基于極值理論的軌道不平順?lè)逯党薰芾硌芯?/h1>

2022-12-02 12:10:10汪健輝李晨鐘馮曉云王青元

鐵道學(xué)報(bào)訂閱 2022年11期 收藏

關(guān)鍵詞：帕累托平順實(shí)測(cè)值

何 慶，汪健輝，李晨鐘，利 璐，馮曉云，王青元

(1.西南交通大學(xué) 高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；2.中鐵二院華東勘察設(shè)計(jì)有限責(zé)任公司，浙江 杭州 310000；3.西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031)

近年來(lái)，高速鐵路的快速發(fā)展對(duì)軌道平順性提出了新的要求。軌道平順性對(duì)行車安全、乘坐舒適性、軌道壽命及環(huán)境噪聲等具有重要影響[1]。軌道不平順的峰值超限可能會(huì)引起列車的爬軌和脫軌，對(duì)行車安全構(gòu)成極大危害[2-3]，同時(shí)也是各國(guó)現(xiàn)有線路養(yǎng)護(hù)維修常用的基本評(píng)價(jià)指標(biāo)[4]。

目前，國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者均對(duì)軌道不平順的管理值標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了研究。吳旺青[5]通過(guò)分析仿真模型，提出了秦沈?qū)＞€試驗(yàn)段軌道不平順建議管理值；李明華等[6]建立了整車模型并求解運(yùn)動(dòng)方程，探索并給出時(shí)速300 km線路高低不平順閾值；張媛等[7]基于數(shù)據(jù)分類，利用仿真數(shù)據(jù)獲得不同速度等級(jí)下不平順?lè)逯蛋踩蜻吔?。以上研究?duì)影響軌道平順性的控制因素進(jìn)行了詳細(xì)分析，但針對(duì)鐵路養(yǎng)護(hù)維修基礎(chǔ)性工作的鐵路峰值超限風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值以及峰值管理值的合理性研究并不多見(jiàn)。超限風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值VaR指在一定置信水平和未來(lái)某段時(shí)期內(nèi)的最大可能損失，廣泛應(yīng)用于金融風(fēng)險(xiǎn)管理并正逐漸向其他行業(yè)擴(kuò)展[8]。運(yùn)用于鐵路中是對(duì)軌道不平順?lè)逯党揎L(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的評(píng)估，在給定的顯著水平下，線路在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)可能出現(xiàn)的最大峰值。

大量研究表明，基于峰值過(guò)閾值法模型的極值理論方法在描述數(shù)據(jù)分布的尾部特征方面更具優(yōu)勢(shì)，側(cè)重于關(guān)注超限數(shù)據(jù)序列分布，充分考慮了所有較大實(shí)測(cè)值出現(xiàn)的可能，能更客觀地反映工程實(shí)際，是一種相對(duì)準(zhǔn)確的分位數(shù)分析方法和預(yù)測(cè)工具[9-13]。針對(duì)軌道不平順?lè)逯党薮嬖诘皖l高損、數(shù)據(jù)稀疏的特點(diǎn)，本文采用極值理論中的峰值過(guò)閾值法(Peaks Over Threshold)模型[14]，根據(jù)一定規(guī)則選取閾值，對(duì)歷史檢測(cè)值超過(guò)閾值數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，運(yùn)用廣義帕累托分布(Generalized Pareto Distribution)[15]研究并確定新樣本序列分布函數(shù)，將既有峰值標(biāo)準(zhǔn)不同等級(jí)的容許偏差管理值視為損失值來(lái)反推超限概率P，以此來(lái)評(píng)價(jià)既有峰值管理標(biāo)準(zhǔn)的合理性。本文結(jié)合西部某高鐵軌檢車實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)該方法的可行性和有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 峰值過(guò)閾值法模型

