思想引領(lǐng) 感悟方法 學(xué)會思考
——以2022年新高考I卷第18題為例

張文海

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215151)

2022年全國高考的大幕已經(jīng)落下，但它給我們留下了很多的思考，也給我們今后的教學(xué)指引了方向．從學(xué)生考后的反應(yīng)來看，普遍覺得新高考數(shù)學(xué)I卷整體難度較大，主要體現(xiàn)在思維能力要求高、運(yùn)算能力要求強(qiáng)．哪怕在一些常規(guī)知識版塊，如第18題三角題，一些學(xué)生由于在平時復(fù)習(xí)中只是一味地刷題，而不注重從思想上感悟解題方法，導(dǎo)致在考場上無從下手，或者未能快速準(zhǔn)確地解答，給學(xué)生的考試心理造成了很大的困擾，影響了整場考試水平的發(fā)揮．

能夠在限定的時間內(nèi)快速地找到解題突破口，需要我們在平時的復(fù)習(xí)中注意分析條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，在思想的引領(lǐng)下整體把握問題，理解問題的本質(zhì)，在一般思維方法引導(dǎo)下尋找解題思路，才能提升自己分析問題、解決問題的能力，真正提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．[1]

分析 此題是解三角形的綜合題，雖然條件簡潔、問題明確，但涉及的知識點(diǎn)較多，有正弦定理、余弦定理、兩角和差公式、倍角公式、基本不等式的應(yīng)用等，主要考查學(xué)生對條件的分析轉(zhuǎn)化能力、合理選用公式的能力、推理論證的能力．

1 方程思想

方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立起方程(組)，然后通過解方程(組)使問題得到解決的思維方式．

2 轉(zhuǎn)化化歸思想

轉(zhuǎn)化化歸思想就是將數(shù)學(xué)命題由一種形式向另一種形式變換，把待解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題．轉(zhuǎn)化與化歸的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的思想方法，堪稱數(shù)學(xué)思想的精髓所在，常包括抽象轉(zhuǎn)化為具體、復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過變換迅速而合理地尋找和選擇問題解決的途徑和方法．

2.1 “角”間轉(zhuǎn)化

本題題干條件(*)中出現(xiàn)的是2B，而第(1)題要求的是B的大小．從轉(zhuǎn)化思想的角度，我們就應(yīng)該想到利用二倍角公式將2B轉(zhuǎn)為B，再根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)逆用兩角差的余弦公式進(jìn)行化簡即可．

2.2 “名”間轉(zhuǎn)化

2.3 “邊角”間轉(zhuǎn)化

3 減元思想

減元思想是指減少問題中變量的個數(shù)，將多元變量問題轉(zhuǎn)化為一元變量問題，其實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化與化歸思想．最值問題常見的處理方法有幾何法和代數(shù)法，解答題常用代數(shù)法，包括函數(shù)法和不等式法．第(2)題通過邊角轉(zhuǎn)化后，化為關(guān)于角的函數(shù)最值問題，目標(biāo)函數(shù)包含三個變量A,B,C，變量個數(shù)偏多，從減元思想的角度出發(fā)，只要找到幾個變量間的關(guān)系，將三元函數(shù)減為一元函數(shù)，就可以解決問題．

3.1 根據(jù)“角”之間的關(guān)系減元

3.2 根據(jù)“函數(shù)值”之間的關(guān)系減元

目標(biāo)式中涉及三個變量sinA,sinB,sinC，要想將它們減元到一個變量，除了尋找三個角A,B,C之間的關(guān)系外，也可以直接尋找sinA, sinB,sinC之間的關(guān)系式，然后進(jìn)行減元處理．

4 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想注重“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題與幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維與形象思維有機(jī)結(jié)合.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學(xué)問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又提示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，尋求解題思路，使問題得到快速解決．

4.1 構(gòu)造直角三角形，尋找邊角關(guān)系

高中學(xué)習(xí)了正余弦定理之后，我們運(yùn)用定理可以處理斜三角形的問題，但如果在其中特殊的三角形——直角三角形中，尋找邊角之間的關(guān)系會更為簡便，故從數(shù)形結(jié)合思想的角度聯(lián)想可以構(gòu)造直角三角形，幫助我們快速尋找邊角間的關(guān)系式．

圖1

4.2 利用相似三角形，尋找邊間關(guān)系

由兩個三角形相似可以得到邊之間的比例關(guān)系，從而據(jù)此可以進(jìn)行邊之間的轉(zhuǎn)化和化歸，減少變量的個數(shù)，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理．

圖2

本題中的三角形可以構(gòu)造子母三角形，此類模型在2021年全國I卷第19題曾經(jīng)考查過.這就要求我們在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中，對于經(jīng)典高考試題要舍得花時間去研究，要抓住問題本質(zhì)特征，提煉數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)方法，方能觸類旁通，舉一反三．

(2021年全國I卷19題)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c．已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC．(1)證明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

圖3

5 反思與啟示

本題蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)思想方法，從不同的思想視角出發(fā)，可以尋找到不同的處理方法，對學(xué)生來講就是一種數(shù)學(xué)能力和內(nèi)隱的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．要想讓學(xué)生在考場上站得高、看得遠(yuǎn)，就需要我們在平時的教學(xué)中緊緊圍繞數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題的具體結(jié)構(gòu)，全方位、多角度地觀察和理解問題，通過數(shù)學(xué)思想來溝通知識間的聯(lián)系，進(jìn)行有效追問，揭示問題、方法的本質(zhì)，追求一般的思維方法，挖掘方法背后的思想，發(fā)揮思想的統(tǒng)領(lǐng)作用，最終使學(xué)生能夠從數(shù)學(xué)思想方法的視角出發(fā)，分析和解決問題，并使之成為學(xué)生思考和解決問題的一種自覺習(xí)慣．[2]

教育部考試中心主編的《高考數(shù)學(xué)測量理論與實(shí)踐(2007年版)》，針對高考對學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想方法及應(yīng)用能力的考查要求，對中學(xué)比較重要的思想和方法進(jìn)行了層次劃分和系統(tǒng)歸類，將數(shù)學(xué)思想和方法分為三大類.第一類：數(shù)學(xué)思想方法，主要包括函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想、算法的思想．這些都是高考必考的重要數(shù)學(xué)思想方法.第二類：數(shù)學(xué)思維方法，主要包括分析法、綜合法、歸納法、演繹法、觀察法、實(shí)驗(yàn)法、特殊化方法等.第三類：數(shù)學(xué)方法，主要指應(yīng)用面較窄的具體方法，如配方法、換元法、待定系數(shù)法等具體的解題方法．[3]這三類之間的關(guān)系可以用這樣一句話概括，就是在問題解決過程中人們利用第二類數(shù)學(xué)思維方法，在第一類數(shù)學(xué)思想方法的指引下采用第三類具體的數(shù)學(xué)方法解決問題．簡單來說，方法是“術(shù)”，思想是“道”！思想是方法的上位，具有指導(dǎo)意義．

在解題過程中要突出以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，分析和研究問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思想方法對發(fā)現(xiàn)解題途徑的定向、聯(lián)想和轉(zhuǎn)化功能．[4]在解題過程中或者解題結(jié)束后還要不斷地總結(jié)、歸納解題方法，并加以提煉上升到數(shù)學(xué)思想的高度，這一過程學(xué)生很難自發(fā)實(shí)現(xiàn)，需要教師的引導(dǎo)和幫助.這也正好體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的教師是引導(dǎo)者、合作者的角色．