數(shù)學新高考的考向研究與命題實踐
——基于中國高考評價體系

黃 健

(江蘇省蘇州市教育科學研究院 215004)

精準把握教學方向、正確實施人才培養(yǎng)是每個教學工作者追求的目標．基于《中國高考評價體系》(下稱《體系》)的新高考體現(xiàn)了國家教育部對教育根本問題的思考與探索，是創(chuàng)新驅動發(fā)展戰(zhàn)略和科教興國人才強國戰(zhàn)略下的新要求．在深度研究新高考的基礎上，筆者結合自身命題實踐，談談數(shù)學新高考的特點以及對有效引導思維提升和能力發(fā)展的思考．

1 對《體系》的思考與啟示

《體系》指出，高考的核心功能是立德樹人、服務選材和引導教學．首先應引導學生樹立正確的人生觀、價值觀，為國家培養(yǎng)具有積極思想、良好心態(tài)的后續(xù)人才，保證國家的持續(xù)性發(fā)展．其次，高考會聚焦核心素養(yǎng)，注重能力立意，加強開放探究，突出對邏輯思維和關鍵能力的考查，增強選拔功能，區(qū)分度會更為明顯．再次，高考會通過展示文化與應用的廣闊領域來引導教學回歸基礎、回歸規(guī)律、回歸本質，彰顯數(shù)學的科學價值．

《體系》為我們梳理了正確的研究目標方向、科學的方法路徑，提出了“價值引領、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”的命題理念．新高考數(shù)學命題的首要任務是要體現(xiàn)試題價值，遵循學以致用的原則，堅決摒棄“構造類”和“技巧型”問題，避免試題與生活脫節(jié)，堅持應用導向，鼓勵學生運用知識、能力和素養(yǎng)去解決問題．新高考數(shù)學命題對創(chuàng)新思維的要求會更高，會引入更多的問題情境，要求學生在現(xiàn)有經驗與認識的基礎上敏銳地發(fā)現(xiàn)新舊事物的關系，并利用推測、類比、聯(lián)想、論證等手段創(chuàng)造性地解決問題，這是對學生核心素養(yǎng)考查的綜合體現(xiàn)．

2 基于《體系》的考向研究與命題實踐

2.1 強化概念辨析，深化數(shù)學理解

數(shù)學概念反映數(shù)學對象的數(shù)量關系和本質特征，是構成判斷、推理、論證、拓展等思維的基礎．正確理解數(shù)學概念，必須理解概念的內涵與外延．多選題型的加入，使得新高考對概念的考查有了更為寬闊的手段，除了傳統(tǒng)的對基本概念的直接考查外，還增加了對概念的全方位辨析考查，在復習過程中要注意對概念的深度理解和類比遷移．

數(shù)學概念試題的呈現(xiàn)方向一是對相似概念的鑒別，突出糾錯性，解題的關鍵點在于理解不同場景概念，有時需要融入實際情境進行甄別；二是平行概念的呈現(xiàn)，突出全面性，解題的關鍵點是要全面理解概念，不能有遺漏；三是抽象概念的轉化，突出應用性，解題的關鍵點是要關注概念、公式、定理、法則的推導及拓廣．

例1(2022蘇州零模)下列命題正確的是( )．

A．若z1,z2為復數(shù)，則|z1z2|=|z1|·|z2|

B．若a,b為向量，則|a·b|=|a|·|b|

C．若z1,z2為復數(shù)，且|z1+z2|=|z1-z2|，則z1z2=0

D．若a,b為向量，且|a+b|=|a-b|，則a·b=0

命題意圖 本題主要考查向量與復數(shù)的概念辨析，學生通過對相似概念的鑒別，鞏固知識、深化理解．此外還可以聯(lián)想實數(shù)與復數(shù)、向量與實數(shù)的概念對比，培養(yǎng)類比探究的思維習慣．

例2(2022蘇錫常鎮(zhèn)二模)隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運動的參與人數(shù)有了突飛猛進的提升．某校為提升學生的綜合素養(yǎng)、大力推廣冰雪運動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運動的主力軍”，開設了“陸地冰壺”“陸地冰球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運動體驗課程．甲、乙兩名同學各自從中任意挑選兩門課程學習，設事件A=“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件B=“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件C=“甲乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，則( )．

