基于卡爾曼濾波重構(gòu)GRACE-FO姿態(tài)數(shù)據(jù)

梁磊，閆易浩，王長青，朱紫彤，高銘，鐘敏，于錦海，徐煥

1 中國科學院精密測量科學與技術(shù)創(chuàng)新研究院大地測量與地球動力學國家重點實驗室,武漢 430077 2 地理信息工程國家重點實驗室，西安 710054 3 中山大學物理與天文學院，廣東珠海 519082 4 中山大學測繪科學與技術(shù)學院，廣東珠海 519082 5 中國科學院大學地球與行星科學學院，北京 100049

0 引言

GRACE-FO（GRACE Follow-On）是GRACE（Gravity Recovery and Climate Experiment）的后續(xù)衛(wèi)星，于2018年5月22日成功發(fā)射（Kornfeld et al.,2019）.二者是同類型衛(wèi)星，通過精確測量兩顆衛(wèi)星之間的距離反演地球時變重力場模型，研究地球質(zhì)量變化（Tapley et al.,2004）.GRACE-FO相較于GRACE而言除了搭載K波段微波測距系統(tǒng)外，還首次實現(xiàn)了激光干涉測距，實現(xiàn)了以nm級的精度測量兩顆衛(wèi)星之間的距離（Goswami et al.,2021）.GRACE與GRACE-FO的數(shù)據(jù)產(chǎn)品分為Level-0、Level-1A、Level-1B和Level-2，其中Level-0至Level-1B稱為載荷數(shù)據(jù)處理，Level-1B至Level-2稱為時變重力場反演（Wu et al.,2006;Case et al.,2010;Wen et al.,2019）.

在載荷數(shù)據(jù)處理過程中，GNSS（Global Navigation Satellite System）接收機、加速度計和星間測距等數(shù)據(jù)處理與姿態(tài)數(shù)據(jù)有關(guān)，主要為：第一個是計算KBR（K-Band Ranging）天線相位中心改正和GNSS天線相位中心改正，將測量的信息改正到衛(wèi)星質(zhì)心上；第二個是將加速度計（ACC，Accelerometer）測量的非保守力轉(zhuǎn)換到慣性坐標系；第三個是標定KBR天線相位中心位置和衛(wèi)星質(zhì)心位置；第四個是評估激光測距系統(tǒng)的耦合噪聲.姿態(tài)數(shù)據(jù)誤差會通過這四個方面?zhèn)鬟f到重力場模型中，例如Inácio等（2015）分析GRACE星間距變率殘差與KBR天線相位中心改正時，指出姿態(tài)誤差占總誤差的18%左右；Horwath等（2011）通過KBR天線相位中心改正，指出姿態(tài)誤差導致了星間指向存在偏差，通過對姿態(tài)誤差進行建模提高了重力場模型解算精度；Wegener等（2020）通過姿態(tài)數(shù)據(jù)評估了激光反射棱鏡交點與衛(wèi)星質(zhì)心不重合對激光測距的影響.因此確定高精度的重力衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù)是原始載荷數(shù)據(jù)處理的重要內(nèi)容之一.

GRACE與GRACE-FO均搭載了星敏感器和慣性測量單元測量衛(wèi)星的姿態(tài)，但二者又有較大區(qū)別.對于GRACE而言，每顆衛(wèi)星上均搭載了兩顆星敏感器和一個三軸的慣性測量單元.星敏感器固定安裝于衛(wèi)星左右兩個面上，三軸的慣性測量單元固定安裝于衛(wèi)星的內(nèi)部.然而，在發(fā)射之初GRACE-A星的慣性測量單元一個軸出現(xiàn)故障，未有冗余觀測量，GRACE-B星的慣性測量單元僅在備份模式下開啟（Bandikova,2015），所以兩顆衛(wèi)星均未有IMU的測量數(shù)據(jù)，因此GRACE衛(wèi)星姿態(tài)主要由星敏感器提供.受日月光照的影響GRACE只有一顆星敏感器或者無星敏感器測量衛(wèi)星姿態(tài)，從而導致衛(wèi)星姿態(tài)精度降低或出現(xiàn)大量間斷.借鑒于GRACE上的經(jīng)驗，GRACE-FO在設(shè)計之初采用了三顆星敏感器和一個四軸光纖陀螺儀設(shè)計方案.相較于GRACE而言，三顆星敏感器設(shè)計方案減少了姿態(tài)數(shù)據(jù)間斷，并且較多的時間存在兩顆星敏感器測量衛(wèi)星的姿態(tài)，部分時間有三顆星敏感器測量衛(wèi)星姿態(tài)；四軸光纖陀螺儀具有更好的測量性能，固定安裝于衛(wèi)星的內(nèi)部，同時整個科學任務(wù)階段均可觀測（Kornfeld et al.,2019）.

