基于改進(jìn)GM(1,1)模型的牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量預(yù)測方法

黃旗，孫立軍，張國學(xué)，王巖，吳艷瑋，顧生杰

(1.中國鐵路蘭州局集團(tuán)有限公司蘭州供電段，甘肅 蘭州 730000；2.蘭州交通大學(xué) a.光電技術(shù)與智能控制教育部重點實驗室; b.甘肅省軌道交通電氣自動化工程實驗室，甘肅 蘭州 730070)

近年來，隨著我國高速鐵路發(fā)展，鐵路牽引網(wǎng)上的負(fù)載功率越來越大，早期建設(shè)的牽引網(wǎng)的載流能力低，牽引網(wǎng)的載流能力將成為鐵路進(jìn)一步增容的瓶頸。國家鐵路總公司明確指出在加快牽引網(wǎng)建設(shè)的同時，要提高現(xiàn)有牽引網(wǎng)的輸送能力。牽引網(wǎng)的輸送能力與牽引網(wǎng)導(dǎo)線的載流量有關(guān)，而導(dǎo)線的載流量受限于導(dǎo)線的最大允許溫度[1]。現(xiàn)有牽引網(wǎng)導(dǎo)線的載流量是在保守的氣象條件下計算的[2](風(fēng)速0.5 m/s、風(fēng)入射角90°、環(huán)境溫度40 ℃和光照強(qiáng)度1 000 W/m2)，但這種氣象條件組合出現(xiàn)的幾率非常小，使?fàn)恳W(wǎng)導(dǎo)線載流量的計算結(jié)果偏于保守，降低了牽引網(wǎng)導(dǎo)線的容量利用率。

國外學(xué)者Davis首次提出了動態(tài)熱定值(dynamic thermal rating, DTR)的概念[3-5]，DTR是根據(jù)導(dǎo)線所處的地理氣候條件和導(dǎo)線參數(shù)實時動態(tài)確定導(dǎo)線載流量的技術(shù)，在確保線路安全的前提下，DTR技術(shù)能夠提高導(dǎo)線的輸送能力，對滿足日益增長的電力負(fù)荷要求具有重要的理論和現(xiàn)實意義[6-7]。

文獻(xiàn)[8-12]分析了牽引網(wǎng)輸電導(dǎo)線載流量計算模型和計算方法，其中：文獻(xiàn)[8]基于牽引網(wǎng)多導(dǎo)體傳輸線數(shù)學(xué)模型，給出了考慮回流電路影響的接觸網(wǎng)載流量計算方法；文獻(xiàn)[9]在研究接觸網(wǎng)導(dǎo)線載流量的基礎(chǔ)上給出牽引網(wǎng)導(dǎo)線選型方法；文獻(xiàn)[10]分析導(dǎo)線溫度的徑向分布對載流量的影響；文獻(xiàn)[11]提出一種輸電導(dǎo)線等效散熱暫態(tài)測量模型用于評估導(dǎo)線的載流量；文獻(xiàn)[12]對比分析了導(dǎo)線載流量的國內(nèi)外研究現(xiàn)狀。

上述研究成果均注重載流量的計算模型和方法的研究，然而，在牽引網(wǎng)負(fù)荷調(diào)度過程中，通常需要對牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量進(jìn)行預(yù)測。針對牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量預(yù)測的研究報道較少。文獻(xiàn)[13]分析了改進(jìn)灰色模型(grey model，GM)的預(yù)測方法；文獻(xiàn)[14]采用基于分位數(shù)回歸的預(yù)測方法；文獻(xiàn)[15]采用基于奇異值分解的混沌預(yù)測方法?；疑A(yù)測要求樣本數(shù)據(jù)少，不用考慮樣本的分布情況和變化趨勢，具有原理簡單、實現(xiàn)方便、預(yù)測結(jié)果精度高、可檢驗性強(qiáng)等優(yōu)點，因而得到了廣泛的應(yīng)用[16]。GM(1,1)模型是灰色預(yù)測的核心模型，除了具有上述優(yōu)點外，還存在模型比較單一、背景值不準(zhǔn)確、預(yù)測誤差大等缺點[17]，因此需要對GM(1,1)模型進(jìn)行改進(jìn)，以提高預(yù)測精度。