A．A與B為對立事件 B．A與C互斥

C．A與C相互獨立 D．B與C相互獨立

命題意圖 本題主要考查事件的概念辨析，選擇分支比較抽象，需要合理轉化，和2021年全國I卷第8題理念一致．選項A,B，讓學生直觀想象求解，縮短解題時間；選項C,D，需通過獨立事件的計算公式驗證，引導學生做好對概念的提煉和梳理．

2.2 基于實際情境，彰顯應用價值

新高考數(shù)學卷強調基于實際情境的考查，“生活實踐情境”和“探索創(chuàng)新情境”[1]的引入給高考試題帶來了全新的面貌．學生通過閱讀、理解、猜測、探求、歸納等手段解決問題，經過長期積累整理出一般的解題模型，體會數(shù)學的應用價值，提升閱讀理解能力，發(fā)展數(shù)學建模素養(yǎng)．

情境一般取材于社會熱點問題、改革開放偉大成果及數(shù)學史的經典案例，培養(yǎng)學生愛國主義精神和民族自豪感，其呈現(xiàn)方向一是基于我國科技領域的新成果，鼓勵人才創(chuàng)新；二是基于經典文化領域，注重學科交叉；三是基于生活實踐和民生領域，體現(xiàn)學以致用．

(1)求兩超市的月需求總量為1 000件的概率．

(2)已知企業(yè)對此罐頭的供貨價格為30元/件，生產此罐頭的成本為：800件內(含800)為20元/件，超過800件但不超過1 000件的部分為15元/件，超過1 000件的部分為10元/件．企業(yè)擬將月生產量X(單位：件)定為800或1 000或1 200．若兩超市的月需求總量超過企業(yè)的月生產量，則企業(yè)每月按月生產量供貨，若兩超市的月需求總量不超過企業(yè)的月生產量，則企業(yè)每月按月需求總量供貨．為保障食品安全，若有多余罐頭企業(yè)每月自行銷毀，損失自負．請你確定X的值，使該企業(yè)的生產方案最佳，即企業(yè)每月生產此罐頭的利潤Y的數(shù)學期望最大，并說明理由．

命題意圖 本題以商品買賣問題為情境考查隨機事件的概率與數(shù)學期望，并通過對數(shù)學期望的計算來制定決策，學生在處理問題中應理清成本、利潤等關系，感悟數(shù)學手段的廣泛應用，培養(yǎng)學習興趣．

說明本題也可融入對統(tǒng)計相關量的考查，并可將進貨量X規(guī)定在某個區(qū)間范圍內連續(xù)變動，與實際聯(lián)系更緊密，讓學生感受方法的統(tǒng)一和思維品質的提升．變式如下：

某連鎖超市欲從一家食品企業(yè)購進一種海鮮罐頭，每件罐頭食品的基本批發(fā)價為20元．如果進貨數(shù)量在1 000件到1 200件之間(不含1 000件，含 1 200件)，超出的部分每件打9折；如果進貨數(shù)量大于1 200件(不含1 200件)，超出的部分每件打8折．該超市準備以每件30元的零售價格在市場上銷售這種海鮮罐頭，為保障食品安全，到期未能售出的罐頭就地銷毀．為了解需求量情況，該超市通過市場調研，繪制了如圖1所示的頻率分布直方圖．

圖1

(1)請利用頻率分布直方圖的組中值估算該食品的平均市場需求量n；

(2)以各組需求量的頻率作為各組需求量發(fā)生的概率，假設實際銷售量為市場最大需求量．考慮到實際情況，超市決定將進貨量X(單位：件)定在800件到1 400件之間，則X為多少時，利潤Y的數(shù)學期望最大？

2.3 基于數(shù)據(jù)特征，考查分析想象

命題者憑借自身較強的觀察能力和創(chuàng)造能力，對原問題的本質特征進行深入分析與研究，找出“已知”與“所求”之間的聯(lián)系紐帶，編制合適的替代條件，將問題“改頭換面”．這里的數(shù)據(jù)特征，不僅是問題對象的代數(shù)式特征，還包括幾何、背景等屬性特征．