融合多個載荷數(shù)據(jù)，提高最終數(shù)據(jù)產(chǎn)品處理精度，是目前數(shù)據(jù)處理常用的方法.對于GRACE而言，除了星敏感器測量衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù)外，加速度計可以同步測量衛(wèi)星的角加速度數(shù)據(jù)，融合星敏感器數(shù)據(jù)和角加速度數(shù)據(jù)，可以提高姿態(tài)數(shù)據(jù)精度，彌補星敏感器數(shù)據(jù)的缺失，減少姿態(tài)數(shù)據(jù)間斷.例如Klinger（2018）在反演重力場模型時，首先基于最小二乘配置法融合了這兩類數(shù)據(jù)，構(gòu)建了高精度的姿態(tài)數(shù)據(jù)產(chǎn)品；Goswami等（2018）組合了星敏感器與角加速度計數(shù)據(jù)，提高了姿態(tài)數(shù)據(jù)產(chǎn)品的精度；官方機構(gòu)JPL（Jet Propulsion Laboratory）基于Kalman濾波融合了這兩類數(shù)據(jù)，發(fā)布了RL03版本的姿態(tài)數(shù)據(jù)（Harvey and Sakumura,2019）.GOCE衛(wèi)星是另一顆用于地球重力場研究的衛(wèi)星，其上搭載了引力梯度儀，測量地球引力梯度數(shù)據(jù)，可同步獲得測量頻段內(nèi)的角加速度.由于在處理梯度數(shù)據(jù)時，需要改正的離心力項與衛(wèi)星的角速度是非線性關(guān)系（Stummer et al.,2011;Pail,2005；郭澤華等，2021；趙宇鵬等，2021），這就需要高精度的姿態(tài)信息，由此需要融合星敏感器和梯度儀測量的角加速度數(shù)據(jù).例如Cesare等（2008）在時域上通過Kalman濾波融合了這兩類數(shù)據(jù)；Stummer等（2011）和郭澤華等（2021）在頻率域上，基于Wiener濾波融合了這兩類數(shù)據(jù).對于GRACE-FO而言，星敏感器和IMU是測量衛(wèi)星姿態(tài)的主要載荷，其中星敏感器對姿態(tài)的低頻部分敏感，IMU對姿態(tài)的高頻部分敏感，融合這兩類數(shù)據(jù)可以獲得高精度的姿態(tài)數(shù)據(jù).在時域上進行數(shù)據(jù)融合具有一定的便利性，可以同步評估IMU的漂移參數(shù)，彌補微小的間斷，因此本文選擇在時域下進行星敏感器數(shù)據(jù)與IMU數(shù)據(jù)融合.

關(guān)于姿態(tài)Kalman濾波，Lefferts等（1982）基于狀態(tài)變量（四元數(shù)和陀螺儀的漂移參數(shù)）的一階導形式構(gòu)建了姿態(tài)Kalman濾波算法，此時在計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程時，其形式了變成了Riccati方程；Trawny和Roumeliotis（2005）與Lefferts方法類似，只是推導過程將Riccati方程變成級數(shù)形式.目前關(guān)于這種方法尚未有研究應(yīng)用于實際的GRACE-FO數(shù)據(jù)處理中.Harvey和Sakumura（2019）將角速度近似處理轉(zhuǎn)換成四元數(shù)形式微小變化量作為Kalman濾波的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并基于此方法解算了GRACE和GRACE-FO的姿態(tài)數(shù)據(jù)，這種近似處理過程理論上具有一定的瑕疵.本文將以四元數(shù)和陀螺儀的漂移參數(shù)作為狀態(tài)變量，直接構(gòu)建另一種姿態(tài)Kalman濾波融合算法，處理GRACE-FO的姿態(tài)數(shù)據(jù).鑒于此，本文開展了GRACE-FO高精度的姿態(tài)數(shù)據(jù)處理的研究.在本文的第1節(jié)是介紹星敏感器處理算法、IMU處理算法和姿態(tài)Kalman濾波算法；第2節(jié)是分析姿態(tài)數(shù)據(jù)處理結(jié)果；第3節(jié)是評估姿態(tài)數(shù)據(jù)產(chǎn)品對時變重力場的影響；第4節(jié)是結(jié)論和總結(jié).

