量算符為

因此,對(duì)應(yīng)于每一個(gè)前-弱測(cè)量算符的非歸一化的終態(tài)為

歸一化的終態(tài)為

總體成功概率和總體保真度為

為了更好地理解N量子比特情形下的所提退相干抑制方案,以2 量子比特糾纏態(tài)為例闡述詳細(xì)的狀態(tài)保護(hù)流程.根據(jù)對(duì)應(yīng)于不同的前-弱測(cè)量算符的結(jié)果,可以將所提退相干抑制方案分為4 種情況.不失一般性,假設(shè)獲取了對(duì)應(yīng)于M2的測(cè)量結(jié)果,即將通過(guò)兩個(gè)獨(dú)立的振幅阻尼通道或者相位阻尼通道的初始的2 量子比特糾纏態(tài)表示為|ψin〉=α|00〉+β|11〉,其中α,β∈C 并滿足|α|2+|β|2=1.

步驟1 過(guò)后,2量子比特系統(tǒng)的 狀態(tài)|ψin〉以gM2=p(1?p)的概率變?yōu)?/p>

實(shí)際上,從(35)式可以看出,在獲取了對(duì)應(yīng)于M2的測(cè)量結(jié)果的情況下,后-弱測(cè)量算符不是必須的,因?yàn)榻?jīng)過(guò)歸一化后已經(jīng)等于其初始狀態(tài)|ψin〉.而且,步驟5 中所施加的非完備的后-弱測(cè)量算符還會(huì)使得總體成功概率進(jìn)一步降低,這對(duì)于退相干抑制來(lái)說(shuō)是不利的.然而,假設(shè)步驟1 中獲取的是對(duì)應(yīng)于M1或M3的測(cè)量結(jié)果,那么則必須通過(guò)施加對(duì)應(yīng)的后-弱測(cè)量算符N0或N3來(lái)完全恢復(fù)初始狀態(tài).

為了簡(jiǎn)便,不再具體地展示其他三種情況,但不難理解四種情況下經(jīng)歷退相干抑制方案后的終態(tài)是相同的.因此,經(jīng)歷步驟1—5后,2 量子比特系統(tǒng)的歸一化終態(tài)為

圖8 與p和r的關(guān)系 Fig.8. are a function of p and r:

通常,人們習(xí)慣以并發(fā)度(concurrence)作為性能指標(biāo)來(lái)度量任意2 量子比特狀態(tài)的糾纏度[33].并發(fā)度的取值區(qū)間為[0,1],其取值越接近1,一般認(rèn)為糾纏度就越大;其取值為0時(shí),就意味著發(fā)生了糾纏猝死(entanglement sudden death).在本文所提退相干抑制方案中,對(duì)應(yīng)于步驟1 中的每一個(gè)測(cè)量算符的并發(fā)度被定義為

其中符號(hào)“*”代表復(fù)共軛.

經(jīng)計(jì)算,所提退相干抑制方案的總體并發(fā)度為

作為對(duì)比,同樣研究了無(wú)保護(hù)的情形以凸顯所提方案對(duì)并發(fā)度的提升.為了量化施加退相干抑制方案后并發(fā)度的增強(qiáng),定義

通過(guò)兩個(gè)獨(dú)立的振幅阻尼通道后,(41)式可以表示為

通過(guò)兩個(gè)獨(dú)立的相位阻尼通道后,(41)式可以表示為

進(jìn)一步地,所提退相干抑制方案在量子隱形傳態(tài)中具有廣闊的應(yīng)用前景.眾所周知,理想的隱形傳態(tài)協(xié)議需要一個(gè)純的最大糾纏態(tài)(例如Bell態(tài)作為量子信道.然而在實(shí)際實(shí)現(xiàn)中,共享糾纏態(tài)常常由于環(huán)境噪聲的影響而顯著退化,這會(huì)導(dǎo)致量子隱形傳態(tài)的保真度大幅下滑.因此,保護(hù)量子隱形傳態(tài)免受退相干的影響顯得尤為重要.

假設(shè)發(fā)送方(Alice)制備了一個(gè)Bell態(tài),并通過(guò)退相干通道(振幅阻尼通道或相位阻尼通道)將糾纏對(duì)中的一個(gè)量子比特傳送給接收方(Bob).由于只有屬于Bob的那個(gè)量子比特通過(guò)了退相干通道,因此整個(gè)退相干抑制方案只需要在糾纏對(duì)中的第二個(gè)量子比特上實(shí)施.因此,退相干抑制方案中涉及的2 量子比特算符可以構(gòu)造為

通過(guò)施加所提的退相干抑制方案并考慮標(biāo)準(zhǔn)的量子隱形傳態(tài)協(xié)議[34],受保護(hù)的量子隱形傳態(tài)的原理圖如圖10 所示.