基于數(shù)據(jù)特征的試題呈現(xiàn)方向一是基于代數(shù)特征，強調變形能力與換元能力，要求學生通過觀察代數(shù)式特征，嘗試變形或換元，探尋問題本源；二是基于幾何特征，注重圖形溯源與運算優(yōu)化，要求學生通過圖形感知挖掘幾何背景，優(yōu)化解題的途徑；三是基于高等背景，注重形式和問題類比遷移，要求學生提升知識寬度和探究能力，努力尋找問題關聯(lián)，從而加深認識、突破難點．

命題意圖 本題考查函數(shù)的零點問題，解題的關鍵是要通過觀察函數(shù)表達式特征發(fā)現(xiàn)其為偶函數(shù)，將問題轉化為研究在(0,+∞)上的零點個數(shù)，達到簡化運算的目的，要求學生有較強的洞察力和知識遷移的能力．

說明將函數(shù)表達式進一步抽象化，有如下變式：

分析令t=x-1，則g(t)=f(t)+f(-t)為偶函數(shù)，問題轉化為函數(shù)g(t)在(0,+∞)上有兩個零點，下略．

例5(2022蘇州大學考前指導卷)已知x1,x2,x3(x1

命題意圖 本題考查多元最值問題，應在充分理解零點定義的基礎上尋找合適的轉化路徑，由函數(shù)表達式的特征發(fā)現(xiàn)其對稱性是解題關鍵．

命題意圖 本題考查點到直線的距離，滲透數(shù)形結合與轉化化歸思想．常規(guī)處理是平移已知直線與函數(shù)圖象相切，進而轉化為求已知直線與切線的距離．事實上，此題源于高等的切線不等式背景：

2.4 嘗試開放探究，有效區(qū)分差異

數(shù)學探究是一個活動或者一個過程，它包括：觀察分析數(shù)學事實，發(fā)現(xiàn)并提出有意義的數(shù)學問題，數(shù)學探究猜測、探求適當?shù)臄?shù)學結論或規(guī)律，給出解釋或證明．數(shù)學探究有助于學生體驗知識產生、發(fā)展、完善的過程，樹立科學嚴謹?shù)膽B(tài)度和不畏困難的精神，在質疑和反思中提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學問題的能力．

開放探究問題的呈現(xiàn)方向一是重視對研究對象通性的考查，結論不單一，思維多樣化，要求學生全方位理解對象屬性；二是對動態(tài)圖形中的結論探究，考查定理、思想的靈活運用，要求學生能夠分析出動態(tài)過程中對象變化的規(guī)律；三是調整邏輯關聯(lián)、轉變邏輯方向，直接指向對概念的深度考查，強調基礎性．[1]

例7(2022蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知圓錐同時滿足條件：①側面展開圖為半圓；②底面半徑為正整數(shù)．請寫出一個這樣的圓錐的體積V=．

命題意圖 本題考查簡單幾何體的側面積和體積、圓錐的側面展開圖．引導學生經歷對公式的回憶及表達，全方位完善知識結構，從而提升關鍵能力和學科素養(yǎng)．

(1)證明：sinA=2sinB；

(2)求所有正整數(shù)k,m的值，使得c=mb和 tanA=ktanC同時成立．

命題意圖 本題考查解三角形，第(2)題以探究性問題形式呈現(xiàn)，體現(xiàn)數(shù)論方法與三角知識的融合，激發(fā)學生的探索欲，有效區(qū)分了學生間的差異．

2.5 注重知識交叉，彰顯能力立意

新高考全國卷正在努力打破數(shù)學知識間的壁壘，尋找試題的新的呈現(xiàn)方式．在考查方式上更加突出綜合性[1]，強調能力立意，要求學生能夠揭開問題表面的面紗，深入到問題的本質中去．

