大師的智慧與啟示：從數(shù)學學習到數(shù)學研究(續(xù))

鄭毓信

(南京大學哲學系 210093)

第二，思維的開放性．

上面的討論清楚地表明了對“我們?nèi)绾文軌蛘业胶线m的研究問題”進行深入思考的重要性，而思維的開放性正是實現(xiàn)這一目標的一個重要途徑．

例如，面對需要求解的問題，我們應(yīng)認真地思考：先前是否遇到過類似的問題，后者是用什么方法解決的，相關(guān)方法是否也可以用于眼前問題的求解？眾所周知，這也正是波利亞所倡導的“解題策略”(數(shù)學啟發(fā)法)中十分重要的一條．

丘成桐先生在這方面還有這樣一個重要的建議：廣泛的交流往往可以幫助我們找到大展手腳的地方，特別是，發(fā)現(xiàn)自己熟悉的方法可以在其他領(lǐng)域得到重要的應(yīng)用.

“愚意以為，隨意的交談或許有意想不到的重要作用．姑勿論在講課、講座或下午茶的場合，有時你只需記得別人說過的片言只字．這次，隨口的一句，竟印記在腦海，最后幫我完成的人生第一個有意義的證明．”“高研院(指普林斯頓高等研究院——注)是個很棒的地方，差不多每晚大家都要在一起吃飯，所以時常能碰上有趣的人物，聊聊 數(shù)學或其他大家關(guān)注的話題……大部分來高研院的人都和我一樣懷著相同的目的，就是為了和別人做思想的交流，并探究自己感到有興趣的想法．”“從聽課和與師友的交流中，可以發(fā)現(xiàn)哪些研究方向最為合適，找到理想的方向后，就需要勇往直前．”[4]67,86,318

由以下論述讀者可以更好地理解“思維開放性”的重要：“所有新的方法，尤其是和已知迥異的，在成為潮流前莫不如此”，后者是指新方法的應(yīng)用往往會遭到持保守觀點人士的強烈反對，后者并常常占據(jù)了主導的地位．[4]113

我們還應(yīng)看到觀念或思維方法在這一方面的重要作用，應(yīng)當善于用聯(lián)系的觀點看待事物和現(xiàn)象．例如，正如前面所提及的，丘成桐先生關(guān)于“幾何分析”的研究就是這方面的一個實例：“做研究生時，我有一個想法，微分幾何畢竟是涉及分析和幾何的一門學問，幾何學家應(yīng)該從分析著手研究幾何．況且微分方程的研究已經(jīng)相當成熟，這個研究方向大有可為．雖然一般幾何學家視微分方程為畏途，我決定要將這兩個重要理論結(jié)合，讓幾何和分析都表現(xiàn)出它們內(nèi)在的美．”[4]313

進一步說，這還涉及到了更深層次的一些理念，包括數(shù)學的整體性、宏觀與微觀之間的辯證關(guān)系、世界的統(tǒng)一性等：

“我腦海中隱隱浮現(xiàn)一個念頭，就是以偏微分方程為經(jīng)緯，把幾何和拓撲聯(lián)系起來．幾何和拓撲通常被看成兩個不同的科目，但我總覺得這種區(qū)分只是表象．幾何能給出的，是局部的特寫，就如用放大鏡檢視地球的表面；而拓撲卻能提供宏觀的圖象，就如從外層空間看地球一般．可是說到底，兩者觀察的都是同一個行星，不同的觀點互為補益而非相沖……我視所有不同的數(shù)學領(lǐng)域為同一織物的各部分，不會為外人附加于科目的界限所拘束……對各部件的理解愈多，便知它們是糅合在一起的．”[4]58

“幾何分析的新意，在于把非線性偏微分方程用于微分幾何……在幾何中，我們利用這些方程來量度曲率，并考究曲率在空間各點的變化，當空間的曲率‘局部’地(即每一小片)確定后，我們便能對空間的‘整體’有所認識．一邊是曲率，即局部的幾何或空間中精準的形狀；另一邊是拓撲，即同一空間的概括形狀——兩者之間的聯(lián)系使我 著迷，構(gòu)成我過去四十多年工作的重心……當時，人們主要用分析的角度看這問題(指極小曲面的研究——注)，而幾何學者則聚焦于問題的幾何性質(zhì)，兩者就如站在大山的對面，看到全然不同的 景象．我想把兩者融匯起來，雖然前人早就有了少量偶然的嘗試，我卻想從事大規(guī)劃而有系統(tǒng)的探究．”[4]59,91