與一般的模型不同，峰值過(guò)閾值法模型主要研究超過(guò)設(shè)定閾值的數(shù)據(jù)樣本，觀察該類序列的數(shù)值大小及總體分布特征。對(duì)于軌檢車實(shí)測(cè)值序列X，假設(shè)u為閾值，超過(guò)閾值u的樣本個(gè)數(shù)為nu，F(xiàn)(x)為分布函數(shù)。峰值過(guò)閾值法模型分析的是在X>u的條件下，超限值yi=X-u(i=1,2,…,nu)的條件分布函數(shù)Fu(y)為

Fu(y)=P(X-u≤y|X>u)y≥0

(1)

式中：P為條件概率；nu確定時(shí)y即為yi。

由式(1)可得：

(2)

將式(2)變形可得

F(x)=Fu(y)(1-F(u))+F(u)X≥u

(3)

Balkema-de Haan定理表明[12,15]，對(duì)足夠大的閾值u，超限值yi近似服從于廣義帕累托分布Gξ,σ(y)，則

(4)

超限值的概率密度函數(shù)gξ,σ(y)為

(5)

因此，對(duì)于給定的一個(gè)軌檢車實(shí)測(cè)值序列{x1,x2,…,xn}，對(duì)數(shù)似然函數(shù)L(ξ,σ|y)可表示為

(6)

2 參數(shù)估計(jì)

由上述計(jì)算可知，對(duì)閾值u、尺度參數(shù)σ和形狀參數(shù)ξ的正確估計(jì)是建立峰值過(guò)閾值法模型的關(guān)鍵。根據(jù)反復(fù)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，閾值u的選取直接關(guān)系到能否準(zhǔn)確估計(jì)尺度參數(shù)及形狀參數(shù)。過(guò)大的閾值，會(huì)導(dǎo)致超限樣本數(shù)量太少，從而影響分布函數(shù)的估計(jì)；過(guò)小的閾值，則無(wú)法保證超限數(shù)據(jù)的收斂性導(dǎo)致參數(shù)估計(jì)的偏差過(guò)大[12]?；谲墮z車實(shí)測(cè)值序列的特點(diǎn)，本文依據(jù)超限期望圖來(lái)確定閾值u[11,13]。

廣義帕累托分布在形狀參數(shù)ξ<1時(shí)，其超限期望函數(shù)e(m)為線性函數(shù)，可表示為

(7)

平均余值函數(shù)e(u)為

(8)

式中：nu=max{i|yi}。

由式(7)可知，若樣本具有厚尾分布特征，即可認(rèn)為其服從ξ<1的廣義帕累托分布，則其期望余值為u的線性函數(shù)。因此，可以根據(jù)實(shí)測(cè)軌檢車數(shù)據(jù)得出超限期望圖，通過(guò)選取充分大的臨界值u0,使得當(dāng)X≥u0時(shí)e(x)為近似線性函數(shù)作為確定閾值的依據(jù)[12]。同時(shí)，可以得到軌檢車實(shí)測(cè)值序列X中超過(guò)閾值的樣本個(gè)數(shù)nu。

當(dāng)u確定以后，利用軌檢車實(shí)測(cè)值序列X，根據(jù)式(6)進(jìn)行最大似然估計(jì)，即可得尺度參數(shù)σ和形狀參數(shù)ξ的估計(jì)值。

3 動(dòng)態(tài)不平順?lè)逯倒芾碇笜?biāo)擬定及合理性評(píng)價(jià)

在閾值確定后，用(n-nu)/n作為F(u)的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，將式(4)帶入式(3)可得過(guò)閾值u的數(shù)據(jù)分布函數(shù)F(x)為

F(x)=Fu(y)(1-F(u))+F(u)=

(9)

根據(jù)上述方法求得式(9)中各參數(shù)的估計(jì)值后，即可確定過(guò)閾值u條件下分布函數(shù)。依據(jù)現(xiàn)有峰值管理中不同等級(jí)的管理值，利用分布函數(shù)的逆函數(shù)即可求得超限發(fā)生概率，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)現(xiàn)有動(dòng)態(tài)管理值的合理性評(píng)價(jià)。