注重知識交叉的試題呈現(xiàn)方向一是知識載體的融合貫通，彰顯呈現(xiàn)方式的靈活性；二是研究目標的適度變化，彰顯知識板塊的發(fā)展性，培養(yǎng)創(chuàng)新意識；三是思想方法的多元考查，彰顯能力考查的多樣性．

C．對任意n∈N*均有an+bn≤cn

D．存在n∈N*使得an+bn>cn

命題意圖 本題以二項式為載體，考查不等式與數(shù)列問題．試題呈現(xiàn)方式靈活，研究目標多變．學生若對概念和基本思想有深刻理解，則不難解決該問題．

例10(2022蘇州零模)已知函數(shù)f(x)=ln(ex-1)-lnx．

(1)判斷f(x)的單調性，并說明理由；

命題意圖 本題聚焦函數(shù)導數(shù)與數(shù)列、不等式的有機融合，重點考查導數(shù)的綜合運用，通過載體融通實現(xiàn)目標變化，融合“聯(lián)想”“構造”“迭代”“放縮”等多種思想方法，實現(xiàn)對邏輯推理核心素養(yǎng)的考查．

說明此題源于2020年教育部考試中心為山東省命制的新高考模擬卷，原題如下：

(1)求a；(2)討論g(x)=x(f(x))2的單調性；(3)設a1=1，an+1=f(an)，證明：2n-2|2lnan-ln 7|<1．

2.6 注重邏輯推理，發(fā)展理性思維

邏輯思維能力是學習數(shù)學的根本能力，它是借助問題條件，通過尋找依據(jù)、層層遞進等思維形式進行思考與活動的能力．提升學生的思維品質是數(shù)學學科的根本任務．新高考全國卷題型最顯著的變化是增加了邏輯證明題的數(shù)量，力求全方位考查學生的思維習慣和思維品質，要求學生能準確而有條理地表達自己的思維過程，包括分析、推演、說理、論證等環(huán)節(jié)．教師應及時貫徹國家方針，努力幫助學生提升邏輯推理能力，強化理性思維，培養(yǎng)創(chuàng)新能力．

注重邏輯推理的試題呈現(xiàn)方向一是重視充要關系的辨析，完善知識網絡，以此來改變教學中忽視概念細節(jié)的情況；二是重視基于概念的探究，揭示命題背景，體驗試題價值；三是重視高等背景的延伸，體現(xiàn)考點融合，體現(xiàn)綜合性與創(chuàng)新性[1]原則．

例11(2022蘇錫常鎮(zhèn)二模)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，準線為l，過點F且斜率大于0的直線交拋物線C于A,B兩點，過線段AB的中點M且與x軸平行的直線依次交直線OA,OB,l于點P,Q,N．

(1)判斷線段PM與NQ長度的大小關系，并證明你的結論；

(2)若線段NP上的任意一點均在以點Q為圓心、線段QO長為半徑的圓內或圓上，求直線AB斜率的取值范圍．

命題意圖 本題聚焦對直線與拋物線位置關系的考查，檢測學生的字母運算能力．試題追求理性思維和數(shù)學探索，要求學生在經歷邏輯推理的過程中體會數(shù)學的重要性．

圖2

3 結語

新高考數(shù)學全國卷注重基礎、體現(xiàn)方法、突出思想、考查能力，考查學生的數(shù)學素養(yǎng)和探究意識．在《體系》的引領下，教師應努力轉變教學觀念，構建有價值的教學模式，對學生的思維能力、創(chuàng)新意識、問題意識及合作意識開展高質量培養(yǎng)．在新課教學中，教師要培養(yǎng)學生的開放探究意識，通過開放性設問、連續(xù)型套問、拓展性追問、糾錯式反問等方式幫助學生領悟問題、發(fā)展思維．在解題教學中，教師應關注課標理念、重視四基落實、立足數(shù)學本質、優(yōu)化示范引領，通過一題多解、多角度探源、變式拓展、總結提煉等方法引導學生探尋本質、理解背景．作為教育主管部門，應當呼吁和鼓勵更多的教師參與命題研究，在實踐中體會《體系》的理念，從而更為精準地了解學情，把握教學方向．