“我視數(shù)學非自成一國的學問，而是和大自然息息相關(guān)的知識．從幾何中呈現(xiàn)的完美結(jié)構(gòu)，更能看到數(shù)學和自然的融合．在某些情況中，這些結(jié)構(gòu)甚至能繪畫出來，這令它更容易為人理解．”[4]57

顯然，從后一立場出發(fā)，不同學科的交叉與滲透也就十分自然了，這是丘成桐先生研究工作又一十分重要的特色：“與物理學家合作是愉快的經(jīng)驗，可以有跳躍性的進展，而又不停地去反思，希望能夠從數(shù)學上解釋這些現(xiàn)象，在這個過程中往往擴展了數(shù)學的前沿．”[2]321

在其他一些著名數(shù)學家的研究工作中我們當然也可看到類似的傾向．例如，華羅庚先生也曾明確強調(diào)了拓寬視野的重要性，包括“廣度”與“深度”之間的辯證關(guān)系：“鑒別一個學問家或個人，一定要同廣、同深聯(lián)系起來看．單是深，固然能成為一個不壞的專家，但對推動整個科學的發(fā)展所起的作用，是微不足道的．單是廣，這兒懂一點，那兒懂一點，這只能欺欺外行，表現(xiàn)他自己博學多才，而對人民不可能做出實質(zhì)性的成果來．”“數(shù)學各個分支之間，數(shù)學與其他學科之間實際上沒有不可逾越的鴻溝，以往我們看到過細分割、各搞一行的現(xiàn)象，結(jié)果呢？哪行也沒搞好．所以在鉆研一科的同時，把與自己學科或分支相近的書和文獻瀏覽瀏覽，也是有好處的．”[2]245

另外，由陳省身先生的以下論述我們也可以在這一方面獲得直接的啟示：

“黎曼……把幾何局部化，可以說是幾何學的第四個發(fā)展．這是笛卡兒坐標幾何的自然推廣……黎曼不但用坐標，他還用坐標的微分，于是便把笛卡兒幾何局部化，因此，黎曼幾何可說是一個局部化的幾何……黎曼幾何最初在二維的情形是高斯發(fā)展的……因為當時的德國政府要他主持一個測量工作，為了給這個測量工作一個理論基礎(chǔ)，于是高斯寫下了這篇在微分幾何上最要緊的論文．微分幾何自此誕生……在黎曼幾何的情形下，我們只需要空間的一部分……不需要知道全部的空間，也就是說，在這樣的一個小塊里，便可發(fā)展全部的幾何性質(zhì)，這是黎曼幾何革命性的觀念，使幾何局部化，這個和物理上的場論是完全符合的．

“真正使黎曼幾何受到重視的是愛因斯坦的廣義相對論．大致說起來，愛因斯坦的廣義相對論是要把物理幾何化，就是說把物理的性質(zhì)變?yōu)閹缀蔚男再|(zhì)，因此黎曼幾何就成物理學家一定要念的一門數(shù)學．到了黎曼空間一樣有曲率的概念，只是因為黎曼空間是高維的，所以它的曲率概念就變得相當復雜．在愛因斯坦的廣義相對論中的基本公式里，大致說起來，物理的力是一個曲率；數(shù)學家講曲率和物理學家講力其實是同一個觀念．”[3]248-250

第三，樹立遠大目標．

如眾所知，這常常是數(shù)學上作出重要貢獻的一個重要標志．從這一角度我們可以很好理解丘成桐先生的這樣一個評論：“今日有些名教授，著作等身，汗牛充棟，然而內(nèi)容往往脫離現(xiàn)實，一生所作，不見得能比得上一些內(nèi)容與實際有關(guān)的小品文，數(shù)十載后讀之，猶可回味．”[4]315

當然，大問題≠重要問題，因為，“數(shù)學上最大的進步，并不在于解決難題，因為這樣只會使某些研究領(lǐng)域完結(jié)，而在于開辟了全新的、各式各樣的問題以供探索．”[4]289

例如，丘成桐先生的又一重要貢獻是“卡拉比猜想”的證明，由此我們可以在如何樹立遠大目標這一方面獲得重要的啟示：

“打從一開始，我便知道卡拉比猜想不一樣，因為它連通著幾何學的某一領(lǐng)域，深入而又寬廣．這個猜想的破解打開了一個缺口．帶我們走進了亟待開拓的數(shù)學領(lǐng)域．”“我的經(jīng)驗是，解決數(shù)學難題需要艱辛的努力，沒有捷徑可走，除非問題本身其實頗易．”

