對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知與數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)關(guān)系初探

石志群

(江蘇省泰州市教研室 225300)

一位數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)不好的學(xué)生問我：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用？”我反問：“這就是你不喜歡數(shù)學(xué)的原因？”他誠(chéng)實(shí)地回答：“是的．我父親是醫(yī)生，母親是公務(wù)員，我從來沒有看到他們生活、工作中用到函數(shù)、數(shù)列等數(shù)學(xué)知識(shí)．”

一位中考成績(jī)相當(dāng)不錯(cuò)的學(xué)生，進(jìn)入高中后連續(xù)幾次考試，數(shù)學(xué)成績(jī)一次比一次差，于是失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．老師與她談心時(shí)，她非常灰心地說道：“高中數(shù)學(xué)真的太難了，我不是學(xué)數(shù)學(xué)的料．”

袁隆平院士曾介紹：“我不喜歡數(shù)學(xué)，因?yàn)樵趯W(xué)負(fù)數(shù)時(shí)搞不清為什么負(fù)負(fù)得正，去問老師，老師說：不要問為什么，記住就行；學(xué)幾何時(shí)對(duì)一個(gè)定理有疑義，去問老師，老師給了同樣的答復(fù)．我由此得出結(jié)論：數(shù)學(xué)不講道理，于是不再理會(huì)，對(duì)數(shù)學(xué)興趣不大，成績(jī)不好．”

當(dāng)然，歷史上也有很多因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)的嶄新認(rèn)識(shí)進(jìn)而愛上數(shù)學(xué)的案例．例如，愛因斯坦從一本書上看到一個(gè)結(jié)論“三角形的三條高交于一點(diǎn)”時(shí)感受到了巨大震動(dòng)：“這怎么可能呢？這太神奇了！”從此他對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚興趣．英國(guó)哲學(xué)家霍布斯第一次從歐幾里德《幾何原本》上看到勾股定理時(shí)，他對(duì)自己說：“向上帝保證，那怎么可能呢？”為了滿足自己的好奇心，他開始嘗試證明……[1]

可以這么說，數(shù)學(xué)成績(jī)不好的學(xué)生基本上對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科沒有好感，一個(gè)重要的原因是對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了誤解，如袁隆平院士將以講理為本質(zhì)的數(shù)學(xué)視為“不講理”．太多的例子都說明一個(gè)問題：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)這門科學(xué)的認(rèn)知(認(rèn)識(shí))影響了其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度，從而也就影響了數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績(jī)．本文是筆者對(duì)這個(gè)問題的初步探索．

1 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知及現(xiàn)狀分析

所謂“對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知”，本文是指對(duì)數(shù)學(xué)是什么、數(shù)學(xué)有什么用、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)、數(shù)學(xué)科學(xué)的結(jié)構(gòu)和體系、數(shù)學(xué)研究方法及數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)難度和方法等的認(rèn)識(shí)．例如，美國(guó)的數(shù)學(xué)教育工作者曾經(jīng)做過一個(gè)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)美國(guó)學(xué)生中流行的一些觀念：只有書呆子才會(huì)喜歡數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)是無意義的，與日常生活毫無聯(lián)系、只有天才才能在數(shù)學(xué)中作出發(fā)明創(chuàng)造……[1]這些都是學(xué)生從不同層面對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知．

1.1 對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知維度

就影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的因素而言，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

一是“數(shù)學(xué)是什么”．這既是一個(gè)認(rèn)識(shí)論問題、觀念問題，又是一個(gè)哲學(xué)問題，不同的數(shù)學(xué)家有著不同的表述，這些對(duì)于學(xué)生而言過于深?yuàn)W，尤其是對(duì)中小學(xué)生來說，更是難于理解．盡管如此，數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)該讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科形成正確的認(rèn)知，讓學(xué)生知道，數(shù)學(xué)是一種研究客觀世界的方式，數(shù)學(xué)是從現(xiàn)實(shí)世界抽象出來的；是一種特殊的語(yǔ)言，便于表述與交流．例如，如果沒有1,2,3,…這些“數(shù)”(shù)，就無法表述量的多少，無法表示排名的次序，無法交流相關(guān)的信息；數(shù)學(xué)是一種思維方式，是以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為基礎(chǔ)，具有邏輯嚴(yán)密性的理性思維的方式；物理、化學(xué)這些“有用”的學(xué)科推動(dòng)了數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)科學(xué)又促進(jìn)了物理、化學(xué)等學(xué)科的進(jìn)步……當(dāng)然，這些認(rèn)知是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的，是在潛移默化之中逐步感受、領(lǐng)悟的．

