以核心問題引領學生深度學習
——以“代入法解二元一次方程組”的教學為例*

李建國

(山東省臨沂市教育科學研究院 276000)

“初中數(shù)學深度學習是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學學習任務，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的數(shù)學學習過程.”[1]在這一學習過程中，設計挑戰(zhàn)性的學習任務是實現(xiàn)深度學習的關(guān)鍵，而任何一個學習任務又離不開核心問題的引領，因此提煉課堂教學的核心問題無疑是教學設計中最重要的環(huán)節(jié).

課堂教學中的核心問題是指在一節(jié)課或者課的某個環(huán)節(jié)上基于對教學內(nèi)容和學情的全面分析后形成的，針對教學的重點內(nèi)容，能直達知識本質(zhì)，驅(qū)動學生深入思考和主動探究的引領性問題.下面以人教版義務教育教科書七年級下冊“代入法解二元一次方程組”的教學為例，談如何通過核心問題引領學生深度學習.

1 教學分析

1.1 教學內(nèi)容和學情分析

方程與不等式是“數(shù)與代數(shù)”部分的重要內(nèi)容，代入法解二元一次方程組是初中階段“方程與不等式”內(nèi)容的重要知識，也是進一步學習二次、高次方程(組)和不等式(組)的重要基礎.與其關(guān)聯(lián)密切的知識和素養(yǎng)如圖1所示.

圖1

在知識儲備上，學生已經(jīng)掌握了一元一次方程的概念、解法和簡單應用，也剛剛學習了二元一次方程(組)的定義、解等概念，理解了二元一次方程的解有無數(shù)多個，二元一次方程組的解是兩個方程的公共解.在學習經(jīng)驗上，學生經(jīng)歷了“從數(shù)式到方程”“建方程”“解方程”“用方程”的過程.通過上節(jié)課的學習，學生知道可以通過類比一元一次方程的學習過程繼續(xù)學習二元一次方程(組)的概念、解法和應用.在學習動力方面，學生能夠理解方程思想的意義和解決實際問題的價值，對進一步學習二元一次方程組解法存在潛在期待.

1.2 教學目標和重難點

教學目標的確定，要關(guān)注學生知識的生長——一元到二元、方程到方程組；關(guān)注學生學習經(jīng)驗的生長——“轉(zhuǎn)化”是變復雜為簡單的基本思想，消元是解決多元問題的基本思想；關(guān)注學生能力和素養(yǎng)的發(fā)展——分析解決問題的能力、推理能力、運算能力；關(guān)注學生學習能力和學習態(tài)度的生長——體會代數(shù)知識的一般學習規(guī)律，感受個人在學習過程中的成就感、獲得感.結(jié)合前面的內(nèi)容、學情分析，根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》對本課知識的要求，即“掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組”[2]，確定本節(jié)課的教學目標和重難點如下.

教學目標 (1)理解消元是解二元一次方程組的基本思想；

(2)會用代入消元法解數(shù)字系數(shù)的二元一次方程組；

(3)在探究代入消元法解二元一次方程組的過程中，感受轉(zhuǎn)化思想的應用價值，發(fā)展推理能力和運算能力.

教學的重點是掌握代入消元法解二元一次方程組，難點是對消元法的深刻理解和運用.

2 以核心問題引領深度學習

2.1 核心問題引領知識關(guān)聯(lián)

深度學習的特征之一是聯(lián)想與結(jié)構(gòu)[3].要讓學生將之前具有的知識和學習經(jīng)驗與目前的學習聯(lián)系起來，以系統(tǒng)化思想促進知識的再生長.解二元一次方程組需要聯(lián)想解一元一次方程的思想(轉(zhuǎn)化與化歸)、方法(根據(jù)等式性質(zhì)進行恒等變形)、步驟(去分母/去括號/移項/合并同類項/系數(shù)化為1)，為獲得解二元一次方程組的思路找到類比遷移的根基.由此提煉出本節(jié)課第一個核心問題：在之前的學習經(jīng)驗中，怎樣解一元一次方程？為何這樣解？一元一次方程有何應用價值？

在核心問題的引領下，設計兩個問題串，引入新課.

問題1回顧一元一次方程的學習過程，思考：

(1)我們學習了一元一次方程的哪些知識？

(2)解一元一次方程有哪些步驟？其中蘊含怎樣的數(shù)學思想？

設計意圖通過回顧一元一次方程的學習過程，尤其是再次回憶“化繁為簡”的轉(zhuǎn)化思想，促使學生逐漸悟出“消元”——轉(zhuǎn)化為一元一次方程是解二元一次方程組的的根本出路.

問題2今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

(1)回想小學時的求解方法和上學期的一元一次方程的求解方法，思考它們各自有何優(yōu)點？

(2)能否用二元一次方程組解決？請設出未知數(shù)，列出方程組.

