美英早期解析幾何教科書中的拋物線定義與方程

錢 秦

(華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

在數(shù)學新課程理念的倡導下，我國的數(shù)學教育正不斷地進行數(shù)學文化和數(shù)學史融入數(shù)學教育的探索和實踐，也取得了一定的成效．目前，在圓錐曲線一章，HPM視角下橢圓的課例最為豐富，也有不少學者進行了雙曲線的嘗試．但融入數(shù)學史的拋物線的課例屈指可數(shù)，筆者在知網(wǎng)上僅搜索到了4篇：文[1]從數(shù)學史中尋找啟示，利用光學性質自然揭示拋物線的焦點、準線并建構解析定義，使學生厘清拋物線的來龍去脈；文[2]通過重構數(shù)學史的方式來設計教學環(huán)節(jié)，幫助學生突破焦點-準線定義及其由來；文[3]分析了圓錐曲線的歷史，再采用重構式給出HPM視角下的橢圓、雙曲線、拋物線及其標準方程的教學設計；文[4]采用發(fā)生教學法，從數(shù)學史、知識邏輯、學生的認知需求和生活實際出發(fā)，讓學生在自主探索中將知識“再創(chuàng)造”出來，使拋物線知識自然發(fā)生．但這些課例所用到的歷史素材十分有限．

國內現(xiàn)行高中數(shù)學教科書大多采用拋物線的第二定義(焦點-準線定義)，且人教A版、滬教版、蘇教版和北師大版教科書均在第二定義的基礎上，以頂點為原點建立平面直角坐標系推導拋物線方程．在閱讀材料中，滬教版教科書探究了二次函數(shù)的圖象為什么是拋物線，人教A版和蘇教版介紹了拋物線的光學性質，北師大版教材則呈現(xiàn)了圓錐曲線的截線定義．四個版本的教科書中關于拋物線的數(shù)學史元素都較少．

巧婦難為無米之炊，史料的匱乏是阻擋HPM視角下課例開發(fā)的最大障礙．早期教科書既體現(xiàn)了特定歷史時期的教育理論或理念，也蘊含著編寫者的智慧，為今日教學提供了豐富的素材和思想啟迪．鑒于此，本文從有關數(shù)據(jù)庫選取1820—1959年間出版的95種美英早期解析幾何教科書(75種出版于美國，21種出版于英國，其中1種同時在兩國出版)，對其中拋物線的引入、定義與方程進行考察，試圖回答以下問題：關于拋物線，美英早期解析幾何教科書給出了哪些定義？采用了哪些推導方程的方法？以此思考拋物線的歷史對今日教學的啟示.

2 拋物線概念的引入

在這95種教科書中，有55種直接給出了拋物線的定義．其余40種則采用不同方法來引入拋物線的概念．

2.1 一般圓錐曲線定義

23種教科書先介紹圓錐曲線的第二定義或截線定義，再引入拋物線：根據(jù)點的運動規(guī)律可以產(chǎn)生無數(shù)軌跡，其中有一類尤為重要，這些曲線上的點到定點的距離與點到定直線的距離之比始終為常數(shù)，該曲線被稱為圓錐曲線．[5]

2.2 二次方程

有6種教科書從一般的二元二次方程引入：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0為一般的二元二次方程，其中A,B,C,D,E,F均為常數(shù)，這個方程所代表曲線的性質會隨著系數(shù)的特定值變化而變化……若B2-4AC>0，方程代表兩條雙曲線；若B2-4AC<0，方程代表一條拋物線；若B2-4AC=0，方程代表一個橢圓．[6]

2.3 軌跡問題

有3種教科書從軌跡方程問題引入．考慮下面的軌跡問題：一個動點到一條固定直線和一個固定點的距離相等，試確定動點軌跡的性質．[7]

2.4 二次函數(shù)

有3種教科書通過一元二次函數(shù)引入．形如ax2+bx+c,a≠0的表達式稱為x的二次函數(shù)，曲線y=ax2+bx+c的縱坐標表示一條拋物線的函數(shù)．[8]

2.5 圓錐曲線的歷史

有5種教科書通過圓錐曲線的歷史引入，如Roberts和Colpitts在書中寫道[9]：

橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線，這一名稱源于這樣一個事實，這些曲線都可以由一個平面截圓錐得到．這些曲線的許多性質為希臘早期幾何學家所知，其中主要的研究者是阿基米德和阿波羅尼奧斯．阿基米德計算了拋物弓型和橢圓的面積，阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)三條曲線都可以從同一個圓錐上截得，并研究了許多雙曲線的特殊問題．許多世紀以后人們才發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的知識在研究宇宙規(guī)律方面有很大的實用價值．大約1600年，德國的開普勒發(fā)現(xiàn)了它們在天體運動研究中的重要性，與此同時，意大利的伽利略發(fā)現(xiàn)炮彈的軌跡是拋物線．直到人們意識到物理學、力學和建筑領域的大量問題都依賴于圓錐曲線的知識來解決，它們的應用領域才得到擴展．