1 理論方法

GRACE-FO搭載的三顆星敏感器和IMU記錄的時標是OBC（Onboard Computer）時標，首先需要利用TIM1B和CLK1B數(shù)據(jù)將OBC時標改正到GPS（Global Position System）時標上.其次對2 Hz采樣的多星敏感器數(shù)據(jù)進行組合并降采樣至1 Hz，然后通過姿態(tài)Kalman濾波與8 Hz采樣的IMU數(shù)據(jù)進行融合，輸出1 Hz姿態(tài)數(shù)據(jù)產(chǎn)品.下面分別介紹星敏感器數(shù)據(jù)處理、IMU數(shù)據(jù)處理和姿態(tài)Kalman濾波算法，其中星敏感器數(shù)據(jù)處理和IMU數(shù)據(jù)處理中的詳細細節(jié)可參考Yang等（2022）.

1.1 星敏感器數(shù)據(jù)處理

星敏感器測量的噪聲具有各向異性的特點，即繞垂直于星敏感器視軸方向旋轉(zhuǎn)的精度要比繞視軸方向旋轉(zhuǎn)的精度大約高8～10倍（Bandikova and Flury,2014;Stanton,2000）.由于在重力場反演過程中，需要的是SRF （Science Reference Frame）坐標系下的衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù).為此，需要將星敏感器坐標系下測量的四元數(shù)轉(zhuǎn)換到SRF坐標系中，其中星敏感器坐標系與SRF的之間的轉(zhuǎn)換矩陣（即星敏感器安裝矩陣）記錄于QSA1B或者SOE文件中.轉(zhuǎn)換過程可看成是一個線性組合的形式，繞星敏感器視軸旋轉(zhuǎn)的精度低會傳遞到繞科學坐標系Y軸和Z軸旋轉(zhuǎn)中，導致繞這兩個軸旋轉(zhuǎn)的精度降低.融合多個星敏感器數(shù)據(jù)可以降低這一影響.目前，多星敏感器融合主要有兩種方法.第一種是根據(jù)星敏感器測量的噪聲構(gòu)建權(quán)陣，通過加權(quán)的形式融合多星敏感器數(shù)據(jù)（Romans，2003）.第二種是利用星敏感器的視軸構(gòu)建一個共同參考框架融合多星敏感器數(shù)據(jù)（Mandea et al.,2010）.這兩種方法均已用于多種衛(wèi)星，例如CHAMP（Challenging Minisatellite Payload）、GRACE、GRACE-FO和GOCE（Gravity field and steady-state Ocean Circulation Explorer）（Bandikova and Flury,2014;Siemes,2011;Stummer et al.,2011）.對于這兩種方法而言，融合后的姿態(tài)數(shù)據(jù)精度基本一致（Bandikova,2015）.本文選擇使用第一種方法，融合多個星敏感器的測量值，相關(guān)算法具體參考Romans（2003）.

四元數(shù)運算有別于實數(shù)運算，需要采用合適的插值算法保證插值后的姿態(tài)具有很好的光滑性.本文采用單位四元素插值樣條曲線對四元數(shù)進行插值，保證插值后的衛(wèi)星姿態(tài)具有二階導連續(xù)特點（邢燕等，2017），具體公式為

1.2 慣性測量單元數(shù)據(jù)處理

GRACE-FO的慣性測量單元是由4個四面體形式的光纖陀螺組成，每個光纖陀螺在其自身的陀螺儀框架下記錄濾波角（filtered angle），采樣率為8 Hz（Wen et al.,2019）.由于IMU記錄的每個軸采樣時刻并不一致，需要對每個軸的時間進行統(tǒng)一.IMU記錄的濾波角的范圍是從-5758°到5758°，當記錄到5758°時自動調(diào)整到-5758°開始，或與之相反.然而這導致對濾波角進行數(shù)值差分計算角速度時，存在異常情況，需要對異常情況進行處理.對于數(shù)值差分計算，為了保證數(shù)值差分計算的精度，本文選擇使用Diebel（2006）的方法，具體形式如下：