基于上述分析，本文以牽引網(wǎng)導(dǎo)線為研究對象，利用改進(jìn)的GM(1,1)模型[18-19]對牽引網(wǎng)導(dǎo)線的載流量進(jìn)行預(yù)測。在載流量預(yù)測過程中，改進(jìn)算法主要集成了原始數(shù)據(jù)平滑處理法、原始數(shù)據(jù)新陳代謝法以及傅里葉殘差修正法。仿真結(jié)果驗證了所提改進(jìn)GM(1, 1)模型預(yù)測牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量的有效性。

1 牽引網(wǎng)導(dǎo)線的電熱耦合關(guān)系

牽引網(wǎng)導(dǎo)線可以看成一個均勻的導(dǎo)體，其在工作過程中，導(dǎo)線電流產(chǎn)生焦耳熱，導(dǎo)線吸收太陽輻射能量的同時，以輻射散熱和對流散熱的方式向周圍環(huán)境散發(fā)熱量。當(dāng)導(dǎo)線電流變化或者周圍環(huán)境參數(shù)變化時，導(dǎo)線從一個平衡狀態(tài)過渡到另一個平衡狀態(tài)，其溫度變化的過程稱為暫態(tài)熱平衡過程。

牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流產(chǎn)生焦耳熱，使導(dǎo)線溫度升高，進(jìn)而使導(dǎo)線的電阻發(fā)生變化，由此影響牽引網(wǎng)的潮流。牽引網(wǎng)導(dǎo)線的電熱耦合關(guān)系如圖1所示。

圖1 牽引網(wǎng)導(dǎo)線電熱耦合關(guān)系

根據(jù)IEEE 738-2013標(biāo)準(zhǔn)[20]，牽引網(wǎng)導(dǎo)線暫態(tài)熱平衡方程為

(1)

式中：M為單位長度導(dǎo)線的質(zhì)量，kg/m；Cp為導(dǎo)線材料的比熱容，J/(kg·℃)；I為導(dǎo)線電流，A；R(T)為單位長度導(dǎo)線在溫度為T時的交流電阻，Ω；qs為單位長度導(dǎo)線日照輻射吸熱功率，W/m；qc為單位長度導(dǎo)線對流散熱功率，W/m；qr為單位長度導(dǎo)線輻射散熱功率，W/m。

I2R(T)+qs-qc-qr=0.

(2)

對流散熱功率、輻射散熱功率以及太陽輻射吸熱功率與牽引網(wǎng)所處環(huán)境因素有關(guān)，IEEE 738-2013標(biāo)準(zhǔn)對其進(jìn)行了詳細(xì)的說明。

導(dǎo)線電阻與導(dǎo)線溫度有關(guān)，導(dǎo)線溫度越高電阻越大，二者之間滿足

R(T)=Ra[1+αl(T-Ta)].

(3)

式中：Ta為參考環(huán)境溫度，℃(取20 ℃)；Ra為參考環(huán)境溫度下單位長度導(dǎo)線電阻，Ω/m；αl為導(dǎo)線的電阻溫度系數(shù)，℃-1。

當(dāng)牽引網(wǎng)導(dǎo)線溫度達(dá)到允許長時間工作的最大溫度Tmax時，對應(yīng)的導(dǎo)線電流為牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量Imax，

(4)

2 基于GM(1,1)模型的預(yù)測方法

該方法通過灰色模型建模，生成關(guān)于原始數(shù)據(jù)序列的微分方程，求解微分方程的過程能夠削弱離散數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。在灰色預(yù)測中，GM(1, 1)是最常見的基本預(yù)測模型，該模型的實質(zhì)是構(gòu)建單變量的一階微分方程模型。

