智能電網(wǎng)連續(xù)型社會福利最大化實時定價方法

羅藝靈，高 巖

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093）

0 引言

隨著產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)的調(diào)整和人民生活水平的提高，我國電力消費增速加快，用電量的變化曲線波動越來越劇烈。電力系統(tǒng)的穩(wěn)定運行要求供需實時平衡，然而僅僅依靠供給側(cè)的調(diào)節(jié)很難實現(xiàn)這一平衡，因此，需要配合有效的需求側(cè)管理[1-2]。實時定價作為需求側(cè)管理最直接、有效的方法，是指通過電價信號激勵電力用戶自愿在谷期用電，從而削減峰期的負荷，達到削峰填谷的目標[2-3]。智能電表的應(yīng)用有效實現(xiàn)了電力供給側(cè)和需求側(cè)雙方的電力信息交互，為實時定價策略提供保障。電力系統(tǒng)研究中目標優(yōu)化是比較常見的方法[4-5]。智能電網(wǎng)的實時定價策略研究常見的研究思路有2 種：一種是運用動態(tài)博弈理論[6-7]和雙層優(yōu)化方法[8-9]，另一種是基于社會福利最大化理論和影子價格理論[10]，運用對偶優(yōu)化方法[2-3]?，F(xiàn)有的研究中后者的運用更加廣泛。

基于社會福利最大化的定價機制主要從公共產(chǎn)品的角度出發(fā)，被廣泛運用到電力定價中。在智能電網(wǎng)實時定價策略的研究中，社會福利最大化模型同時兼顧了供需雙方的利益。文獻[10]最先將社會福利最大化模型運用到智能電網(wǎng)實時定價中，以實現(xiàn)用戶的效用最大化和供電商的成本最小化為目標，以用戶的效用減去供電商的成本作為目標函數(shù)建立智能電網(wǎng)實時定價的社會福利最大化模型，根據(jù)供電與用電的平衡為約束條件，運用對偶優(yōu)化方法求得供、用電量和實時電價。許多學(xué)者基于文獻[10]進行了一系列研究。社會福利最大化方法最初運用于研究一個供電商和多個用戶構(gòu)成的最基本的智能電網(wǎng)模型，隨著研究的深入，學(xué)者們對社會福利最大化模型進行了不同角度的改進。首先是在基本社會福利最大化模型的基礎(chǔ)上考慮用戶側(cè)的電器分類[9，11-12]，根據(jù)電器運行的特點一般分成必須運行的電器、彈性電器和半彈性電器3 類。隨著太陽能、風能等可再生能源的發(fā)展，一些研究亦將可再生能源發(fā)電并入到了智能電網(wǎng)的實時定價研究中[13-15]，有的還考慮了儲能裝置[16]、雙碳目標[9，17]、分類用戶[18]、效用函數(shù)的形式[19]等。但是，文獻[10-19]的實時定價研究都是基于離散的社會福利最大化方法，沒有重點體現(xiàn)發(fā)電和用電的時間連續(xù)性這一重要特征對實時定價的影響。文獻[20]首次提出了基于連續(xù)時間商品模型的電力市場實時定價，與以往研究的不同之處在于文獻[20]提出的定價方式下的市場優(yōu)化模型是連續(xù)的，優(yōu)化問題也由傳統(tǒng)的數(shù)值優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉汉瘶O值優(yōu)化問題。