但現(xiàn)實(shí)是，不少學(xué)生將數(shù)學(xué)看成了具體的符號(hào)、公式、定理、概念、題目……沒有對(duì)數(shù)學(xué)形成整體的認(rèn)識(shí)．例如，從小學(xué)到中學(xué)，我們學(xué)習(xí)了大量的數(shù)學(xué)概念，學(xué)生知道概念對(duì)于數(shù)學(xué)的意義嗎？知道建立數(shù)學(xué)概念的必要性嗎？在某些學(xué)生看來，“數(shù)學(xué)是聰明人的智力游戲，就像圍棋和智力測(cè)驗(yàn)”“數(shù)學(xué)是使人在學(xué)校遭受失敗的最壞的課程”[1]，甚至認(rèn)為凡是數(shù)學(xué)卷子上出的題目都是有答案的，于是出現(xiàn)了由綿羊、山羊的只數(shù)計(jì)算船長(zhǎng)年齡的荒唐的事情．

二是數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性．?dāng)?shù)學(xué)是其他科學(xué)的基礎(chǔ)，它推動(dòng)科學(xué)的發(fā)展，改變我們的生活，促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步．沒有數(shù)學(xué)，我們就不會(huì)擁有手機(jī)、計(jì)算機(jī)和微波爐，也不會(huì)有收音機(jī)、電視、CT、GPS(全球衛(wèi)星定位系統(tǒng))．事實(shí)上，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的關(guān)系非常明確，恩格斯說：“數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，雖然這一觀點(diǎn)相對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)而言并不全面，但是它是對(duì)“數(shù)學(xué)是什么”的一種回答，道出了數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)世界又反作用于現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)，說明數(shù)學(xué)內(nèi)容都有著豐富的現(xiàn)實(shí)背景．尤其是數(shù)學(xué)發(fā)展最迅速、數(shù)學(xué)革命與創(chuàng)新成果最突出的16世紀(jì)到19世紀(jì)，以微積分為代表的大批數(shù)學(xué)新領(lǐng)域、新思想將數(shù)學(xué)與應(yīng)用的緊密聯(lián)系充分地凸顯出來了．小平邦彥說：“數(shù)學(xué)被廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、天文學(xué)等自然科學(xué)，簡(jiǎn)直起到了難以想象的作用，而且許多情況說明，自然科學(xué)理論中需要的數(shù)學(xué)在發(fā)現(xiàn)該理論之前，就由數(shù)學(xué)家預(yù)先準(zhǔn)備好了，這是難以想象的現(xiàn)象．”[2]

伽利略曾說“自然之書是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言寫成的”，中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)世界、學(xué)生生活也有著自然而緊密的關(guān)系．比如，速度×?xí)r間=路程，單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，長(zhǎng)×寬=面積……為使這些現(xiàn)實(shí)中的支配法則不僅適用于整數(shù)，也能適用于分?jǐn)?shù)，故確定了分?jǐn)?shù)×分?jǐn)?shù)的規(guī)則．正如牛頓所注意到的那樣，從自然數(shù)的乘法規(guī)則中，僅靠推理是導(dǎo)不出“分?jǐn)?shù)×分?jǐn)?shù)”的規(guī)則的．換句話說，如果在現(xiàn)實(shí)中不存在這樣的法則，就沒有必要特意來確定“分?jǐn)?shù)×分?jǐn)?shù)”的計(jì)算規(guī)則．“先乘除、后加減”的運(yùn)算規(guī)則是大量現(xiàn)實(shí)的規(guī)律總結(jié)．[3]

現(xiàn)行數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)體現(xiàn)得不夠充分，數(shù)學(xué)的應(yīng)用脫離學(xué)生生活實(shí)際，大量的應(yīng)用問題含有太重的人為編制痕跡，遠(yuǎn)遠(yuǎn)落后于現(xiàn)代社會(huì)生活實(shí)際．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)視野太閉塞，學(xué)生所見就是高考題、中考題，很少見到蘊(yùn)含豐富文化價(jià)值的歷史名題，無法從中知道數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的外在推動(dòng)力與內(nèi)在生成力之間的相互作用，更難見到影響人類生活的重大科技發(fā)明背后的數(shù)學(xué)力量．長(zhǎng)此以往，學(xué)生感到的是生活中沒有三角函數(shù)，也沒有解析幾何，更沒有微積分，學(xué)數(shù)學(xué)的意義在哪里？

三是數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)影響我們的思維方式、審美標(biāo)準(zhǔn)和價(jià)值觀念．“數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)”“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)”“數(shù)學(xué)是推理的科學(xué)”“數(shù)學(xué)的最高境界是‘美’”……數(shù)學(xué)的這些特點(diǎn)說明，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以促進(jìn)優(yōu)化思維方式、提升審美能力．例如，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是理性精神，是求真、求善、求美，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)然能夠培養(yǎng)學(xué)生善于質(zhì)疑的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，增強(qiáng)邏輯思辨能力，克服人云亦云、輕言輕信的無知與盲從．?dāng)?shù)學(xué)的辯證思維也會(huì)影響學(xué)生看待自然與社會(huì)的態(tài)度和認(rèn)識(shí)方式，獲得深刻、本質(zhì)、科學(xué)的認(rèn)知．而數(shù)學(xué)知識(shí)本身也為學(xué)生提供了認(rèn)識(shí)世界的工具．綜上所述，數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)使其教學(xué)能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界．