令xm為軌檢車實(shí)測(cè)值不同等級(jí)下的管理值，當(dāng)x>xm,軌道動(dòng)態(tài)不平順影響舒適度、臨時(shí)補(bǔ)修或限速，其概率P為

(10)

根據(jù)動(dòng)態(tài)不平順不同等級(jí)指標(biāo)的重要性確定不同等級(jí)的發(fā)生概率Pα(即α)，一般為1%～5%。則對(duì)于給定置信水平P，可能損失值VaRP就是損失分布的P分位數(shù)，即xm的估計(jì)值為

(11)

具體擬定及評(píng)價(jià)動(dòng)態(tài)不平順?lè)逯倒芾碇笜?biāo)的流程見(jiàn)圖1。

圖1 擬定峰值管理不同等級(jí)指標(biāo)流程

4 實(shí)例分析

以運(yùn)行速度為300 km/h的某客運(yùn)專線為例，選取該線上行段280 km，2016—2019年共60次軌檢車實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，利用里程誤差修正模型進(jìn)行預(yù)處理[16]。

4.1 厚尾檢測(cè)

以某次檢測(cè)數(shù)據(jù)中高低-半峰值(絕對(duì)值)為例，繪制概率分布直方圖見(jiàn)圖2。由圖2可知，該線路高低峰值分布具有明顯的非正態(tài)性。通過(guò)指數(shù)分位數(shù)法進(jìn)行檢驗(yàn)，可以證實(shí)該線高低峰值分布具有相對(duì)明顯的厚尾性，說(shuō)明該線實(shí)際運(yùn)營(yíng)出現(xiàn)高低峰值的概率較正態(tài)分布出現(xiàn)的概率要大。因此，通過(guò)極值理論建立峰值過(guò)閾值法模型計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)概率，針對(duì)厚尾分布進(jìn)行重點(diǎn)分析。

圖2 高低實(shí)測(cè)值概率分布直方圖

4.2 閾值討論及參數(shù)估計(jì)

以高低-半峰值(絕對(duì)值)為例，根據(jù)式(8)計(jì)算樣本平均余值函數(shù)，繪制圖3所示超限期望圖。一般而言，合適的閾值u能夠?qū)?0%左右的數(shù)據(jù)劃分為超限樣本，否則無(wú)法抓住序列分布的特征[12]。經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)驗(yàn)證，選取7 km為一個(gè)區(qū)間進(jìn)行劃分較為合理，由此可得4 800個(gè)軌檢車高低-實(shí)測(cè)半峰值序列。由圖3可以看出，當(dāng)閾值u在3 mm附近，余值函數(shù)e(u)變化幅度較小為近似線性函數(shù)且斜率有正向變大的趨勢(shì)，說(shuō)明超限數(shù)據(jù)較正態(tài)分布的尾部要厚，適用于帕累托模型進(jìn)行厚尾的分布擬合以描述尾部的特征。此時(shí)，只有少量的高低實(shí)測(cè)值點(diǎn)分布在圖2的尾部，且收斂速度緩慢，符合帕累托分布的特征。利用余值函數(shù)即可初步判定該觀測(cè)值為所需閾值u[17],此時(shí)過(guò)閾值u=3 mm的樣本個(gè)數(shù)nu為387，占比約為8%。由此可以推斷閾值為3時(shí)比較合適。也允許適當(dāng)放寬該線左高低峰值Ⅰ級(jí)管理值，不妨取u=4、u=5并與u=3進(jìn)行對(duì)比見(jiàn)圖4和圖5。利用最大似然估計(jì)，分別計(jì)算三種不同閾值情況下的尺度參數(shù)和形狀參數(shù)估計(jì)值及對(duì)應(yīng)的累計(jì)分布函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值見(jiàn)表1。