（1）

由于IMU測量存在冗余觀測，需要對冗余觀測量進行處理，根據(jù)Jafari（2015）指出同時融合冗余觀測量，可以提高角速度的精度，處理方法如下：

ω=（HTH）-1HTm，

（2）

其中，H4×3是一個轉(zhuǎn)換矩陣，表示的是4個光纖陀螺儀測量軸在IMU坐標系下的矢量，記錄于GRACE-FO Level-1A數(shù)據(jù)使用手冊中（Wen et al.,2019），m是陀螺儀的角速度測量值，ω是IMU坐標系下角速度.

1.3 姿態(tài)Kalman濾波方法

四元數(shù)運動方程可寫成如下形式（秦永元，2014）：

（3）

其中q是四元數(shù)矢量，其運算法則按照附錄A的形式計算，ω=[ωx,ωy,ωz]，對四元數(shù)微分方程組（3）按照角增量的形式進行求解，省略中間求解過程，可得：

q（t+1）=Φ（ωΔt）q（t），

（4）

其中

（5）

（6）

陀螺儀的噪聲模型可以寫成如下的形式（Lefferts et al.,1982）

（7）

E[εω]=0，

（8）

E[εω（t1）,εω（t2）]=Q1（t）δ（t1-t2），

（9）

（10）

（11）

δ是克萊羅符號，Q1與Q2是相應(yīng)的協(xié)方差.將公式（7）代入到公式（4）中，可以寫成

（12）

（13）

將公式（12）和（13）代入到公式（4）中，有

X（t+1）=f（t,X（t））+G（t）W（t），

（15）

那么f（t,X（t））可以寫成如下形式：

（16）

根據(jù)附錄公式（A3），G（t）W（t）可以寫成

（17）

對公式（17）進行泰勒展開，保留線性形式有

（18）

（19）

四元數(shù)的觀測方程來源于星敏感器，有

Z（t）=HX（t）+vk，

（20）

其中H=[I，0]，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以寫成

（21）

基于擴展Kalman濾波，姿態(tài)Kalman濾波算法過程按照以下五步進行：

第一步：狀態(tài)預(yù)測方程

（22）

第二步：協(xié)方差矩陣預(yù)測

P（t+1|t）=Φ（t+1|t）P（t|t）ΦT（t+1|t）+Q（t+1）；

（23）

第三步：計算姿態(tài)Kalman濾波增益

K（t+1）=P（t+1|t）HT（t+1）[H（t+1）P（t+1|t）×HT（t+1）+R（t+1）]-1

（24）

第四步：狀態(tài)更新

（25）

第五步：協(xié)方差更新

P（t+1）=[I-K（t+1）H（t+1）]P（t+1|t）.

（26）

2 結(jié)果分析

為了對處理后的姿態(tài)數(shù)據(jù)的精度進行評估，本文將與JPL發(fā)布的GRACE-FO Level-1B姿態(tài)產(chǎn)品進行對比分析，即SCA1B數(shù)據(jù).對比分析的方法主要為星間指向（inter-satellite pointing）和衛(wèi)星角速度矢量.星間指向為KBR天線相位中心矢量與LOS（Light of Sight）矢量的偏差并用角來表示，其中LOS為兩顆衛(wèi)星質(zhì)心之間的連線方向上的矢量通過軌道數(shù)據(jù)計算（Bandikova et al.,2012;Bandikova，2015）.星間指向主要是用于衛(wèi)星在軌運行期間，監(jiān)測兩顆衛(wèi)星的對準情況，是判斷是否需要進行在軌控制的依據(jù).由于直接計算慣性坐標系下衛(wèi)星的姿態(tài)角，會受到較大值的影響難以展示相關(guān)細節(jié)，因此為了便于直觀展示解算的最終結(jié)果，本文采用星間指向進行對比分析.衛(wèi)星角速度矢量用于評估融合后的姿態(tài)數(shù)據(jù)在中高頻部分是否完全融合了IMU信息.