現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)沒能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的這些特點(diǎn)，學(xué)生沒有體驗(yàn)到理性的本質(zhì)，沒有愛因斯坦、霍布斯初見平面幾何定理及證明時(shí)所產(chǎn)生的震撼．即使是證明、推理，也使學(xué)生認(rèn)為只是對(duì)一些顯然的事實(shí)進(jìn)行的例行公事的程式，沒有從中感受到邏輯的力量和數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)——公理化思想．正因?yàn)檫@些原因，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有讓學(xué)生形成理性精神，沒有學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思維方式．

四是數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)影響世界觀、價(jià)值觀，是促使思想革命的武器．?dāng)?shù)學(xué)本身就是一種精神，一種探索精神.這種精神有兩個(gè)要素，即對(duì)理性與完美的追求，千百年來對(duì)人們的世界觀的革命性影響不容低估．?dāng)?shù)學(xué)由于其不可抗拒的邏輯說服力和無可爭(zhēng)辯的計(jì)算準(zhǔn)確性而往往成為思想解放的決定性武器．[4]數(shù)學(xué)中的非歐幾何、群論、分形等就不必說了，就中小學(xué)數(shù)學(xué)而言，負(fù)數(shù)、無理數(shù)、復(fù)數(shù)，就蘊(yùn)含了在理性精神下的數(shù)學(xué)觀的躍遷因子，處理得當(dāng)?shù)脑?，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)觀念甚至世界觀得到極大的提升，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)也就更加深刻．

1.2 影響對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知的因素

毋庸置疑，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知主要是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究的過程中形成的，也受到相關(guān)的流行文化的影響．例如，有些教師在學(xué)生剛進(jìn)入初中的第一節(jié)課上就渲染數(shù)學(xué)如何難；學(xué)生從親友、媒體等獲得有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科的流行觀點(diǎn)……從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看，需要我們通過數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)形成正確的認(rèn)知．為此，必須明確數(shù)學(xué)教學(xué)中影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知的主要因素．

(1)數(shù)學(xué)內(nèi)容與對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知的關(guān)系

不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的內(nèi)容會(huì)對(duì)個(gè)體產(chǎn)生不同的感知，前文述及的愛因斯坦、霍布斯均被歐氏幾何激發(fā)起對(duì)數(shù)學(xué)的激情．無獨(dú)有偶，撰寫《用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言看世界》的日本物理學(xué)家大栗博司回憶說：“在小學(xué)階段并不那么喜歡‘算術(shù)’這門課，不過進(jìn)入中學(xué)后，‘算術(shù)’演變成了‘?dāng)?shù)學(xué)’，我也漸漸愛上了這門學(xué)科．”[5]這些都說明數(shù)學(xué)的不同內(nèi)容對(duì)認(rèn)知個(gè)體在對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知方面所起的作用不完全相同．這并不奇怪，因?yàn)閿?shù)學(xué)的各個(gè)分支研究的對(duì)象不一樣，思想方法不盡相同，與其相對(duì)應(yīng)的現(xiàn)實(shí)原型也不一定一樣，加之認(rèn)知個(gè)體的認(rèn)知風(fēng)格、思維方式及其水平也有差異．也正由于這些原因，數(shù)學(xué)教學(xué)可以通過不同內(nèi)容，不斷豐富、完善學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，使其對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知更加全面、科學(xué)．

相同的數(shù)學(xué)內(nèi)容，教學(xué)的呈現(xiàn)形式、學(xué)習(xí)方式不同，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知效果也有很大差異．將數(shù)學(xué)知識(shí)直接灌輸給學(xué)生的完全接受式學(xué)習(xí)，不揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景、內(nèi)在聯(lián)系、廣泛應(yīng)用，不經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程來讓學(xué)生體驗(yàn)必要性與合理性，知識(shí)學(xué)得再多，也不一定能理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

(2)學(xué)習(xí)過程與對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知的關(guān)系

愛因斯坦對(duì)三角形高的性質(zhì)的學(xué)習(xí)、霍布斯對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)都是自已看到結(jié)論，激發(fā)起好奇心，再試圖弄清原委，進(jìn)行自主探索，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到了數(shù)學(xué)的功能與價(jià)值．

我們的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生認(rèn)知偏差，從而影響對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)態(tài)度，一個(gè)重要的原因就是教學(xué)過程沒有基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，掩蓋了問題的發(fā)現(xiàn)與提出過程，沒有讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的有用性甚至必要性，數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性及由推理所得結(jié)論的可靠性、優(yōu)美性，數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)、形式等的對(duì)稱、簡(jiǎn)潔、和諧和深刻，數(shù)學(xué)思想、思維的深邃、奇妙，也就是沒有讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做到妙趣橫生，讓數(shù)學(xué)課堂引人入勝．特別是將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成了“法則加操作”的機(jī)械、枯燥的模式化套路，數(shù)學(xué)課堂就是由教師不斷地向?qū)W生灌輸大量現(xiàn)成的結(jié)論和題型，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)就不可能產(chǎn)生好感，更不可能形成正確的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系．