文獻[20]主要考慮了電力系統(tǒng)中發(fā)電和用電的時間連續(xù)性，以電能平衡為約束條件，運用社會福利最大化理論對電力市場進行實時定價研究。但在實時定價原理的闡述方面，只考慮了發(fā)電側(cè)的單邊競價成本最小，沒有體現(xiàn)需求側(cè)管理，也沒有綜合考慮用戶側(cè)與發(fā)電側(cè)雙方的利益，并非真正意義上的社會福利最大化模型。此外，文獻[20]的算例分析沒有設(shè)計算法，也沒有與離散的社會福利最大化實時定價模型進行比較分析，不能體現(xiàn)出連續(xù)的社會福利最大化實時定價模型的優(yōu)勢。因此，本文在文獻[20]的基礎(chǔ)上，結(jié)合目前的智能電網(wǎng)實時定價策略與方法，綜合考慮用戶側(cè)與發(fā)電側(cè)雙方的利益，繼續(xù)完善連續(xù)的社會福利最大化實時定價模型的理論與推導(dǎo)；并且將該模型與離散的社會福利最大化實時定價模型進行比較分析。仿真實驗結(jié)果表明本文所提連續(xù)的社會福利最大化模型不僅能夠削峰填谷，有效地保證電力系統(tǒng)的供需平衡以及用戶和供電商雙方的利益，還能最大限度地避免發(fā)生峰谷轉(zhuǎn)移的情況。

1 效用函數(shù)與成本函數(shù)理論

1.1 效用函數(shù)

在智能電網(wǎng)實時定價中，效用函數(shù)指用戶對消耗一定電量的滿意度，需要滿足非遞減性和邊際效用遞減2 個特征[21]。智能電網(wǎng)實時定價中的效用函數(shù)主要采用式（1）二次函數(shù)：

式中：α,ω均為常數(shù)，0 ＜α≤1，ω為用戶的用電意愿；x為用戶所需要的用電量。

1.2 成本函數(shù)

供電商發(fā)電系統(tǒng)中存在一定的成本，假設(shè)損耗成本和維修成本均很小，可以忽略不計，主要考慮發(fā)電系統(tǒng)的發(fā)電成本。

供電商的發(fā)電成本C可用二次函數(shù)[2-3，9，22]表示為：

式中：a＞0,b≥0,c≥0，且為常數(shù)；Q為發(fā)電量。

2 連續(xù)的社會福利最大化模型

2.1 電力系統(tǒng)概述

本文考慮1 個供電商的簡化模型，用戶側(cè)有n個電器，且配有智能電表。

在考慮用電時間的連續(xù)性下，由(P(t),t)關(guān)系得到的電量可用黎曼積分表示為：

式中：P(t)為功率與時間的關(guān)系；P為用戶電器的功率；w為用戶的用電量；T為電器的使用時長；t為連續(xù)時間變量。

連續(xù)模型下用戶的福利N(Pj(t))和供電商的利潤R(Pf(t))分別為：

式中：π(t)為隨時間變化的實時電價；Pj(t)為用戶第j個電器的功率曲線；Pf(t)為供電商的發(fā)電裝置的功率曲線；Uj(Pj(t))為用戶使用電器j的效用；C(Pf(t)為供電商的成本；Uj為關(guān)于電器功率Pj(t)的泛函；C為關(guān)于發(fā)電功率Pf(t)的泛函；分別為第j個電器功率曲線的最小、最大功率；分別為發(fā)電裝置的最小、最大功率；均為不隨時間變化的常數(shù)。

2.2 模型的建立

社會福利最大化理論同時考慮了用戶側(cè)和發(fā)電側(cè)雙方的利益，智能電網(wǎng)實時定價下的社會福利最大化模型通常是用戶的效用減去供電商的成本[2-3，9-11，13，16，22-23]。類似于離散時間的實時定價研究，以功率平衡為約束條件，當0 ≤t≤T時，連續(xù)的社會福利最大化模型表示為：

式中：L(t)為電路中的損耗；L(t)=γPf(t)，γ為損耗率。

模型（7）以Pj(t)，Pf(t)為決策變量對用電和供電進行優(yōu)化，與現(xiàn)有模型[20]的區(qū)別在于模型（7）同時考慮了用戶側(cè)和發(fā)電側(cè)雙方的利益，是真正意義上的社會福利最大化模型；而文獻[20]只考慮了發(fā)電側(cè)的成本最小化，不是真正意義上的社會福利最大化模型。相同之處在于模型（7）也是泛函問題，所以，變分問題（7）的求解轉(zhuǎn)化為泛函極值優(yōu)化問題，求解方法為Euler-Lagrange 方程[20-21]。因此，首先引入拉格朗日乘子λ(t)，定義模型（7）的廣義泛函為：