星間指向計算過程如下：

（27）

（28）

求解的φ、θ和ψ即為星間指向上的偏差角.

由于官方機構(gòu)并未公布Level-0數(shù)據(jù)，僅公布了Level-1A和Level-1B數(shù)據(jù)，因此本文將從Level-1A數(shù)據(jù)出發(fā)構(gòu)建GRACE-FO的姿態(tài)數(shù)據(jù).本文選擇以2019年1月1日的數(shù)據(jù)為例，對星敏感器數(shù)據(jù)處理以及與IMU數(shù)據(jù)進行姿態(tài)Kalman濾波融合，并對濾波后的結(jié)果進行對比分析.

2.1 星間指向

首先選擇2019年1月1日中三顆星敏感器同時存在觀測數(shù)據(jù)的時間段進行分析.單個星敏感器解算的衛(wèi)星姿態(tài)結(jié)果如圖1所示，其中SCA1、SCA2和SCA3表示星敏感器的編號（Kornfeld et al.,2019）.從星間指向的Yaw方向可見，即圖1中第一行，三個星敏感器的時間序列變化并不一致但基本維持在±1×10-3rad之間，從功率譜上看三個星敏感器在高頻部分的精度基本一致.從星間指向的Pitch方向可見，即圖1中第二行，三個星敏感器的時間序列變化基本維持在±1×10-3rad之間，并且SCA2和SCA3基本一致且有較多毛刺，而SCA1變化更加平滑.從功率譜上看SCA2和SCA3在高頻部分的精度基本一致，而SCA1具有更低的高頻噪聲.這主要是由于SCA1安裝在衛(wèi)星的天頂方向，星敏感器視軸方向剛好與科學坐標系的Z軸平行，而SCA2和SCA3安裝在衛(wèi)星左右兩個面方向上，從星敏感器坐標系轉(zhuǎn)換到SRF坐標系過程中，受到繞視軸旋轉(zhuǎn)不精確的影響傳遞到Pitch方向上.從星間指向的Roll方向可見，即圖中第三行，三個星敏感器的時間序列變化趨勢基本一致，從功率譜上看三個星敏感器在高頻部分精度處于同一水平.

融合多個星敏感器計算的星間指向的結(jié)果如圖2所示，其中SCA12、SCA13、SCA23和SCA123表示融合不同的星敏感器，例如SCA12表示融合SCA1和SCA2兩個星敏感器，SCA123表示融合SCA1、SCA2和SCA3三個星敏感器.從星間指向的Yaw、Pitch和Roll方向的時間序列可見，三個時間序列的變化趨勢基本一致.從功率譜上看，與圖1中的功率譜對比可見，融合多個星敏感器可以提高高頻部分的精度，并且融合三顆星敏感器解算的姿態(tài)的高頻部分的精度要略優(yōu)于融合兩顆星敏感器的結(jié)果.此外，從星間指向的Pitch方向可發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象，融合不同星敏感器計算的Pitch角存在一個偏差，最大相差約3.0×10-4rad.我們檢查了相應(yīng)的計算流程，發(fā)現(xiàn)QSA1B中記錄的星敏感器坐標系與SRF坐標系的轉(zhuǎn)換四元數(shù)僅提供了地面標定值，未提供在軌標定值.對比GRACE的SOE文件可見，在GRACE入軌后進行了數(shù)次在軌標定，提供了相應(yīng)的星敏感器坐標系與SRF坐標系轉(zhuǎn)換四元數(shù).目前，由于缺少相關(guān)的遙測數(shù)據(jù)，無法驗證這樣的偏差是否來源于QSA1B，因此在本文的后續(xù)處理過程中，暫不考慮這樣的微小偏差影響.

融合星敏感器數(shù)據(jù)與IMU數(shù)據(jù)解算衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù)，其中首先對星敏感器數(shù)據(jù)進行融合并降采樣至1 Hz，然后再與8 Hz的IMU數(shù)據(jù)進行姿態(tài)Kalman濾波融合，在姿態(tài)Kalman濾波過程中僅保留整數(shù)秒的姿態(tài)數(shù)據(jù).融合后的衛(wèi)星姿態(tài)數(shù)據(jù)結(jié)果如圖2所示，其中APM表示本文所處理的姿態(tài)數(shù)據(jù)結(jié)果，JPL表示官方機構(gòu)解算的結(jié)果.從星間指向的時間序列上看，Yaw、Pitch和Roll的時間序列趨勢變化基本一致，僅在Pitch方向上存在一個小的偏差，約為0.6 mrad.從功率譜看上基本一致，僅在截尾部分（即0.2～0.5 Hz處）JPL略低，這里將在后面進一步分析.