盡管我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)內(nèi)容的難易本身對(duì)學(xué)生認(rèn)知數(shù)學(xué)的傾向沒有確定性，對(duì)有的學(xué)生而言，富有挑戰(zhàn)性的問題及其解決過程反而能進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的正向認(rèn)知，但是，超過學(xué)生能力的問題過于集中、頻繁，使得學(xué)生難以享受到成功的喜悅，就會(huì)在“習(xí)得性無助”心理效應(yīng)下，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生負(fù)面的認(rèn)知，從而弱化了自我效能感．

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的后進(jìn)生形成原因還有可能是其心智發(fā)育不成熟．除了智力發(fā)展的高度不同外，其發(fā)展速度也是不一樣的，相同年齡的學(xué)生的智力發(fā)展水平不盡相同，達(dá)到同一高度的年齡有早有晚，一個(gè)時(shí)期的智力發(fā)展?fàn)顟B(tài)并不代表其終極發(fā)展水平的高低．同樣地，相同年齡的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知程度肯定也有差異，而我們的學(xué)生基本是按年齡進(jìn)行分級(jí)的，并且九年義務(wù)教育沒有留級(jí)，要求同一年級(jí)的所有學(xué)生學(xué)習(xí)同樣的內(nèi)容，這不僅給數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后進(jìn)生帶來學(xué)習(xí)上的認(rèn)知困難，也會(huì)給數(shù)學(xué)認(rèn)知水平不高的學(xué)生帶來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的動(dòng)機(jī)、情感方面的障礙．

將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)演變?yōu)樽鰯?shù)學(xué)題目，數(shù)學(xué)教學(xué)演變成解題技能、技巧的講解，這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程必然會(huì)將學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知引向錯(cuò)誤的方向．誠(chéng)然，解題是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特征，但正如著名數(shù)學(xué)家貝爾特拉米所說：“學(xué)生應(yīng)該及早地像數(shù)學(xué)大師那樣去追求和進(jìn)行大量的創(chuàng)造性思考活動(dòng)，而不要讓學(xué)校里那種無休止的練習(xí)把自己的頭腦弄得僵化和貧乏．實(shí)際上，沉溺在許多無益的練習(xí)之中，正好是一種無意義勞動(dòng)掩蓋之下的懶惰，這樣做除了使人消磨意志之外別無其他作用．在偉大的前輩面前去努力創(chuàng)造會(huì)使人堅(jiān)強(qiáng)．”[6]

1.3 學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知的發(fā)展過程

對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知也有其發(fā)展規(guī)律，隨著數(shù)學(xué)內(nèi)容的加深，內(nèi)容本身對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知的深刻性也在增強(qiáng)．這并不是說簡(jiǎn)單、初始的算術(shù)內(nèi)容對(duì)引導(dǎo)學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)認(rèn)知不太重要，恰恰相反，越是低年級(jí)、越是基礎(chǔ)內(nèi)容，越要重視在其學(xué)習(xí)過程中發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知的作用．我們不能讓學(xué)生在很小的時(shí)候就失去對(duì)數(shù)學(xué)的興趣．

例如，幼兒園的小朋友就開始識(shí)數(shù)了，從這時(shí)起他們就開始學(xué)習(xí)建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)模型了．從現(xiàn)狀看，很多教師先寫后讀，用兒歌“1像小棒，2像小鴨子……”記憶寫法，將數(shù)學(xué)概念教學(xué)變成了識(shí)字教學(xué)，能做到有層次地建構(gòu)意義、讀音、符號(hào)的課堂為數(shù)不多，能引導(dǎo)兒童從現(xiàn)實(shí)生活開始，感受需要區(qū)分多與少的必要性，再進(jìn)行抽象，形成數(shù)字概念的更是少見．根據(jù)“認(rèn)知的歷史相似性”原理，我們的祖先形成數(shù)的概念的歷史過程可以借鑒——社會(huì)生活需要記數(shù)，如何刻畫現(xiàn)實(shí)中的物的量，第一次抽象：手指計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)、算籌計(jì)數(shù)、算珠計(jì)數(shù)；第二次抽象：圖形表示(豎線、橫線、點(diǎn))；第三次抽象：羅馬數(shù)字，漢字的一、二、三等，再到阿伯?dāng)?shù)字．如果將其設(shè)計(jì)成游戲性的活動(dòng)課程，既為幼兒所樂意，又讓其經(jīng)歷真實(shí)的數(shù)學(xué)抽象過程，在活動(dòng)中潛移默化地對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生初步的印象：有趣又有用．