(3)根據(jù)解一元一次方程的經(jīng)驗，你認為解二元一次方程組的關(guān)鍵是什么？

設計意圖解決雞兔同籠問題經(jīng)歷了三種方法：小學時的算術(shù)方法，初一上學期的一元一次方程方法，現(xiàn)在的二元一次方程組的方法.三種方法體現(xiàn)了學生知識發(fā)展的三個階段.對比三種方法，讓學生再次感受方程思想的價值，初步感受本課知識學習的意義，體會二元一次方程組的應用價值，并引出了新課.

2.2 核心問題引領新知生成

引入課題以后，要通過新知識探究的過程，讓學生充分體驗知識的形成過程，深刻認識知識的本質(zhì)，領會數(shù)學思想的應用價值，發(fā)展學生的數(shù)學思維和數(shù)學能力，提高他們的數(shù)學核心素養(yǎng).在探求二元一次方程組的解法過程中，會用到化多元為一元的消元思想，要讓學生經(jīng)歷為何消元、怎樣消元的思維過程，也要讓學生明白“化多元為一元”是數(shù)學轉(zhuǎn)化思想除“化繁為簡”外的進一步的應用.因此，這一階段的核心問題應該聚焦于“如何想到消元？為什么消元是解題中必經(jīng)的步驟？如何消元？”為此筆者設計了下面的問題串，并在探究過程中根據(jù)學生的領悟程度進行追問.

問題3對于前面的雞兔同籠問題，我們不妨先用一元一次方程解出問題答案，然后進一步思考：

(2)在探求一元一次方程解的過程中，我們運用了化繁為簡的轉(zhuǎn)化思想，這對我們解二元一次方程組有哪些啟示？

教學分析 探究過程中，學生在挑戰(zhàn)性問題的引領之下，需要經(jīng)歷“獨立思考”“小組交流”“自主展示”“討論互動”等階段，最終達成“只要能夠先解出方程組中的一個未知數(shù)，就能求出方程組的解”這一共識.過程中要充分體現(xiàn)學生的主體地位，由學生自主完成，教師適當評價和追問.數(shù)學學習的價值不只是學得更多的知識，更重要的是借助知識的學習獲得研究問題的思路方法、解決問題的思想和經(jīng)驗，以及從中獲得的數(shù)學核心素養(yǎng).在核心問題的引領下，通過對第一個難點——“兩個元”的關(guān)注，讓學生在思考中明白消元思想的來源，深刻認識消元思想的價值，鍛煉學生遇到困難后深入分析和調(diào)整思維方向的能力.接著教學進入如何消元這一環(huán)節(jié).

問題4回想求解一元一次方程時一系列轉(zhuǎn)化思想的應用，認真觀察列出的二元一次方程組和一元一次方程有何關(guān)系，能否從中得到啟發(fā)？

解法2 設雞x只，則兔有35-x只，由題意，得2x+4(35-x)=94，解得x=23.又35- 23=12，所以雞有23只，兔有12只.

教學分析 在學生仔細觀察、思考、交流后，發(fā)現(xiàn)“解法2中‘35-x’，可由解法1中方程①的變形y=35-x得到；解法2中的2x+4(35-x)=94，就是把解法1中方程②里的y替換成(35-x)得到的”，進而獲得解題突破.在隨后的解方程組的過程中，學生獨立完成，教師巡視.

這一過程中，學生出現(xiàn)了解答步驟不嚴密、解出x后回代的方程出錯，以及因為對解法理解不清造成解題思路混亂的情形，對于這些情況教師用手機拍照投屏或把學生的解答實物投影進行點評分析.接下來通過問題引領進行解題反思，凝練消元思想，總結(jié)消元法解題的基本思路.

追問1回想一下，解二元一次方程組最初的難點在哪？怎樣突破了這個難點？用到了什么數(shù)學思想？

生：難點在于未知數(shù)是兩個.通過對比運用一元一次方程解題的過程，用x表達y，把方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程就能突破這個難點.這里用到了轉(zhuǎn)化思想.

師：上述解法中，消去二元一次方程組兩個未知數(shù)中的一個，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，就可以先求出一個未知數(shù)，然后再求出另一未知數(shù).我們用到了轉(zhuǎn)化思想，區(qū)別于解一元一次方程時的“化繁為簡”，這里的轉(zhuǎn)化實現(xiàn)了“化二元為一元”的目的.這種將未知數(shù)的個數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.

追問2我們還需要反思什么？

生：反思解題的思路和解題過程.

基本思路和步驟是：“第一步：將方程組中一個方程等價變形，y用x表示出來；第二步：代入另一個方程；第三步：解出x；第四步：回代x，求出y；第五步：寫出答案.”上述過程可以用下面的流程圖2表示.

圖2 解二元一次方程組流程

可以把解方程組的步驟進一步概括為：“變形，代入，解出x，回代，獲得方程組的解”五步.

追問3還有需要再反思的嗎？

生：還可以消去x，把方程組轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元一次方程.

說明 要讓學生明白在方程組中，x和y的地位是平等的，既然能消去y，當然可以消去x.