3 拋物線的定義與作圖

3.1 拋物線的定義

在所考察的95種教科書中共出現(xiàn)了4種拋物線的定義．

第一種是古希臘的截線定義，26種教科書給出了截線定義：平面斜截一圓錐面，當截面平行于一條圓錐面的母線(但不過圓錐頂點時)，平面與圓錐的交線稱為拋物線．[10]

第二種是第二定義，86種教科書給出了第二定義：拋物線是一條平面曲線，其上的點到定點與到定直線的距離相等．定點為拋物線的焦點，定直線為準線．[11]

第三種是極限定義，將拋物線視作橢圓或雙曲線的極限，有6種教科書采用了極限定義：給定橢圓的一對頂點和焦點，假設它的長軸無限增大，則該曲線最終會成為拋物線．[6]

第四種是特殊的比例定義，只在所考察的3種教科書中發(fā)現(xiàn)．拋物線是一些點的軌跡，這些點到兩條垂直直線的距離滿足這樣的關系：點到一條直線距離的平方與點到另外一條直線的距離成正比．[12]

95種美英早期解析幾何教科書中所采用拋物線定義如圖1所示．可以發(fā)現(xiàn)在4種定義中，第二定義和今天一樣受人們青睞，出現(xiàn)的頻率最高．而歷史悠久的截線定義也受到了不少教科書的關注，這與今天截然不同．也有一些教科書給出了拋物線的多種定義，即將截線定義、極限定義和比例定義作為第二定義的補充定義出現(xiàn)，但是20世紀20年代后的教科書已經(jīng)舍棄了比例定義和極限定義．

圖1 95種早期解析幾何教科書中的拋物線定義

3.2 拋物線的作圖

早期的解析幾何教科書也十分注重拋物線的作圖，共出現(xiàn)3種作圖法．

第一種作法：利用三角尺和繩子構造拋物線．先作拋物線的準線和對稱軸，如圖2，在準線處放置一把直尺，將Rt△EDG的一條直角邊ED貼緊直尺，并將一條與DG邊等長的繩子一端固定在G處，繩子另一端固定在對稱軸上的點F處．當直角三角形沿著準線上下移動時，放置鉛筆P使得繩子始終保持緊繃，那么鉛筆會畫出拋物線的一部分．當然，這只能畫出拋物線的一部分，因為拋物線可以無限延伸[11]．

圖2 三角尺構造拋物線 圖3 平行線構造拋物線

第二種作法：平行線和同心圓相交法．如圖3，記DD′為拋物線的準線，F(xiàn)為拋物線的焦點．過點F作DD′的垂線GG′，然后過F作HH′垂直于GG′，使得FH=FH′=FG，易知H和H′是該拋物線上的兩點．連結GH和GH′并延長，構造一系列平行于HH′的直線分別交GH和GH′于點a,b,c,d,…和點a′,b′,c′,d′,…．以點F為圓心、dd′為直徑作圓，交dd′于點P和P′，這兩點即為拋物線上的點．采用類似的方法，我們可以找到拋物線與aa′,bb′,cc′,…的交點．用一條平滑的曲線連接所有這些點，就得到了拋物線．[13]

第三種作法：利用拋物線的內在性質作圖．拋物線具有這樣的內在性質：拋物線上每一點到對稱軸的距離的平方等于該點到頂點的水平距離乘以2倍焦準距，這給我們提供了一種作拋物線圖象的方法．如圖4，已知拋物線的準線為l，焦點為F，易找到拋物線的頂點V．在拋物線的對稱軸上任意地選取一點M，我們可以算出VF和4VM的等比中項，過點M以該等比中項的長度作對稱軸的垂線MP，P是以l為準線、F為焦點的拋物線上的一點．同理，通過選取對稱軸上不同的點，我們就可以得到該拋物線上的許多點．[14]

圖4 利用內在性質 構造拋物線

4 拋物線方程的推導

95種教科書中，有8種或直接給出標準方程，或只研究了拋物線的幾何性質而未給出標準方程，其余教科書均對標準方程進行了詳細推導，共出現(xiàn)了4種定義下的推導方法．