皮亞杰指出：“兒童可能正確地完成一種活動(dòng)，如做加法或乘法，但并未真正意識(shí)到其中的過程．對(duì)‘邏輯—數(shù)學(xué)’過程的意識(shí)可能落后于正確的動(dòng)作操作達(dá)六年之久．”[7]他認(rèn)為，“會(huì)做”與“理解”不是一回事，以斯金納或加涅的聯(lián)想或刺激—反應(yīng)模式為基礎(chǔ)完成學(xué)習(xí)任務(wù)的方法所體現(xiàn)的是“會(huì)做”而不是“理解”．因此，面對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)問題時(shí)，他們常有很大的困難．這是一個(gè)值得充分重視的問題：不能理解數(shù)學(xué)，如何產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的正確認(rèn)知？

隨著年齡的增長(zhǎng)，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知會(huì)從感性逐步上升為理性，從有趣、有用作為評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，逐步上升為觀念、精神層面的認(rèn)識(shí)．例如，小學(xué)生多從實(shí)用性、奇妙性的角度認(rèn)知數(shù)學(xué)的功能、價(jià)值與趣味；到了初中，除了保留上述特點(diǎn)外，應(yīng)該逐步地感受數(shù)學(xué)的理趣，從用字母表示數(shù)的應(yīng)用功能到其表述數(shù)學(xué)對(duì)象、數(shù)學(xué)規(guī)律的簡(jiǎn)潔美(如運(yùn)算律a+b=b+a等)，從幾何中的奇妙性質(zhì)到數(shù)學(xué)推理、證明的邏輯之美；再到高中，數(shù)學(xué)對(duì)于變化、運(yùn)動(dòng)的精密刻畫，解析幾何的數(shù)形轉(zhuǎn)換，源于物理又應(yīng)用廣泛的向量，特別是微積分的極限觀點(diǎn)，以及與它們密切相關(guān)的醫(yī)學(xué)、天文、生命科學(xué)……都蘊(yùn)含著體現(xiàn)數(shù)學(xué)的觀念美、思想美和應(yīng)用美的基因；高中階段及后續(xù)學(xué)習(xí)中的復(fù)數(shù)、非歐幾何、群等內(nèi)容，更是人類理性的精神創(chuàng)造，對(duì)幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)的模式觀、結(jié)構(gòu)觀都是非常有益的．

對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知的發(fā)展有幾個(gè)關(guān)鍵的時(shí)段，這幾個(gè)時(shí)段的教學(xué)內(nèi)容影響到學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特點(diǎn)、思想方法和價(jià)值觀的認(rèn)知，從而影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的態(tài)度，因此，這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)通常會(huì)成為學(xué)生成績(jī)分化的關(guān)鍵內(nèi)容點(diǎn)和時(shí)間點(diǎn)．這幾個(gè)時(shí)段的學(xué)習(xí)內(nèi)容分別是：建立數(shù)的概念，第一次進(jìn)行難度較大的數(shù)學(xué)抽象，從而建立算術(shù)思維；用字母表示數(shù)，從具體數(shù)到任意數(shù)，建立代數(shù)思維；平面幾何，圖形抽象、邏輯推理，建立理性思維方式；集合—函數(shù)思想，建立運(yùn)動(dòng)變化觀，從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(微積分初步)，從宏觀到微觀，建立極限思想和無窮觀念．

2 對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知與學(xué)業(yè)成績(jī)之間的關(guān)系

我們知道，影響學(xué)業(yè)成績(jī)的因素很多，主要有以下幾個(gè)方面：智力因素，表現(xiàn)為先天遺傳基因決定的智力及后天習(xí)得的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；情感態(tài)度，即興趣、動(dòng)機(jī)、自我效能感、成就歸因方式等；策略因素，即學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)方法等．所有這些因素最終都可能因?yàn)閷W(xué)習(xí)成績(jī)不佳導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科產(chǎn)生偏見(錯(cuò)誤的認(rèn)知)，使學(xué)習(xí)的動(dòng)力逐漸衰減．因此，考察對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知與學(xué)業(yè)成績(jī)之間的關(guān)系，主要就是考察對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知是如何影響后天習(xí)得的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展、情感態(tài)度的變化及學(xué)習(xí)策略的優(yōu)化的．

2.1 對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知與學(xué)習(xí)熱情、學(xué)習(xí)態(tài)度