師：上面的解法，是利用二元一次方程組中一個方程，將一個未知數(shù)用含另一未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一方程，實現(xiàn)消元，進而求得這個二元一次方程組的解.這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

在上述教學過程中，通過核心問題“如何想到消元？為什么消元是解題中必經(jīng)的步驟？如何消元？”的引領，學生通過解決一系列富有挑戰(zhàn)性的問題，經(jīng)歷了充分的思考和體驗，深刻理解了消元法的來源、作用、方法，達成對知識本質(zhì)的認識，順利實現(xiàn)從“解一元”到“解二元”的方法遷移.

2.3 核心問題引領高階認知發(fā)展

根據(jù)深度學習的要求，完成了知識本質(zhì)的認識和方法遷移以后，還需要對學習內(nèi)容進行深度加工[3]，提升學生“運用”“分析”“綜合”“創(chuàng)新”等高階認知能力.根據(jù)數(shù)學學習的特點，從具體實例入手，通過核心問題“可以怎樣解決？還能怎樣解決？哪種更優(yōu)？最優(yōu)方法受到什么條件的制約？”引領學生充分分析具體問題的結(jié)構(gòu)特點，更深地領悟“消元”的價值.為達成這個目的，更換教科書的例題為：

首先由學生分析題意，找出解題思路.然后再通過研究其他解題思路明確在解方程組的過程中，消去x與消去y、變形方程①與變形方程②都是合理的，這取決于方程組的特點.最后進行總結(jié)反思.在學生解題過程中，教師巡視、拍照、準備投屏點評.

追問1 在本題的解答過程中，你有哪些收獲？

追問2 回代到方程組中任何一個方程都可以嗎？

追問3 說說你的思路是從哪來的？

追問4 還有沒有其他解題思路？

通過對解題思路和過程的反思，提高學生對解方程組的認識：整體著眼、方便入手、簡化運算，達成最優(yōu)解法，甚至于能夠發(fā)現(xiàn)通過兩式相加來消元，引出解二元一次方程組的另一條思路——加減消元法.

生：可以把方程先化簡，再求解；也可以把(x-2y)看作一個整體來進行求解；還可以兩式相加，先消去(x-2y)；還可以把第二個方程去括號，就得到y(tǒng)，回代求出x.

經(jīng)歷了以上的學習過程，讓學生在各種思路的對比中找到最佳的方法，有利于學生養(yǎng)成解題前認真審題的好習慣，鍛煉學生對問題的分析能力、綜合應用能力，發(fā)展他們的批判性思維水平，提高數(shù)學運算素養(yǎng).在對回代哪個方程的反思過程中，加深學生對解方程組本質(zhì)的認識.加減消元法的發(fā)現(xiàn)，鼓勵學生從更加廣闊的視角觀察問題，提高學生的創(chuàng)新性思維水平，也為下一節(jié)課的學習打開了一扇窗.問題的變式引發(fā)學生新一輪的探究熱情，進一步提升學生的高階認知能力.

2.4 核心問題引領反思提升

深度學習著意學習過程的建構(gòu)反思[4].課堂小結(jié)是梳理本節(jié)課學習歷程、提升學生總結(jié)概括能力的重要環(huán)節(jié)，也是下節(jié)課知識孕育的生長點，要給學生留有充足的時間，讓學生帶著問題認真反思.核心問題要在“如何梳理知識、方法、結(jié)構(gòu)？如何提煉本節(jié)課的核心思想？如何預留未來發(fā)展空間？”這幾個問題上進行提煉，達成完善知識結(jié)構(gòu)、加深思想認識、優(yōu)化學習習慣、提升自主學習能力的目標.

問題5請回顧本節(jié)課的學習過程，帶著以下問題自主歸納梳理.

(1)本節(jié)課上你在知識、方法、經(jīng)驗方面有哪些收獲？請用思維導圖方式進行梳理.(圖3)

圖3

(2)今天的學習過程中，你感受最深刻的數(shù)學思想有哪些？在哪些地方用到了它們？

(3)再觀察例1，以整體的思想分析兩個方程，通過兩式相加就能消去一個未知數(shù)，如果改變未知數(shù)的系數(shù)，還能進行這類形式的消元嗎？課下可以進一步思考.

3 結(jié)語

淺層學習的認知水平往往只停留在“識記”“理解”，要達到高階認知水平，需要實施深度學習，其策略是基于問題引領、基于任務驅(qū)動、基于過程評價[5],其關(guān)鍵是核心問題的研究和提煉.在教學設計和教學活動中，認真研究提煉核心問題，著眼于學生的長遠發(fā)展，從知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，系統(tǒng)理解教學內(nèi)容；從實際應用和挑戰(zhàn)性問題的設計出發(fā)，提升學生對數(shù)學的學習興趣，啟發(fā)學生積極思考；從發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的學習活動設計出發(fā)，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)；從注重探尋學習規(guī)律和總結(jié)經(jīng)驗方法出發(fā)，促進學生學會學習.只有如此，才能做到“充分發(fā)揮教師主導作用，引導教師深入理解學科特點、知識結(jié)構(gòu)、思想方法，科學把握學生認知規(guī)律，上好每堂課”[6].這是時代的呼喚，也是國家對全面提高義務教育質(zhì)量的要求.