4.1 基于截線定義的推導

有1種教科書利用旦德林單球模型聯(lián)系拋物線的截線定義和第二定義．如圖5，圓錐中有一球與圓錐內表面相切，M,T是切線上的兩點，用平行于母線VB、外切球于F，且與平面VOB相垂直的平面截取圓錐面，則截線為拋物線．已知平面VOB⊥截面PDE，且平面VOB⊥平面DEM，所以平面VOB垂直于平面DEM和平面PDE的交線DE，那么DE垂直于平面VOB上的EE′．MN∥截面PDE，則MN平行于截面PDE和所有過MN平面的交線，那么MN∥PD∥EE′，所以PD⊥DE．一組平行平面所截的兩條平行線相等，即PD=MN．易知MN=PT，又因為切線PF=PT，所以PD=MN=PT=PF．因此，我們可以將拋物線定義為這樣一條平面曲線，曲線上的點到一定點(F)與定直線(DE)的距離相等．[15]根據(jù)這個事實，我們可以用解析幾何的方法推出拋物線方程．

圖5 旦德林單球模型

4.2 基于第二定義的推導

有19種教科書以準線為y軸建立直角坐標系進行推導．如圖6，以準線YY′為y軸，然后過焦點作準線的垂線(即拋物線的對稱軸)，并將其作為x軸建立平面直角坐標系，令OF=2p．根據(jù)拋物線性質知PF=PN=OM，所以PF2=OM2，得FM2+PM2=OM2，即(x-2p)2+y2=x2，故得y2=4p(x-p)．令y=0，我們得到x=p，即拋物線與x軸交于點A(p,0)，若以A為原點，則x=x′+p，于是得新方程y2=4px′．[17]

圖6 以準線為y軸 圖7 以頂點為原點

圖8 從極坐標進行推導

4.3 基于極限定義的推導

有4種教科書采用拋物線的極限定義推導其標準方程．

圖9 基于極限定義推導2

4.4 基于比例定義的推導

圖10 基于比例定義的推導

5 結語

由上可見，美英早期解析幾何教科書中拋物線的定義和方程推導方法均呈現(xiàn)多樣化的特點．早期教科書中給出了拋物線的4種定義，并且從4種定義出發(fā)分別推導了拋物線的標準方程，在推導過程中綜合運用了豐富的幾何、代數(shù)及三角學的知識．然而，隨著時間的推移，現(xiàn)代中學教科書中的拋物線定義與推導方法均趨向單一．早期教科書給我們帶來如下啟示：

其一，追本溯源，重視幾何本質．眾所周知，圓錐曲線是高中解析幾何部分的重要內容，而解析幾何的核心是用代數(shù)的方法來研究幾何問題．通過建立平面直角坐標系，復雜的幾何判斷就可轉化成代數(shù)運算，為幾何的研究帶來了便利．但正是在這種極度的便利下，人們往往將圓錐曲線視為解析幾何概念．但從歷史上看，圓錐曲線是一個幾何概念，最早由古希臘的數(shù)學家梅奈克繆斯(Menaechmus)用垂直于母線的平面去截頂角為銳角、直角和鈍角的圓錐所得到．后續(xù)人們對圓錐曲線作了不少的探索，但在創(chuàng)立解析幾何這門學科以前，人們一直采用古希臘人的截線定義，將圓錐曲線放在立體幾何中進行研究．因此，拋物線教學不能僅從解析幾何的角度開展，也應從更廣的立體角度對其進行探究．截線定義是拋物線的來源，理應為學生所知曉，而極限等補充定義則由教師根據(jù)需要選擇是否講授．

其二，各取所長，展現(xiàn)方法之美．現(xiàn)代教科書中關于拋物線方程的推導雖然簡潔，但過于單一且理想化．學生一定能想到以頂點為原點嗎？學生沒有其他想法了嗎？僅講解書上的一種方法是不夠的，單一的方法限制了學生思維的發(fā)展．教師可以放手先讓學生探究，再根據(jù)學生的思路適當作些補充．例如，準線是拋物線定義中天然存在的一條線，學生用準線作為y軸相當自然，這也是早期教科書中使用頻率相當高的一種方法．教師還可以選擇性地講解歷史上的其他推導方法，讓學生體會不同方法背后的思想之美．

其三，注重聯(lián)系，構建知識之諧．一方面，學生在初中時期就已經(jīng)對一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象為拋物線了然于心．如何讓學生理解二次函數(shù)圖象與當今課堂學習的拋物線同質是教學的一大重點，這里主要涉及坐標的平移變換．另一方面，如果向學生介紹圓錐曲線的來源，也應說明截線定義和第二定義的等價性．旦德林單球模型是溝通截線定義與第二定義的良好橋梁，但使用的難度較大．教師應根據(jù)學情，通過搭建腳手架，構造實物模型等方式來降低教學難度．