影響學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)的因素很多，物質(zhì)獎(jiǎng)勵(lì)、精神表?yè)P(yáng)、對(duì)教師的崇拜……這些因素都是非本質(zhì)的，具有年齡、時(shí)間等局限性，長(zhǎng)期使用就會(huì)逐漸失去功效．態(tài)度可能與先天的素質(zhì)有關(guān)，也可以在后天習(xí)得，即由經(jīng)歷、行為導(dǎo)致．后天習(xí)得的態(tài)度又可以反過來影響其喜好與行為．[8]對(duì)一個(gè)漸漸成熟、理性的學(xué)生而言，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、態(tài)度主要取決于對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的有用性、重要性，也就是價(jià)值的認(rèn)可，只有當(dāng)其覺得所學(xué)學(xué)科、內(nèi)容對(duì)他將來的人生之路有價(jià)值，這種學(xué)習(xí)有必要的情況下，才能保持長(zhǎng)久的興趣與熱情，反之，即使在學(xué)習(xí)也是被動(dòng)的，缺少內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力．在這種狀態(tài)下，智力參與的效度會(huì)降低，從心理層面看，對(duì)數(shù)學(xué)缺少孜孜以求的精神投入．一旦開始憎惡一門學(xué)科，就會(huì)產(chǎn)生雪球效應(yīng)．例如，假設(shè)一個(gè)小學(xué)生出于某種理由開始不喜歡數(shù)學(xué)了，那么他不僅不喜歡數(shù)學(xué)考試，而且對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也沒有興趣，甚至討厭、逃避上數(shù)學(xué)課．不學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)將導(dǎo)致更加糟糕的數(shù)學(xué)成績(jī)，進(jìn)而又會(huì)增加厭惡感．對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知經(jīng)常成為學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)不佳的一種歸因，從而為不愿意學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)尋找一種心理解釋．

事實(shí)上，對(duì)研究?jī)?nèi)容的價(jià)值的認(rèn)識(shí)在精神層面影響個(gè)體的重視度和持續(xù)研究的心理傾向，這從數(shù)學(xué)史上的許多案例中可以得到佐證：歷史上的許多重大發(fā)現(xiàn)的幸運(yùn)兒恰恰就是緣于其充分認(rèn)識(shí)到了研究對(duì)象的巨大價(jià)值．例如，很多著名數(shù)學(xué)家都曾非常接近于微積分的發(fā)現(xiàn)，他們都曾創(chuàng)造了一些極其成功的富于啟發(fā)性的方法，但始終沒有在這些方法的啟發(fā)下構(gòu)思出真正屬于微積分的概念．正如卡諾所說：“……如果想到其中有一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)要完成的話，杰出的幾何學(xué)家，尤其是笛卡爾、帕斯卡、費(fèi)瑪、惠更斯、巴羅、羅伯瓦爾、沃利斯，沒有一個(gè)人做不出這個(gè)發(fā)現(xiàn)的”，問題是他們“看不到要完成的是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)而恰恰又正在完成它……”，自覺地意識(shí)到完成一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)并實(shí)際去完成它的，是牛頓和萊布尼茲．[9]

2.2 對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)方法

對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知包括對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科特征、數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)發(fā)展規(guī)律等的認(rèn)知，也包括數(shù)學(xué)知識(shí)生長(zhǎng)、拓展的規(guī)律和數(shù)學(xué)研究的基本規(guī)范(套路)的認(rèn)知，如果在這些方面形成了正確的認(rèn)知，也就把握了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本規(guī)律，這對(duì)形成好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法是大有裨益的．

例如，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的生長(zhǎng)規(guī)律、數(shù)學(xué)研究的基本套路，在提出背景性問題情境的情況下，就可以自主確定研究?jī)?nèi)容、研究方法和研究過程．具體地，在提出“我們已經(jīng)研究了向量的加減法、數(shù)乘等運(yùn)算，那么，向量可以相乘嗎？”這個(gè)問題后，一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系、數(shù)學(xué)研究方法比較了解的學(xué)生，就會(huì)自己去找物理中具有向量乘法的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的模型(因?yàn)榍懊鎸W(xué)習(xí)的向量知識(shí)都是從物理模型中抽象出來的)，從而找到“功”這個(gè)研究原型，再由此進(jìn)行抽象、概括，形成向量的數(shù)量積的概念；進(jìn)而由數(shù)的運(yùn)算、向量的加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算的研究?jī)?nèi)容(知識(shí)結(jié)構(gòu))確定向量的數(shù)量積的研究?jī)?nèi)容和知識(shí)結(jié)構(gòu)……

幾乎可以這么說，對(duì)數(shù)學(xué)有深刻認(rèn)知的學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是有規(guī)律的，也是比較輕松的，數(shù)學(xué)在他們的眼里并不神秘，他們也從中獲得了一次次成功的享受，而成功的嘗試又使其更加樂于研究數(shù)學(xué)、建構(gòu)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)．

2.3 對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知與數(shù)學(xué)思維策略

“像數(shù)學(xué)家一樣思考”“用數(shù)學(xué)的思維思考世界”，這些都說明數(shù)學(xué)家們研究數(shù)學(xué)問題有一定的思維方式，解決數(shù)學(xué)問題的思維過程也有學(xué)科的特點(diǎn).因此，對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知必定包含對(duì)數(shù)學(xué)思維規(guī)律的認(rèn)知，換言之，對(duì)數(shù)學(xué)有深刻認(rèn)知的人就很容易掌握數(shù)學(xué)思維的規(guī)律：數(shù)學(xué)思想方法和思維策略．

