極限思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用
——以圓錐曲線為例

姚 婷 吳如光

(南京師范大學(xué)附屬中學(xué)秦淮科技高中 210003)

1 背景分析

極限對于學(xué)生來說并不陌生，小學(xué)階段對于無窮大的數(shù)的感悟，初中階段對于反比例函數(shù)圖象的探究，高中階段對于加速度概念的理解，無一不滲透著極限思想．章建躍博士在文[1]中指出：“在中學(xué)階段,掌握一些微積分的初步知識,對發(fā)展學(xué)生的理性思維、增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力等都是非常有用的．”極限思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，雖然高中數(shù)學(xué)教材中沒有明確極限的概念，但極限思想?yún)s始終貫穿著高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，以導(dǎo)數(shù)為典型，解析幾何、立體幾何、數(shù)列、三角函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程中也繞不開極限．雖然高等數(shù)學(xué)中用“ε-δ”語言表述的極限定義對于中學(xué)生來講難以接受，但是極限思想?yún)s是可以在學(xué)習(xí)中不斷滲透的．利用極限思想，往往可以引導(dǎo)解題方向、規(guī)避復(fù)雜運(yùn)算、突破解題難點(diǎn)．本文將結(jié)合圓錐曲線談?wù)剺O限思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用．

2 引例分析

在高三一輪復(fù)習(xí)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能熟練運(yùn)用方程思想聯(lián)立方程組，并通過韋達(dá)定理得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，解題的難點(diǎn)在于，轉(zhuǎn)化條件kPA+kPB=1后得到的關(guān)于k，m的二次式該如何處置？有經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生知道要因式分解，但不知如何分解.如果能順利分解因式，問題就迎刃而解．教學(xué)中教師如果僅僅告知學(xué)生，這一步需要因式分解，即便教會學(xué)生“雙十字相乘”因式分解法，學(xué)生對于相似的題型仍然是茫然的．解題教學(xué)不應(yīng)當(dāng)局限于這一道題的解法，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生厘清問題的本質(zhì)．

筆者認(rèn)為，有幾個問題是必須要搞清楚的： ①為什么直線l過定點(diǎn)？②為什么需要因式分解？③因式分解后得到的因式之一恰好過點(diǎn)P，這是偶然還是必然？④最后求得的定點(diǎn)在x軸上，這又是偶然還是必然？首先關(guān)于問題①②，直線l的方程為y=kx+m，由于kPA+kPB=1，直線l中的參數(shù)k，m必然有著確定的關(guān)系，故直線l有可能過定點(diǎn)或定斜率；反之，若直線l過定點(diǎn)，則必存在k與m的線性關(guān)系，故得到關(guān)于k，m的二次式后需要想辦法進(jìn)行因式分解．

3 極限思想的運(yùn)用

3.1 尋找極限位置，確定定點(diǎn)

3.2 利用極限位置，計(jì)算定值

圖1

點(diǎn)評 換個角度來思考該問題，直線l在變化過程中，極限位置是與橢圓相切，此時直線B1M與直線B2N交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為直線l與橢圓相切的切點(diǎn)，該點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為所求．利用極限思想，可以快速確定定值．

3.3 運(yùn)用極限思想，求解范圍

4 幾點(diǎn)教學(xué)建議

4.1 分析極限狀態(tài)，明辨解題思路

例3已知直線y=2x與橢圓E：x2+2y2=1交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限)，點(diǎn)P(-4t，t)在橢圓E內(nèi)部，射線AP，BP與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為C，D．求證：直線CD的斜率為定值．

圖2

解析幾何的解題思路非常重要，因?yàn)橛?jì)算量大，往往“沒有回頭路”，教學(xué)中一定要引導(dǎo)學(xué)生先分析解題思路，理清楚解題步驟，預(yù)估計(jì)算量，計(jì)算時多想兩步，才能簡化計(jì)算，高效解題．利用極限思想判斷出直線CD的斜率為2，為后續(xù)的證明打開了思路，抓住了變化中的不變量，解題方向更加清晰．

4.2 妙用極限思想，優(yōu)化解題過程

在上述例題中，動直線的極限狀態(tài)往往是切線或過已知點(diǎn)狀態(tài)，若動直線過定點(diǎn)，則極限狀態(tài)也過定點(diǎn)，所以兩種極限狀態(tài)下同時滿足的定點(diǎn)通?？梢灶A(yù)判，這樣也給我們后面的解答指引了目標(biāo)，即便用常規(guī)方式計(jì)算也會因此由漫無目的變得有的放矢．例如雙二次的因式分解因?yàn)槎c(diǎn)已知，從而分解更加容易．

4.3 活用極限思想，提升核心素養(yǎng)

面對新高考，我們總在強(qiáng)調(diào)“思維能力的培養(yǎng)”，這不僅是一句口號，而是需要一線教師在教學(xué)過程中不斷摸索的.過去，我們在課堂中常會幫助學(xué)生總結(jié)解決問題的一般方法并歸納分類，這對于應(yīng)試是能起到一定作用的，但題目是千變?nèi)f化的，如何能讓學(xué)生在面對各種問題時，自我分析，自我探究，自我解決，是需要教師不斷引導(dǎo)的.

雖說極限思想不能直接用來求解圓錐曲線綜合題，但是對于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會自我探究起到了積極的作用.上述例題中，利用極限思想來解決的過程，均是抓住了題目中的動點(diǎn)和動直線，尋找變化規(guī)律，這對于學(xué)生來說，是提升理性思維、抽象能力的絕佳時機(jī).解題教學(xué)時，唯有多想一點(diǎn)，才能少算一點(diǎn)，多反思才能不斷優(yōu)化解題過程，多總結(jié)歸納才能以不變應(yīng)萬變，多復(fù)盤才能不斷提升．

數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是傳授數(shù)學(xué)思想，教學(xué)生學(xué)會思考.極限思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用，不僅能提升學(xué)生的解題能力，還能提升核心素養(yǎng)，讓學(xué)生站在更高的角度去思考、理解問題，知其然并知其所以然，更為今后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．