圖1 單個星敏感器解算的衛(wèi)星姿態(tài)（a） 左列是星間指向的時間序列，（b） 右列是對應(yīng)的功率譜，其中第一至三行分別表示星間指向的Yaw、Pitch和Roll三個方向.Fig.1 Satellite attitude calculated by a single star camera（a） The left plots are the time series of inter-satellite pointing,and （b） the right plots are the corresponding amplitude spectral density,where the first to third rows represent the Yaw,Pitch,and Roll directions of the inter-satellite pointing,respectively.

圖2 融合多個星敏感器解算的衛(wèi)星姿態(tài)（a） 左列是星間指向的時間序列，（b） 右列是對應(yīng)的功率譜，其中第一至三行分別表示星間指向的Yaw、Pitch和Roll三個方向.Fig.2 Satellite attitude calculated by fusing multiple star cameras（a） The left plots are the time series of inter-satellite pointing,and （b） the right plots are the corresponding amplitude spectral density,where the first to third rows represent the Yaw,Pitch,and Roll directions of the inter-satellite pointing,respectively.

圖3 星間指向的分析（a） 左列表示相應(yīng)星間指向的時間序列，（b） 右列表示相應(yīng)的功率譜，其中第一至三行分別表示星間指向的Yaw、Pitch和Roll三個方向.Fig.3 Analysis of inter-satellite pointing（a） The left plots are the time series of inter-satellite pointing,and （b） the right plots are the corresponding amplitude spectral density,where the first to third rows represent the Yaw,Pitch,and Roll directions of the inter-satellite pointing,respectively.

圖4 衛(wèi)星角速度矢量的分析（a） 左列表示時間序列，（b） 右列表示相應(yīng)的功率譜，其中第一至三行分別表示ωx、ωy和ωz三個方向.Fig.4 Analysis of satellite angular velocity vector（a） The left plots are the time series of inter-satellite pointing,and （b） the right plots are the corresponding amplitude spectral density,where the first to third rows represent the ωx,ωy,and ωz.

圖5 慣性坐標系下非保守力的比較（a） 左列表示APM與JPL姿態(tài)產(chǎn)品計算的非保守力差異的時間序列，（b） 右列是相應(yīng)的功率，其中第一行至第三行分別表示慣性坐標系下X，Y和Z方向.Fig.5 Comparison of non-conservative forces in an inertial coordinate system（a） The left plots represent the time series of non-conservative force differences calculated by the APM and JPL attitude data,（b） the right plots represent the corresponding amplitude spectral density,where the first to third rows represent the X,Y,and Z directions of the inertial coordinate system.

圖6 KBR天線相位中心改正變率（a） 時間序列;（b） 相對應(yīng)的功率譜.Fig.6 KBR antenna phase correction rate（a） The time-series;（b） The corresponding amplitude spectral density.

圖7 時變重力場模型的階方差（a） 2018年6月;（b） 2019年3月.Fig.7 The degree variance of the time-variable gravity field model（a） The June 2018;（b） The March 2019.

圖8 質(zhì)量變化等效水高（a） 2018年6月；（b） 2019年3月.Fig.8 The equivalent water height for mass change（a） June 2018；（b） March 2019.