數(shù)學(xué)家的思維總是求簡(jiǎn)單、求統(tǒng)一，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化、結(jié)構(gòu)同化也就成為重要的數(shù)學(xué)思維策略．當(dāng)我們面對(duì)問題“求函數(shù)y=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值”時(shí)，對(duì)于沒有學(xué)習(xí)過導(dǎo)數(shù)的學(xué)生而言應(yīng)該怎樣思考呢？全部展開顯然不可行，因?yàn)?次函數(shù)的最值沒有一般的方法，但是，如果仔細(xì)審視函數(shù)結(jié)構(gòu)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，第1個(gè)因式與最后一個(gè)因式結(jié)合、第2和第3兩個(gè)因式結(jié)合，都會(huì)出現(xiàn)共同的式子x2+3x，于是，原函數(shù)就是y=(x2+3x)2+2(x2+3x)；如果將x2+3x看成一個(gè)整體，用t表示，則原函數(shù)就簡(jiǎn)化為y=t2+2t的形式(下略)．到學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)知識(shí)后，再讓學(xué)生研究這個(gè)問題，又會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生新的震撼：一種更一般化的強(qiáng)大工具，進(jìn)一步感受到了數(shù)學(xué)的力量．

心理學(xué)中有一術(shù)語(yǔ)“內(nèi)隱推論”，是指學(xué)習(xí)和思維是在學(xué)習(xí)者自己對(duì)認(rèn)知所持信念的背景下發(fā)生的，學(xué)生關(guān)于學(xué)習(xí)、思維、能力等問題的內(nèi)隱推論，會(huì)影響他們對(duì)學(xué)習(xí)活動(dòng)的參與方式，也影響他們對(duì)如何取得成功等問題的認(rèn)識(shí)．有的學(xué)生把他們的能力視為一套能夠通過學(xué)習(xí)來提高技能的基礎(chǔ)，并最終影響學(xué)習(xí)和成績(jī)．對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知影響學(xué)習(xí)能力(學(xué)習(xí)技能、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)習(xí)慣)，進(jìn)而影響學(xué)業(yè)成績(jī)正是對(duì)內(nèi)隱推論的最好驗(yàn)證．[10]

3 數(shù)學(xué)教學(xué)如何引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，提高學(xué)業(yè)成績(jī)？

從上文應(yīng)該能夠得到這樣的結(jié)論：對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知深度除了與智力發(fā)展的階段性水平有關(guān)外，教學(xué)行為是主要成因，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該將引導(dǎo)學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)作為基本要求和目標(biāo)，在教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施中予以關(guān)注，正如數(shù)學(xué)家基思·德夫林所說：“我們要糾正這些謠傳(關(guān)于數(shù)學(xué)這門學(xué)科的錯(cuò)誤觀點(diǎn))，為大家(學(xué)生)提供一個(gè)關(guān)于‘?dāng)?shù)學(xué)是什么’的概貌．”[11]

從前面的內(nèi)容可以看出，要使學(xué)生形成良性的數(shù)學(xué)認(rèn)知，就是要揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解“數(shù)學(xué)是什么”；認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值與力量，包括現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值、推動(dòng)社會(huì)發(fā)展與進(jìn)步的價(jià)值和對(duì)學(xué)生思維能力發(fā)展、價(jià)值觀念提升、文化素養(yǎng)提高的育人價(jià)值，以及在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中展現(xiàn)的邏輯的力量；感受數(shù)學(xué)精神：數(shù)學(xué)之理、數(shù)學(xué)之美；享受數(shù)學(xué)過程之樂：數(shù)學(xué)創(chuàng)造、解決數(shù)學(xué)問題時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法、思維策略獲得成功后的精神愉悅等.

3.1 真實(shí)的任務(wù)情境，感受數(shù)學(xué)之用

教學(xué)中的數(shù)學(xué)之用有兩種形式：一是學(xué)過知識(shí)后運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問題，二是在解決實(shí)際問題的過程中建構(gòu)知識(shí)．我們通常比較重視前者而忽視后者．

重視前者時(shí)也要注意，用數(shù)學(xué)知識(shí)解決的問題的真實(shí)性、現(xiàn)實(shí)性及與學(xué)生的生活經(jīng)歷的相關(guān)性對(duì)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值也是有一定影響的.前面所舉例子中，學(xué)生感到的就是數(shù)學(xué)在其自己、身邊人的日常工作、生活中好像沒有用，不像理、化、生等學(xué)科，油鹽醬醋、生活起居都可能與之相關(guān)．