然后可得到變分問題式（8）的Euler-Lagrange方程為：

比較式（6）和式（10）可知：

證明了式中的λ(t)也為實時電價。

此外，式（10）還可以表示所有用電器的邊際效用相等；由式（10）—式（11）可知，U′j(Pj(t))=C′(Pf(t))，表示邊際效用等于邊際成本，是經(jīng)濟學(xué)上著名的生產(chǎn)定律。理論上，由式（10）可得：

考慮到復(fù)雜的泛函不易求解，Pj(t)也可由式（14）求解。

即通過Pj(t) (1 ≤j≤n)之間的關(guān)系，再結(jié)合功率平衡條件，即可求解出用電器的最優(yōu)功率Pj(t)。同理，若發(fā)電側(cè)有多個發(fā)電廠，每個發(fā)電廠的最優(yōu)發(fā)電功率亦可用此方法求解。

基于連續(xù)的社會福利最大化模型的實時定價策略主要通過求解出用戶最優(yōu)的功率曲線、供電商最優(yōu)的發(fā)電功率曲線，進而求得最優(yōu)的實時電價。在經(jīng)濟學(xué)上，通常用等微增率準則來進行最優(yōu)負荷的經(jīng)濟分配。

2.3 模型的解析解

式中：αj,ωj均為常數(shù)，0 ＜αj≤1；ωj為用戶的用電意愿；Pj(t)為第j個電器的功率。

考慮發(fā)電時間連續(xù)性的發(fā)電成本可用二次函數(shù)來表示[24-25]，即

在連續(xù)的社會福利最大化模型中，考慮用戶的效用尚未達到飽和的情況下的效用函數(shù)，可得：

由式（10）和式（11）可得：

由式（18）可知，λ(t)與j無關(guān)，所有電器的價格是相同的。式（19）的結(jié)果與文獻[20]的單邊競價模型結(jié)果一致，不同的是λ(t)還可以根據(jù)式（18）來求解，因此社會福利最大化模型中的2 個決策變量Pj(t),Pf(t)還需要滿足以下條件：

將Pf(t)代入功率平衡約束可以得到：

由式（21）可知，電價λ(t) 與負荷曲線Pd(t)=一致，即用電量需求越高，電價越高，從而可以考慮通過價格信號來引導(dǎo)用電行為的方式進行削峰填谷。

由式（10）可得：

由式（22）可以求出Pj(t)。代入式（18）可以得到

最后把Pj(t),Pf(t)回代到式（18）或式（19）即可求解出電價λ(t) 。

此外，從連續(xù)的社會福利最大化模型式（17）可知，當Pj(t)，Pf(t)是不隨時間t變化的常函數(shù)時，即功率在這段時間內(nèi)是均勻變化的，此時連續(xù)的社會福利最大模型可看成是離散的社會福利最大化模型，離散的定價方法也同樣適用。

3 模型的求解算法

實時定價是用戶和供電商雙向互動的過程[4]，雙方通過智能電表進行信息交流。用戶根據(jù)供電商提供的電價，結(jié)合自身的效用最大化進行用電決策，包括是否用電以及用電量的多少等，并將決策信息通過智能電表反饋給供電商。供電商根據(jù)成本最小化進行供電決策，并通過智能電表向用戶發(fā)布電價信息，接收用戶的反饋信息以及發(fā)送供電量信息。

算法的設(shè)計以用戶和供電商雙方的信息交流為基礎(chǔ)，相比于離散的模型，連續(xù)模型的最大不同之處在于其每時每刻都可變，可以隨時進行調(diào)整。因此，在模型的求解算法上也會有所不同。