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列x0={x0(1),x0(2), …,x0(n) }，定義原始數(shù)據(jù)的級比序列σ={σ(2),σ(3), …,σ(n)}，其中級比序列元素定義為

(5)

如果任意級比元素滿足

(6)

則原始數(shù)據(jù)序列x0可用于灰色預(yù)測，否則不能進(jìn)行預(yù)測。式(6)為原始數(shù)據(jù)序列的可用性判據(jù)。

當(dāng)有級比序列元素不滿足式(6)時，需要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。處理方法是將原始數(shù)據(jù)序列元素x0(k)分別加同一固定值，變成新的數(shù)據(jù)序列

x0m={x0(1)+m,x0(2)+m,…,x0(n)+m}.

(7)

針對新的數(shù)據(jù)序列，利用式(5)和式(6)進(jìn)行可用性判斷，直至滿足可用性判據(jù)。利用滿足可用性判據(jù)的新數(shù)據(jù)序列進(jìn)行預(yù)測，得出預(yù)測結(jié)果。由于原始數(shù)據(jù)序列元素都增大了定值m，所以最終的預(yù)測結(jié)果需要整體減去m。

2.1 灰色生成

根據(jù)某種設(shè)定的規(guī)則對原始數(shù)據(jù)序列x0中的數(shù)據(jù)逐一進(jìn)行變換處理，這個變換過程稱為“灰色生成”?；疑赡軌蛟鰪?qiáng)原始數(shù)據(jù)序列的規(guī)律性，弱化其隨機(jī)性?；疑墒腔疑A(yù)測模型的基礎(chǔ)。

灰色生成的方法有累加生成、累減生成、均值生成和級比生成[21]。累加生成后的數(shù)據(jù)序列呈近似指數(shù)增長規(guī)律[22]，使數(shù)據(jù)序列更光滑，減少序列隨機(jī)性，并使原始數(shù)據(jù)序列蘊(yùn)含的規(guī)律信息充分顯露。因此本文采用累加的方法對原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行處理。

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)過1次累加生成的序列為x1={x1(1),x1(2), …,x1(n)}。x1中的任意元素x1(k)為原始數(shù)據(jù)序列中x0(1)—x0(k)的和，即

(8)

灰色導(dǎo)數(shù)

d(k)=x0(k)=x1(k)-x1(k-1).

(9)

2.2 經(jīng)典灰色模型

設(shè)z1={z1(2),z1(3), …,z1(n)}為鄰值生成序列。z1中任意元素

z1(k)=αx1(k-1)+(1-α)x1(k),

k=2,3,…,n.

(10)

式中：z1(k)為GM(1, 1)模型的背景值；α為背景值參數(shù)。常規(guī)的GM(1, 1)模型中，α通常取0.5，則在常規(guī)GM(1, 1)模型中，背景值

(11)

定義灰色模型的微分方程為

d(k)+az1(k)=b,k=2,3,…,n.

(12)

式中：a為發(fā)展系數(shù)；b為灰色作用量。由式(9)、(12)可得

x0(k)+az1(k)=b,k=2,3,…,n.

(13)

發(fā)展系數(shù)a反映了原始數(shù)據(jù)序列以及1次累加生成序列的發(fā)展趨勢?；疑饔昧縝是從背景中挖掘出來的數(shù)據(jù)，反映了數(shù)據(jù)變化的關(guān)系。

Y=Bu.