表1 不同閾值下的累積分布函數(shù)F(x)和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值函數(shù)VaRP

圖3 高低實(shí)測(cè)值序列超限期望

圖4 不同閾值下的累計(jì)分布函數(shù)

圖5 不同閾值下的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值函數(shù)

由圖4可知，閾值u=3比u=4、u=5的累計(jì)分布函數(shù)F(x)包含更多的超限閾值概率，使得估計(jì)的參數(shù)更準(zhǔn)確。由圖5可知，盡管不同閾值在低顯著水平(P<90%)下，相同的顯著水平各自的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值不同，但當(dāng)顯著水平較高時(shí)(P≥90%)相同的顯著水平、不同的閾值對(duì)應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值十分相近。因此，從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌瘸霭l(fā)，本文選取閾值u=3 mm科學(xué)合理。而對(duì)于動(dòng)態(tài)不平順?biāo)竭@一項(xiàng)指標(biāo)，規(guī)范中Ⅰ級(jí)管理值為5，大于其余同級(jí)別各指標(biāo)。作如上相同分析后發(fā)現(xiàn)水平閾值取4更為合理。

4.3 峰值管理值的擬定及評(píng)價(jià)

確定閾值后，在高低-半峰值的偏差等級(jí)為Ⅰ級(jí)(經(jīng)常保養(yǎng))超限概率為5%的情況下，對(duì)超閾值樣本使用廣義帕累托分布求得的Ⅰ級(jí)管理值指標(biāo)為4.4 mm，與文獻(xiàn)[18]中250(含)～350 km/h線路軌道動(dòng)態(tài)質(zhì)量容許偏差管理值的4 mm相近。結(jié)合式(11)可以反推出該線路出現(xiàn)高低峰值偏差為等級(jí)Ⅰ級(jí)時(shí)的概率為5.85%，出現(xiàn)Ⅱ級(jí)(舒適度)的概率為3.14%，出現(xiàn)Ⅲ級(jí)(臨時(shí)補(bǔ)修)的概率為1.72%，而出現(xiàn)Ⅳ級(jí)(限速(160 km/h))的概率為0.55%。對(duì)其余幾項(xiàng)指標(biāo)做相同處理，分別可得各自閾值、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)及不同等級(jí)下的超限概率見(jiàn)表2和表3。

表2 不同指標(biāo)的閾值及參數(shù)估計(jì)值

表3 某運(yùn)營(yíng)速度300 km/h線路不同指標(biāo)峰值超限概率 %

由表2和表3可得，對(duì)于該客運(yùn)專線，軌向的動(dòng)態(tài)質(zhì)量容許偏差管理值相對(duì)寬松，超過(guò)9%的概率需要經(jīng)常保養(yǎng)，更有約5%的概率需要限速，可以考慮根據(jù)規(guī)范適當(dāng)提高標(biāo)準(zhǔn)；軌距的Ⅱ級(jí)及以上峰值管理值相對(duì)嚴(yán)格，均只有小于1%的概率，可以考慮根據(jù)規(guī)范適當(dāng)放寬標(biāo)準(zhǔn)；其余指標(biāo)水平、扭曲和高低的峰值管理值相對(duì)合理，可以根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況，適當(dāng)調(diào)整。

4.4 加速度分析

峰值管理還包含車體垂向、橫向加速度的等級(jí)劃分，見(jiàn)表4。然而根據(jù)實(shí)際現(xiàn)場(chǎng)養(yǎng)護(hù)維修調(diào)查發(fā)現(xiàn)，加速度檢測(cè)值往往小于Ⅰ級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，而達(dá)不到檢修的目的。因此，本文對(duì)已有垂向、橫向的現(xiàn)場(chǎng)加速度檢測(cè)值按照時(shí)間序列做箱形圖分析，結(jié)果見(jiàn)圖6。