2.2 衛(wèi)星角速度

利用公式（3）計算衛(wèi)星的角速度驗證進行比較，結(jié)果如圖4所示.圖4中APM、JPL和IMU1B分別表示本文解算的結(jié)果、官方機構(gòu)結(jié)果和IMU測量的角速度.APM-IMU1B、JPL-IMU1B分別表示APM和 JPL計算的角速度與IMU1B測量值的差異.為了更好的展示細節(jié)，在圖4的左列中僅展示了2019年1月1日前10000秒的時間序列，其中相對應(yīng)的功率譜則使用完整的一天數(shù)據(jù)進行計算.從圖4的時間序列可見，{ωx,ωy,ωz}變化趨勢基本一致，APM與IMU1B的差異在三個軸的標準差分別為1.89×10-7rad·s-1，1.56×10-7rad·s-1，1.63×10-7rad·s-1，JPL與IMU1B的差異在三個軸的標準差分別為6.09×10-7rad·s-1，3.62×10-7rad·s-1，4.01×10-7rad·s-1，可見APM相較于JPL而言精度至少提高了3倍，具有更高的精度.從功率譜上看，APM、JPL和IMU1B變化基本一致，但是從與IMU1B產(chǎn)品的差異上看，APM在0.004～0.2 Hz上具有更低的噪聲，特別在0.01～0.1 Hz相較于JPL而言噪聲水平低一個量級左右，即圖中青色虛線低于品紅色虛線.換句話說本文所解算的姿態(tài)數(shù)據(jù)充分融合IMU1B數(shù)據(jù)，具有更低的噪聲水平.在截尾部分（即0.2～0.5 Hz處）可見，APM與JPL都有明顯的下降趨勢，這與濾波所選取的截止頻率有關(guān).

3 對時變重力場的影響

正如引言所述，姿態(tài)數(shù)據(jù)主要通過非保守力轉(zhuǎn)換和KBR天線相位中心改正影響重力場模型解算精度.因此，本節(jié)將對比分析APM和JPL姿態(tài)數(shù)據(jù)對非保守力轉(zhuǎn)換以及KBR天線相位中心改正的影響，并進一步反演時變重力場模型分析姿態(tài)數(shù)據(jù)對時變重力場模型精度的影響.時變重力場反演的過程及等效水高計算過程本文參考Liang等（2021）、梁磊等（2019）和Zhou等（2018）.

計算慣性坐標系下非保守力的結(jié)果如圖5所示.由于只需要評估APM與JPL姿態(tài)數(shù)據(jù)計算慣性坐標系下非保守力的差異，因此在圖5左列中的時間序列只展示了轉(zhuǎn)換后的非保守力的差異，在圖5的右列中展示了JPL與APM轉(zhuǎn)換后的非保守力及其差異的功率譜.對圖5中的時間序列進行統(tǒng)計，結(jié)果如表1所示.從圖5左列的時間序列和表1可見，通過APM和JPL姿態(tài)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換后的非保守力差異的標準差在10-10m·s-2左右，非保守力差異的均值在X和Y軸的方向為10-11m·s-2左右，在Z軸的方向均值差異為4.61×10-10m·s-2，也就是說在6 h積分弧長上，非保守力的差異累積不超過2 cm，低于定軌精度.從圖5右列的功率譜上看高頻部分的差異主要受姿態(tài)數(shù)據(jù)的影響，低頻部分主要是集中于1CPR和2CPR.對于1CPR和2CPR的低頻信號，在重力場反演過程中可看成是低頻誤差（Liang et al.,2021;Kim,2000;Zhao et al.,2011;Zhou et al.,2018,2019），通過低頻誤差處理或者加速度標定進行吸收，并不影響重力場模型解算精度.

表1 轉(zhuǎn)后非保守力差異的標準差和均值Table 1 Standard deviation and mean of the non-conservative force difference

由于在反演重力場過程中，主要使用的是星間距變率作為觀測值，因此這里僅計算KBR天線相位中心改正變率進行分析，計算方法參考Bandikova（2015），結(jié)果如圖6所示.從圖中可見，KBR天線相位中心改正的時間變率量級在10-9m·s-1左右，遠低于KBR測距精度1 μm·s-1的要求，因此KBR天線相位中心改正的時間變率對重力場反演影響很小.此外，可見GRACE-FO對兩顆衛(wèi)星的對準情況要求要更為嚴格.

選取2018年6月和2019年3月數(shù)據(jù)反演時變重力場模型進行比較，其中反演重力場過程中只考慮姿態(tài)數(shù)據(jù)的差異，其他數(shù)據(jù)則使用JPL Level-1B產(chǎn)品.反演時變重力場模型的階方差和等效水高結(jié)果如圖7—8所示.從圖7可見，反演時變重力場模型的階方差基本一致.圖8表示的是兩個模型計算的等效水高差異，從圖中可見在全球范圍內(nèi)利用APM與JPL姿態(tài)數(shù)據(jù)計算的等效水高基本一致，僅在GRACE-FO任務(wù)開始階段（2018年6月），在質(zhì)量變化較大的亞馬遜流域上有略微差異，約占最大信號的5%左右，進入到任務(wù)穩(wěn)定時期（2019年3月），計算的全球等效水高基本一致.