事實上，丘成桐先生在幾何分析這一方面的工作也可以看成是這樣的范例：“我和眾多朋友開拓的幾何分析，也差不多花了十年才成功奠基，雖不敢說是‘以血書成’，但每一次的研究都很花費工夫，甚至廢寢忘食，失敗再嘗試，嘗試再失敗，經(jīng)過不斷的失敗，最后才成就一幅美麗的圖畫．”[4]129,43,314

我們應(yīng)清楚認識充分準備、長期規(guī)劃的重要性：“我深知登山的第一步已不容易，首先要花些時間確定一條可行的路線，然后找工具在石頭表面刻上記號……我需要時間、毅力和大量的運氣，直至準備工作通通完成前，我都不會貿(mào)然攻頂．然而，我不會忘記這個山峰，它時時刻刻在腦海中 浮現(xiàn)，從未遠離．”“要找到一個制高點，對整個問題有了通透的理解；然后不眠不休、廢寢忘餐地 工作；最后靈光一閃，突然看到了完成證明的途徑．”[4]86,124

頗有興味的是，丘成桐先生是通過閱讀文學著作和歷史學習在這一方面獲得了重要的啟示：

“少年時最喜愛的小說是《紅樓夢》……我從十歲開始閱讀這部小說，被書中對18世紀中國人生活和社會的描繪所深深吸引……當時意想不到的是，卻是這小說的結(jié)構(gòu)，后來竟然影響了我對數(shù)學的看法．書中情節(jié)千絲萬縷，角色層出不窮，要花時間和眼力，始能把情節(jié)和人物聯(lián)系起來，形成紛沓而又渾成的整體．

“我看待數(shù)學，尤其是幾何分析便類比．到了1977年，我已證明了好幾條定理，往后更多了幾條．大部分定理看來彼此之間并無關(guān)聯(lián)，然而漸漸可以看出，幾何分析中有某種結(jié)構(gòu)，能夠把這些不相干的定理聯(lián)系起來．其實，整個數(shù)學領(lǐng)域亦復如此．數(shù)學有很多不同的分支，乍一看毫無關(guān)系，但當你站得足夠遠再看，就會知道它們都是一棵大樹的各部分，就如《紅樓夢》中賈府各人的宗譜關(guān)系一樣．我努力思考，希望對整棵數(shù)學大樹有整體的認識，同時亦專注于幾何分析這剛發(fā)芽的新枝，它正從微分幾何這更粗更長的老枝中冒出來．”[4]133-134

“除了看《紅樓夢》，我也看《史記》《漢書》……歷史的事實教導我們在重要的時刻如何做決斷．做學問的道路往往是五花八門的，走什么方向會影響學者的一生．復雜而現(xiàn)實的歷史和做學問有很多類似的地方，歷史人物做的正確決斷，往往能夠為學者選擇問題提供一個良好的指南針．” “做好的工作，總要放棄一些次要的工作，如何登高望遠，做出這些決斷，大致基于學者的經(jīng)驗和師友的交流．然而對我而言，歷史的教訓是很有幫助的．”[4]316

顯然，這也更清楚地表明了拓寬視野的重要性．另外，這也是丘成桐先生特別強調(diào)的一點：“感情的培養(yǎng)是做大學問最重要的一部分……立志要做大學問，只不過是一剎那間的事，往往感情澎湃，不能自己，就能夠?qū)W者帶進新的境界．”后者主要地是指由數(shù)學研究、包括數(shù)學學習獲得的快樂和精神滿足．因此，丘先生提到的以下一些弊病就應(yīng)引起我們的高度重視：“一些中國學生讀研究生時，都沒有花工夫做學問，掙錢乃是念書的主要目的，而研習某科某目則為其次．數(shù)學上，他們只關(guān)注細小的問題，得到一丁點兒結(jié)果便急急發(fā)表，以此作為升職升等從而加薪的憑借．”當然，在這一方面我們也可清楚地看到教育制度、特別是“應(yīng)試教育”的消極影響，包括這樣一點：“或者這是中國教育系統(tǒng)始料不及的后果，過分重視把課程背得滾瓜爛熟，卻把做學問的精義丟失了．”[4]129,312,157,184進一步說，這也奪走了年青學子對于數(shù)學的興趣、乃至深入從事數(shù)學學習和研究所必須的自信．

愿有志于數(shù)學研究的年青人從一開始就能樹立遠大理想，并能為之終身努力，百戰(zhàn)不殆，勇往直前！

(續(xù)完)