表4 250(不含)～350 km/h 線路軌道動(dòng)態(tài)質(zhì)量容許偏差管理值

圖6 加速度實(shí)測(cè)值箱形圖

由圖6可知，垂向加速度的范圍在(-0.04～0.04)g內(nèi)，橫向加速度的范圍在(-0.03～0.03)g內(nèi)，均未有檢測(cè)值超過(guò)規(guī)范中的Ⅰ級(jí)標(biāo)準(zhǔn)。這說(shuō)明現(xiàn)場(chǎng)養(yǎng)護(hù)維修作業(yè)時(shí)，峰值管理中的加速度指標(biāo)并沒(méi)有起到很好的限制效果[19-20]。由于本文采用的基于極值理論的峰值過(guò)閾值法模型有其特定的應(yīng)用范圍，只適用于描述及分析過(guò)閾值數(shù)據(jù)的廣義帕累托分布特征，不必對(duì)數(shù)據(jù)序列總體的分布類型進(jìn)行建模。

由于該線路不同檢測(cè)時(shí)間下的加速度實(shí)測(cè)值均未有超限的情況出現(xiàn)，這也意味著此模型不適用于該線路既有加速度管理值的合理性評(píng)估。因此，需要根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況，適當(dāng)?shù)膶F(xiàn)有峰值管理中的加速度指標(biāo)嚴(yán)格化以達(dá)到實(shí)際的養(yǎng)護(hù)維修參考標(biāo)準(zhǔn)。

5 結(jié)論

本文基于峰值過(guò)閾值法模型，借助廣義帕累托分布函數(shù)，研究軌道動(dòng)態(tài)不平順?lè)逯倒芾碇档暮侠硇?，結(jié)合軌檢車實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證分析。以下結(jié)論是對(duì)模型優(yōu)缺點(diǎn)及現(xiàn)有峰值管理指標(biāo)合理性的總結(jié)：

(1)軌道動(dòng)態(tài)不平順?lè)逯倒芾碇档臄M定及評(píng)估本質(zhì)上考慮的是極端事件。峰值過(guò)閾值法模型采用閾值的劃分特點(diǎn)，只分析過(guò)閾值樣本的廣義帕累托分布特征，根據(jù)既有規(guī)范，計(jì)算不同等級(jí)VaRP的超限概率，實(shí)現(xiàn)對(duì)峰值管理標(biāo)準(zhǔn)的合理性評(píng)價(jià)。該方法充分考慮了可能出現(xiàn)的軌道動(dòng)態(tài)不平順較大實(shí)測(cè)值，更全面的體現(xiàn)了實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的分布特征，得到的超限概率能更客觀的反映工程實(shí)際。

(2)根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分析可得，該線軌向及車體垂向、橫向加速度動(dòng)態(tài)質(zhì)量容許偏差管理值較寬松，約高于實(shí)測(cè)峰值的50%，可以考慮根據(jù)規(guī)范及現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況適當(dāng)提高標(biāo)準(zhǔn)；軌向管理值相對(duì)寬松，約10%的實(shí)測(cè)峰值超限，其中，Ⅳ級(jí)限速標(biāo)準(zhǔn)的超限概率約5%，不符合實(shí)際線路運(yùn)營(yíng)需求，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)提高容許偏差管理值，從而達(dá)到降低超限概率的目的；軌距Ⅱ級(jí)及以上峰值管理值相對(duì)嚴(yán)格，超限概率均小于1%，可以考慮適當(dāng)放寬標(biāo)準(zhǔn)；其余指標(biāo)水平、高低及三角坑的峰值管理值相對(duì)合理，可以根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。

(3)本文為簡(jiǎn)化分析，僅考慮其數(shù)值大小，未考慮閾值的時(shí)間維度，且根據(jù)超限值出現(xiàn)的概率評(píng)定管理值的合理性具有一定經(jīng)驗(yàn)性。為了更加客觀描述峰值管理值的合理性，是今后需要重點(diǎn)研究的問(wèn)題。

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