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    以終為始:圓錐曲線問題中設(shè)線的基本原則

    2022-12-04 16:54:34
    中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2022年9期
    關(guān)鍵詞:解題素養(yǎng)學(xué)生

    朱 瀟

    (湖北省武漢大學(xué)附屬中學(xué) 430064)

    筆者在文[1]中以圓錐曲線中的設(shè)線方式問題為例,分析了不同設(shè)線方式對于計(jì)算量的影響.在最近一次高三復(fù)習(xí)課“同課異構(gòu)”研討活動(dòng)中,有教師提出關(guān)于設(shè)線方式的一個(gè)觀點(diǎn):如果直線過x軸上定點(diǎn),選擇“反設(shè)”(x=ty+m);如果直線過y軸上定點(diǎn),選擇“正設(shè)”(y=kx+b),這樣就可以減少計(jì)算量.筆者認(rèn)為這種觀點(diǎn)不僅值得商榷,還固化了學(xué)生的思維,不利于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng).在圓錐曲線解答題中如何選擇合適的設(shè)線方式?如何將其背后的算理內(nèi)化為學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)?筆者認(rèn)為“以終為始”是圓錐曲線問題中設(shè)線的基本原則;在課堂上將“怎么做”扭轉(zhuǎn)為“為什么這么做”,可在幫助學(xué)生理解算理的同時(shí),讓提升學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)成為可能.

    1 一定要“正設(shè)”嗎?

    2 一定要“反設(shè)”嗎?

    若l與x軸不重合,設(shè)l的方程為x=ty+1(t≠0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),R(0,y3).

    3 如何選擇合適的設(shè)線方式

    3.1 設(shè)線方式的本質(zhì)分析

    3.2 設(shè)線方式的原則

    書寫解題過程通常是按照設(shè)線(設(shè)點(diǎn))——聯(lián)立——韋達(dá)定理——翻譯目標(biāo)條件(結(jié)論)——利用韋達(dá)定理等步驟呈現(xiàn)的,而解題思維則通常需要從目標(biāo)條件(結(jié)論)出發(fā),找到其等價(jià)條件或者結(jié)論,進(jìn)而尋找關(guān)于x1,x2或者y1,y2的待證式子,進(jìn)而選擇設(shè)線方式.這種書面呈現(xiàn)與思維過程的互逆性導(dǎo)致學(xué)生在課堂上只是被動(dòng)承認(rèn)過程的可行性而忽視了思維的生成性.所以設(shè)線方式選擇的原則應(yīng)該是“以終為始”,以題目中關(guān)鍵條件或者待證結(jié)論為“終”,分析解題思路之“始”,即選擇合適的設(shè)線方式,并將這一思維過程在課堂中著重生成出來.下面以2021年一道高考試題加以說明.

    圖1

    有些問題核心條件或結(jié)論的轉(zhuǎn)化較為復(fù)雜,需要進(jìn)行二次轉(zhuǎn)化,形成新的目標(biāo)式子,進(jìn)而再選擇設(shè)線方式.但無論是哪種類型,培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)意識,遵循“以終為始”的設(shè)線原則,進(jìn)而發(fā)展用程序化的思想理解、表達(dá)問題的能力,才是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的最終訴求.

    3.3 設(shè)線方式教學(xué)的價(jià)值旨?xì)w

    高三復(fù)習(xí)課的專題分類經(jīng)常是題型導(dǎo)向,而“設(shè)線方式問題”是方法導(dǎo)向.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》中要求利用8課時(shí)左右時(shí)間專門講《推理與證明》,內(nèi)容要求結(jié)合學(xué)習(xí)過的實(shí)例講解綜合法、分析法等,體現(xiàn)證明數(shù)學(xué)命題的方法性[2].《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020修訂)》中刪除了《推理與證明》,提倡將證明數(shù)學(xué)問題的方法以滲透的方式融合在平時(shí)教學(xué)內(nèi)容中[3].“設(shè)線方式問題”的教學(xué)就是一個(gè)很好的載體.本專題中,在學(xué)生習(xí)得“以終為始”的設(shè)線原則的同時(shí),教師通過帶領(lǐng)學(xué)生分析題目關(guān)鍵條件(結(jié)論),以分析法的思路得到解題的起點(diǎn),然后以綜合法的步驟書寫解題過程,將書寫過程、思維過程與綜合法、分析法對應(yīng),真正從“教題型”中解脫出來,進(jìn)而走向“教方法”.這一過程也為發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提供了可行場域.

    4 結(jié)語

    在解題過程中目標(biāo)意識是最為重要的.圓錐曲線中目標(biāo)意識是“終”,設(shè)線方式是“始”.“以終為始”是解決這類目標(biāo)導(dǎo)向很明確的問題的基本原則.長期以來,我們習(xí)慣于呈現(xiàn)解題方法,忽視了思維的過程.表現(xiàn)為教師在課堂里直接告訴學(xué)生諸如“拋物線開口向右選擇反設(shè)、面積問題中水平寬為定值時(shí)選擇反設(shè)”等總結(jié)好的套路,固化了學(xué)生的思維.在解題教學(xué)中遵循“以終為始”的基本原則,生成火熱的思考,有助于幫助學(xué)生“知其然,知其所以然”,進(jìn)而“知何由以知其所以然”.

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