(14)

式(14)包含n-1個方程和2個未知數(shù)，方程的數(shù)量大于未知數(shù)的數(shù)量，方程無解。采用最小二乘法估計a和b的最優(yōu)值，即

(15)

(16)

(17)

稱式(17)為GM(1, 1)模型的白微分方程。解式(17)得出x1(k+1)的預(yù)測值

(18)

(19)

3 灰色GM(1,1)模型的改進(jìn)

3.1 原始數(shù)據(jù)序列平滑處理

受人為、儀器以及通信等因素的影響，有的原始數(shù)據(jù)偏差較大，如果不進(jìn)行處理將導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果產(chǎn)生較大偏差。對原始數(shù)據(jù)做平滑處理能夠減少隨機(jī)性，增強(qiáng)規(guī)律性。

原始數(shù)據(jù)序列平滑處理的公式為：

(20)

原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)平滑處理后，生成新的數(shù)據(jù)序列y0={y0(1),y0(2),…,y0(n)}, 以此代替x0作為GM(1, 1)的灰色預(yù)測原始序列。

3.2 基于傅里葉級數(shù)的殘差修正方法

采用傅里葉級數(shù)對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行殘差修正能夠削弱預(yù)測結(jié)果中的噪聲，挖掘潛在的規(guī)律性，進(jìn)一步提高模型預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性。具體方法如下。

首先建立常規(guī)灰色模型，計算出預(yù)測數(shù)據(jù)序列為

(21)

計算殘差

(22)

建立殘差序列

F={f(2),…,f(k),…,f(n)}.

(23)

將f(k)寫成傅里葉變換形式：

(24)

令：

F′=[f(2) …f(k) …f(n)]T，

(25)

G=[a0a1b1…aNbN]T，

(26)

(27)

于是有

F′=GM.

(28)

利用最小二乘法求得：

G=(MTM)-1MTF′.

(29)

令：

(30)

R={r(1),r(2),…,r(n)}.

(31)

R為經(jīng)傅里葉殘差修正后得出的預(yù)測數(shù)據(jù)序列。

3.3 新陳代謝數(shù)據(jù)更新方法

隨著時間的推移，時間較早的數(shù)據(jù)對預(yù)測點的預(yù)測結(jié)果貢獻(xiàn)不大，所以應(yīng)該剔除時間較早的原始數(shù)據(jù)，引入新的數(shù)據(jù)。具體實現(xiàn)方法如下。

針對原始數(shù)據(jù)序列，預(yù)測1個時間間隔的數(shù)據(jù)，預(yù)測結(jié)果序列為

(32)

更新后的原始數(shù)據(jù)序列為

(33)

以更新后的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行下一個時間間隔的預(yù)測。依此類推，不斷地進(jìn)行新陳代謝，直到達(dá)到預(yù)測時間。

4 載流量預(yù)測方法的實現(xiàn)流程

牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量預(yù)測實現(xiàn)流程如圖2所示。

圖2 牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量預(yù)測實現(xiàn)流程

5 算例分析

5.1 算例條件

對牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量影響較大的環(huán)境因素主要有風(fēng)速和環(huán)境溫度。所以本算例以牽引網(wǎng)所處地區(qū)風(fēng)速和環(huán)境溫度的歷史記錄作為原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，其他環(huán)境參數(shù)取固定值。風(fēng)速和環(huán)境溫度的歷史記錄見表1，牽引網(wǎng)導(dǎo)線和其他固定環(huán)境參數(shù)見表2。以某日10:10—11:10的風(fēng)速和環(huán)境溫度作為歷史記錄，預(yù)測11:20—12:10的牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量。以11:20—12:10的風(fēng)速和環(huán)境溫度記錄計算的牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量作為預(yù)測結(jié)果的檢驗。

表1 風(fēng)速和環(huán)境溫度歷史記錄

表2 環(huán)境參數(shù)固定值及導(dǎo)線參數(shù)

5.2 原始數(shù)據(jù)平滑處理

根據(jù)表1和表2，分別計算牽引網(wǎng)導(dǎo)線的載流量，并對計算的載流量進(jìn)行平滑處理。導(dǎo)線載流量平滑處理前后對比結(jié)果如圖3所示。

由圖3可知，平滑處理后的數(shù)據(jù)波動幅度小于實際數(shù)據(jù)，更具有規(guī)律性。故以平滑后的數(shù)據(jù)作為建模的原始數(shù)據(jù)序列更合適。