圖10 受保護(hù)的量子隱形傳態(tài)的原理圖Fig.10.Schematic diagram of the protected quantum teleportation.

通過(guò)施加最優(yōu)的后-弱測(cè)量算符,不難發(fā)現(xiàn)歸一化的受保護(hù)的共享糾纏態(tài)的概率等于Bell態(tài)|Φ〉〈Φ|.由于經(jīng)過(guò)整個(gè)退相干抑制方案之后的量子信道是一個(gè)最大糾纏態(tài),因此通過(guò)執(zhí)行文獻(xiàn)[34]中標(biāo)準(zhǔn)的量子隱形傳態(tài)協(xié)議總能獲得100%的平均保真度,其中隱形傳態(tài)的平均保真度定義為

圖9 與初始糾纏態(tài)和r的關(guān)系(a)Fig.9. are afunction of the initial entangled state and r:

其中,|ψin〉是被傳輸?shù)奈粗獱顟B(tài),ρout是Bob 接收到的狀態(tài).結(jié)合所提退相干抑制方案,只需要關(guān)注量子信道的保護(hù)而無(wú)需修改隱形傳態(tài)協(xié)議,即可以以的總體成功概率和100%的平均保真度實(shí)現(xiàn)量子隱形傳態(tài).

4 結(jié)論

本文借助弱測(cè)量和環(huán)境輔助測(cè)量提出了一種量子前饋控制方案,解決了任意未知的N量子比特狀態(tài)退相干抑制的問(wèn)題,并給出了總體保真度、總體成功概率等指標(biāo)的解析表達(dá)式.環(huán)境輔助測(cè)量的引入推廣了量子前饋控制方案的適用范圍,使得所提方案適用于振幅阻尼和相位阻尼兩種退相干通道上的量子狀態(tài)保護(hù).與先前提出的多種基于弱測(cè)量的退相干抑制方案相比,所提方案的優(yōu)勢(shì)在于即便是在重阻尼的情況下也能取得100%的保真度.仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,所提方案對(duì)于任意初始狀態(tài)都能夠增強(qiáng)2 量子比特糾纏態(tài)的并發(fā)度,且能夠有效地提高噪聲環(huán)境下量子隱形傳態(tài)的保真度.需要說(shuō)明的是,由于環(huán)境輔助測(cè)量和后-弱測(cè)量均丟棄了部分測(cè)量結(jié)果,因此所提方案是一個(gè)概率性的方案.下一步的研究中,我們計(jì)劃采用旋轉(zhuǎn)算符取代非完備的后-弱測(cè)量算符,以開(kāi)發(fā)出成功概率更高的退相干抑制方案.

假設(shè)待傳輸?shù)奈粗孔颖忍貫閨ψin〉=α|0〉+β|1〉,其中α,β∈C 并滿足|α|2+|β|2=1.在無(wú)保護(hù)方案的情況下,假定Alice 通過(guò)一個(gè)振幅阻尼通道向Bob 發(fā)送糾纏對(duì)中的一個(gè)量子比特,則輸入線路的狀態(tài)為

執(zhí)行文獻(xiàn)[34]中標(biāo)準(zhǔn)的隱形傳態(tài)協(xié)議后,ρ0變?yōu)?/p>

進(jìn)一步地,Alice 對(duì)她所屬的那個(gè)量子比特與待傳輸?shù)奈粗孔颖忍貥?gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)在一組正交基底{|00〉,|01〉,|10〉,|11〉}下進(jìn)行投影測(cè)量.不妨假設(shè)她得到了結(jié)果|00〉,則ρ2將變?yōu)?/p>

對(duì)Alice 所屬的那個(gè)量子比特與待傳輸?shù)奈粗孔颖忍貥?gòu)成的復(fù)合系統(tǒng)求偏跡,可得Bob 所屬的量子比特的非歸一化狀態(tài)為

如果Alice 得到的測(cè)量結(jié)果為|01〉,則Bob 需要借助X門(mén)來(lái)恢復(fù)狀態(tài);如果Alice 得到的測(cè)量結(jié)果為|10〉,則Bob 需要借助Z門(mén)來(lái)恢復(fù)狀態(tài);如果Alice 得到的測(cè)量結(jié)果為|11〉,則Bob 需要先借助X門(mén)再借助Z門(mén)來(lái)恢復(fù)狀態(tài).通過(guò)類似的運(yùn)算可得:

因此,無(wú)保護(hù)情形下,Alice 先通過(guò)振幅阻尼通道將糾纏對(duì)中的一個(gè)量子比特發(fā)送給Bob 再執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)的隱形傳態(tài)協(xié)議后的平均保真度為