重視后者就是在新知識(shí)教學(xué)前先呈現(xiàn)真實(shí)的任務(wù)，通過提出問題、解決問題的過程建構(gòu)新的知識(shí)體系．這種學(xué)習(xí)過程最有利于激發(fā)好奇心、求知欲，因?yàn)榭墒箤W(xué)生知道這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)非常有用、十分重要．例如，學(xué)習(xí)方程和一元一次方程，就可以先呈現(xiàn)背景問題，如雞兔同籠問題(當(dāng)然也可以是學(xué)生更加熟悉的現(xiàn)實(shí)問題)，從算術(shù)思維向方程思想過渡：先介紹古人的妙法(所有雞抬起一只腳……)，學(xué)生在感慨方法奇妙的同時(shí)會(huì)自嘆弗如；再讓學(xué)生自己想辦法，基于初中生的思維形式和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，可以用逐一嘗試驗(yàn)證的方法；再?gòu)尿?yàn)證的若干式子的共同結(jié)構(gòu)及符合條件時(shí)的約束關(guān)系，運(yùn)用字母表示數(shù)的代數(shù)思想，建立起對(duì)應(yīng)的方程；再通過對(duì)方程的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)的分析建構(gòu)方程、一元一次方程的概念．

情境應(yīng)有挑戰(zhàn)性，否則起不到激發(fā)起“數(shù)學(xué)有用”的認(rèn)知的作用(當(dāng)然，也應(yīng)該是學(xué)生力所能及的，在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的問題)．

貼近學(xué)生生活的情境是最適合的：用數(shù)學(xué)觀察生活、解釋生活是形成“數(shù)學(xué)有用”認(rèn)知的目的所在．

3.2 完整的建構(gòu)過程，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

只有經(jīng)歷完整的發(fā)現(xiàn)、提出問題，分析、解決問題的過程，才能在得到知識(shí)的同時(shí)理解數(shù)學(xué)本質(zhì)．從上面的例子可以看出，對(duì)學(xué)生而言，在經(jīng)歷了完整的問題解決過程后建構(gòu)起的方程的概念，已經(jīng)不是作為定義所表述的數(shù)學(xué)知識(shí)，而是理解了其本質(zhì)的數(shù)學(xué)知識(shí)，知道了為什么要引入方程概念、方程的實(shí)質(zhì)是什么(將要求的量用字母表示后得到的等式，由這個(gè)等式就可以解決問題)、方程方法好在什么地方(算術(shù)方法要奇巧；逐一嘗試太麻煩；方程方法能普適)．有了這樣的體驗(yàn)，怎么會(huì)不喜歡數(shù)學(xué)呢？

3.3 自然的思維過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想

“從天上掉下來的思路”會(huì)讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)思維太難，需要智力與靈感，這其實(shí)是不正確的．我們完全可以讓思維過程更顯自然．

上題中探索解題思路的“特例分析”法是一種重要的數(shù)學(xué)思維策略，是特殊化思想方法的運(yùn)用．有了這種自然的思路探索過程，學(xué)生就會(huì)產(chǎn)生這樣的認(rèn)知：數(shù)學(xué)解題的思維過程是有規(guī)律的、自然的．

3.4 雋永的數(shù)學(xué)經(jīng)典，欣賞數(shù)學(xué)之美

中小學(xué)數(shù)學(xué)中的不少內(nèi)容是數(shù)學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容，其教學(xué)價(jià)值非常豐富．例如，勾股定理，源頭在哪里？怎么想到的？為什么要證明？還能得到什么？所有這些問題都深刻影響著學(xué)生的數(shù)學(xué)觀．

中國(guó)古代“勾三股四弦五”是構(gòu)造“直”的工具．古埃及人測(cè)量土地需要研究幾何圖形，特別是最簡(jiǎn)單的三角形．三角形研究的就是其邊、角關(guān)系．最簡(jiǎn)單的三角形之一是直角三角形．研究直角三角形有助于處理一般的三角形(轉(zhuǎn)化)．直角三角形的邊之間的關(guān)系(可以直接給出，因?yàn)槠涮剿鬟^程對(duì)學(xué)生來說難度過大)．探索證明這個(gè)關(guān)系對(duì)任意的直角三角形都成立．用勾股定理求得的邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)不能寫成兩個(gè)整數(shù)之比．將勾股定理中的指數(shù)推廣到大于2的自然數(shù)，就是著名的費(fèi)瑪大定理．依據(jù)這些素材可以設(shè)計(jì)出很精彩的課，能夠回答上面提出的幾個(gè)重要問題，并促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造、數(shù)學(xué)審美得到充分的認(rèn)識(shí)，同時(shí)，也能增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值的體驗(yàn)．

事實(shí)上，好的數(shù)學(xué)教學(xué)就應(yīng)該努力促進(jìn)學(xué)生逐步提升對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知，理解數(shù)學(xué)的意蘊(yùn)，從而理解數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提升學(xué)習(xí)的內(nèi)在動(dòng)力，提高學(xué)習(xí)效果．