圖3 平滑處理前后對比

5.3 常規(guī)灰色模型仿真分析

采用常規(guī)GM(1, 1)模型對牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖4所示。

圖4 常規(guī)GM(1,1)模型載流量預(yù)測結(jié)果

由圖4看出常規(guī)灰色模型的預(yù)測結(jié)果趨于1條單調(diào)遞增的直線。常規(guī)模型的預(yù)測結(jié)果偏差較大。

5.4 基于傅里葉級數(shù)的殘差修正

采用傅里葉級數(shù)法對常規(guī)GM(1, 1)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行殘差修正，經(jīng)修正后的預(yù)測結(jié)果如圖5所示。傅里葉級數(shù)是周期性函數(shù)，在修正過程中使預(yù)測值獲得周期的信號頻域響應(yīng)，進(jìn)而消除噪聲；從長期預(yù)測角度看，殘差修正具有非常好的穩(wěn)定性，對長期預(yù)測適用性更強(qiáng)。

圖5 經(jīng)殘差修正的載流量預(yù)測結(jié)果

5.5 原始數(shù)據(jù)序列的新陳代謝法

在采用GM(1, 1)模型進(jìn)行牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量預(yù)測過程中，引入原始數(shù)據(jù)序列新陳代謝環(huán)節(jié)，預(yù)測結(jié)果如圖6所示。

圖6 原始數(shù)據(jù)序列新陳代謝后的載流量預(yù)測結(jié)果

采用新陳代謝法更新原始數(shù)據(jù)序列后，預(yù)測結(jié)果與實際數(shù)據(jù)擬合度相較于常規(guī)模型的擬合度更高。主要是因為在原始數(shù)據(jù)新陳代謝過程中剔除了早期的原始數(shù)據(jù)，引入了新預(yù)測的數(shù)據(jù)，使原始數(shù)據(jù)始終保持與預(yù)測時間點最近，從而提高了預(yù)測精度。

5.6 新陳代謝法與傅里葉殘差法組合改進(jìn)分析

新陳代謝法能夠更新原始數(shù)據(jù)序列，傅里葉殘差修正法能夠消除預(yù)測結(jié)果中的噪聲，使預(yù)測結(jié)果更穩(wěn)定。新陳代謝法與傅里葉級數(shù)殘差修正法并不沖突，在常規(guī)GM(1, 1)模型中引入新陳代謝法和傅里葉級數(shù)殘差修正法能起到優(yōu)勢互補(bǔ)的作用。仿真結(jié)果如圖7所示。

圖7 GM(1,1)模型綜合改進(jìn)后的載流量預(yù)測結(jié)果

綜合利用新陳代謝法和傅里葉殘差修正法改進(jìn)GM(1, 1)模型的預(yù)測結(jié)果幾乎接近實際數(shù)據(jù)，比單純使用一種優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化的結(jié)果擬合度更高。

6 結(jié)論

本文以牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量為研究對象，提出了基于改進(jìn)GM(1, 1)模型的導(dǎo)線載流量預(yù)測方法。具體結(jié)論如下：

a) 牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量易受地理氣候因素影響，應(yīng)根據(jù)牽引網(wǎng)所處地理氣候條件動態(tài)計算牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量，增加導(dǎo)線容量利用率。

b) 以常規(guī)GM(1, 1)模型為基礎(chǔ)，集合原始數(shù)據(jù)平滑處理、新陳代謝以及傅里葉殘差修正法的優(yōu)點于一體，解決了常規(guī)GM(1, 1)模型預(yù)測誤差偏大的問題。

牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量預(yù)測方法為牽引網(wǎng)導(dǎo)線的計算提供了一定思路。但地理氣候參數(shù)的準(zhǔn)確性對預(yù)測結(jié)果有一定的影響，下一步可研究不依賴地理氣候條件的牽引網(wǎng)導(dǎo)線載流量計算及預(yù)測方法。