當0 ≤t≤T時，本文建立的連續(xù)的社會福利最大化模型的算法步驟為：（1）數(shù)據(jù)初始化；（2）由式9—式11）得出Pj(t)之間的關(guān)系，以及Pj(t)與Pf(t)之間的關(guān)系；（3）賦初始值Pj(t)；（4）設(shè)定損失率γ，由=Pf(t)-L(t) 求解出合適的初始值Pf(t) ；（5）判斷U′j(Pj(t))=C′(Pf(t))是否成立，若不成立，轉(zhuǎn)（3）至（5）；若成立，則轉(zhuǎn)（6）；（6）由式（10）或式（11）求得λ(t)；（7）得到初始λ(t)后，根據(jù)式（24）預(yù)測下一時刻的Pj(t)與Pf(t)；（8）重復(fù)（5）至（7）直至結(jié)束。

4 仿真分析

4.1 參數(shù)設(shè)置

通過仿真實驗驗證本文所提模型的合理性與有效性。假設(shè)電力系統(tǒng)是由1 個供電商和用戶組成的簡化模型，同時將用戶側(cè)看成1 個整體，假設(shè)用戶側(cè)有2 個用電器，即j=2。其他參數(shù)分別設(shè)置為：ω2=2ω1,α2=2α1,γ=0.03,L(t)=0.03Pf(t)，a=0.01,b=c=0。假設(shè)供電商根據(jù)負荷曲線進行規(guī)劃發(fā)電，用戶根據(jù)負荷曲線進行規(guī)劃用電。通過Matlab2019b進行仿真分析。

4.2 結(jié)果分析

連續(xù)模型下負荷曲線、發(fā)電和損耗之間的關(guān)系如圖1 所示。

圖1 連續(xù)模型中負荷曲線、發(fā)電功率和損耗之間的關(guān)系Fig.1 Relationship among load curve，generated power and loss in continuous model

由圖1 可知，1∶00—6∶00 屬于用電低谷期，7∶00—18∶00 屬于用電高峰期，19∶00—24∶00 的用電處于用電低谷期和峰期之間，符合用戶的作息習(xí)慣。此外，連續(xù)模型下的供電商的發(fā)電功率曲線與用戶的負荷曲線之間的趨勢基本相同，發(fā)電功率曲線稍高于電器的負荷曲線，說明了發(fā)電量能夠滿足用戶的需求，同時也不會造成過多的電力浪費。

圖2 為連續(xù)模型中負荷曲線和電器功率分配的具體情況。由圖2 可知，連續(xù)模型下用戶側(cè)2 個電器功率的功率曲線，其中，電器1 與電器2 的總功率即負荷曲線，且電器1 與電器2 各自的功率曲線與負荷曲線在趨勢上也大致相同。電器1 與電器2 的功率曲線均比較平緩，最高點與最低點之間的差值不大，表現(xiàn)出較好的削峰填谷效果。

圖2 連續(xù)模型中負荷曲線和電器功率分配Fig.2 Load curve and appliance power distribution in continuous model

圖3 為連續(xù)模型得到的最優(yōu)實時電價。由圖3可知連續(xù)模型下的實時電價的波動情況與圖2 中的負荷曲線的趨勢相似。證明了當用電需求下降時，電價也隨之下降，以激勵用戶多用電；當用電需求上升時，電價也隨之上升，以減少用戶在此時的用電。實時定價的目的主要是通過價格機制來引導(dǎo)用電行為，從而實現(xiàn)削峰填谷的目標。

圖3 連續(xù)模型的實時電價Fig.3 Real-time electricity prices in continuous model

圖4 為連續(xù)模型下的社會福利與成本。由圖4可知社會福利曲線位于成本曲線上方，說明同時考慮了供電商和用戶雙方利益的社會福利最大化模型得到的平均福利要優(yōu)于僅僅考慮了供電商單側(cè)的成本最小化模型得到的平均福利。因此驗證了連續(xù)的社會福利最大化模型在智能電網(wǎng)實時定價中的合理性與有效性。