4 結(jié)論

本文研究了GRACE-FO姿態(tài)數(shù)據(jù)Level-1A至Level-1B的處理算法及其對時變重力場的影響.首先根據(jù)GRACE-FO載荷設(shè)計特點，從四元數(shù)運動微分方程出發(fā)，以四元數(shù)和陀螺儀漂移參數(shù)為狀態(tài)變量，構(gòu)建了一種新的姿態(tài)Kalman濾波融合算法.然后以GRACE-FO數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，分析了單個星敏感及多星敏感器組合對衛(wèi)星姿態(tài)解算的影響，可見融合多星敏感器數(shù)據(jù)可以抑制高頻部分的噪聲.另外，星敏感器數(shù)據(jù)之間的偏差可能來源于官方機構(gòu)未提供在軌標定的星敏感器安裝矩陣，需要進一步利用遙測數(shù)據(jù)進行分析驗證.最后基于本文推導的姿態(tài)Kalman濾波算法，處理實際的GRACE-FO Level-1A數(shù)據(jù)，從星間指向和角速度矢量可見，本文解算的姿態(tài)數(shù)據(jù)充分發(fā)揮了IMU載荷的性能，具有更低的噪聲水平，優(yōu)于JPL解算的結(jié)果.

對時變重力場模型精度的影響，本文首先分析了姿態(tài)數(shù)據(jù)對轉(zhuǎn)換后的非保守力和KBR天線相位中心改正的影響.從轉(zhuǎn)換后的非保守力看，本文解算的姿態(tài)數(shù)據(jù)與JPL的姿態(tài)數(shù)據(jù)引起的差異在10-10m·s-2左右，從KBR天線相位中心改正上看，本文解算的姿態(tài)數(shù)據(jù)與JPL的姿態(tài)數(shù)據(jù)計算的KBR天線相位中心改正變率量級在10-9m·s-1，遠低于KBR星間變率1 μm·s-1的精度要求.進一步解算了2018年6月和2019年3月的時變重力場進行比較，從階方差和等效水高差異上看，本文解算的姿態(tài)數(shù)據(jù)與JPL的姿態(tài)數(shù)據(jù)對時變重力場模型的精度影響很小.總的來說，本文構(gòu)建了一種的新的姿態(tài)Kalman濾波算法，解算的姿態(tài)數(shù)據(jù)充分發(fā)揮了IMU的性能精度優(yōu)于JPL，但對時變重力場模型解算精度的影響很小，目前限制時變重力場模型的精度主要來源于其他誤差.

致謝感謝GFZ網(wǎng)站提供的GRACE-FO Level-1A和Level-1B數(shù)據(jù)（ftp:∥isdcftp.gfz-potsdam.de/grace-fo/）.感謝審稿專家對本文提出的寶貴修改意見.

附錄A 四元數(shù)的定義和運算

稱q=q0+q1i+q2j+q3k為一個四元數(shù)，其中q0,q1,q2,q3∈R，i,j,k是不同的虛數(shù)單位，滿足i2=j2=k2=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j.四元數(shù)也可以表示成（q0,q1,q2,q3），其中q0是標量.

令任意三個四元數(shù)為q=（q0,q1,q2,q3），p=（p0,p1,p2,p3）和s=（s0,s1,s2,s3），那么四元數(shù)的運算法則定義如下.

加法：

q±p=（q0±p0,q1±p2,q1±p2,q1±p2），

（A1）

點乘：

q·p=q0p0+q1p1+q2p2+q3p3，

（A2）

乘法：

s=qp,

（A3）

共軛：

（A4）

模：

（A5）

若‖q‖=1，則稱q是單位四元數(shù).

逆：

（A6）

單位四元數(shù)三角函數(shù)形式及指數(shù)形式：

q=cosθ+nsinθ，

（A7）

其中n∈S2為單位矢量.