圖4 連續(xù)模型中的社會福利與成本Fig.4 Social welfare and cost in continuous model

圖5 為供電商分別在連續(xù)、離散模型中的發(fā)電功率情況。由圖5 可知，在離散的模型下，供電商不能即時對發(fā)電功率進行調(diào)整，為了滿足用戶的用電需求，電力系統(tǒng)的發(fā)電量為負荷曲線在交易時長內(nèi)的最大負荷；而連續(xù)的模型可以隨時對發(fā)電功率做出調(diào)整，故連續(xù)模型下的發(fā)電功率可以看成近似于負荷曲線。由于發(fā)電量可表示為發(fā)電功率曲線與坐標橫軸所圍成的面積，因此，在同一段時間內(nèi)，離散模型下的發(fā)電量高于連續(xù)模型下的發(fā)電量，容易導(dǎo)致供過于求的情況，同時消耗著較大比例的電力資源和成本。

圖5 連續(xù)、離散模型中的發(fā)電功率Fig.5 Electricity generation in continuous and discrete model

圖6 為用戶分別在連續(xù)、離散模型中的用電功率情況。由圖6 可知，當負荷曲線上升時，離散模型下用戶在用電時長T內(nèi)的電器功率為負荷曲線在該時間段內(nèi)的最小功率；當負荷曲線下降時，離散模型下用戶在用電時長T內(nèi)的電器功率為負荷曲線在該時間段內(nèi)的最大功率。由于連續(xù)的模型可以通過隨時改變用電功率，則這種情況下的電器功率曲線近似于負荷曲線。

圖6 連續(xù)、離散模型中的用電功率Fig.6 Electricity consumption in continuous and discrete model

圖5—6 表明了不管是連續(xù)的模型下還是離散的模型下，發(fā)電功率曲線均與用電功率曲線的趨勢相同，都保證了用戶的用電需求。同時，如果同一段時間內(nèi)要將功率從相同的初值變成相同的終值，連續(xù)的模型可以隨時對發(fā)電和用電功率做出調(diào)整，緩慢地改變，也給發(fā)電裝置和電器預(yù)留了適當?shù)木彌_時間，保證電路的安全運行。而離散模型下不能馬上調(diào)整發(fā)電、用電功率，且會在可以發(fā)生調(diào)整的固定時刻使得功率從初值立刻變?yōu)榻K值，整個過程中沒有給發(fā)電裝置和電器預(yù)留任何的緩沖時間，容易導(dǎo)致電路的不穩(wěn)定。圖7 為在連續(xù)、離散模型下的社會福利。

圖7 連續(xù)、離散模型中的社會福利Fig.7 Social welfare in continuous and discrete model

圖5—7 主要是為了研究社會福利最大化模型在連續(xù)、離散情況下的區(qū)別。通過比較分析可知，基于連續(xù)的社會福利最大化模型的成本更低，但并非所有的指標都優(yōu)于離散的社會福利最大化模型。在一段時間內(nèi)，由于離散的模型在劃分好的一段時間內(nèi)的發(fā)電量和用電量是固定的，不能迅速改變，這就很大可能會形成新的峰谷期。而連續(xù)的模型可以通過實時電價的迅速改變從而迅速調(diào)節(jié)用電器的功率，可以更及時地進行削峰填谷。因此，連續(xù)的社會福利最大化模型的最大優(yōu)點主要在于調(diào)節(jié)的靈活性。同時，圖5—圖7 也驗證了連續(xù)的社會福利最大化模型下的實時定價方法的合理性與有效性。

5 結(jié)論

在智能電網(wǎng)實時定價的社會福利最大化方法中，現(xiàn)有的定價模型基本都是離散的，沒有側(cè)重體現(xiàn)發(fā)電和用電的時間連續(xù)性這一重要特征對實時定價的影響。本文將發(fā)電和用電的時間連續(xù)性融入到智能電網(wǎng)實時定價中，建立了連續(xù)的社會福利最大化模型，在理論上推導(dǎo)出了實時電價與發(fā)電功率、用電功率之間的關(guān)系，并設(shè)計了求解模型的算法。通過與離散的社會福利最大化模型的比較分析，得到如下結(jié)論：

1）連續(xù)的社會福利最大化模型不僅能夠有效地削峰填谷，還能保證電力系統(tǒng)的供需平衡以及用戶和供電商雙方的利益。同時，以社會福利最大化為目標函數(shù)帶來的社會福利要高于以供電商成本最小化為目標函數(shù)帶來的社會福利。

2）在連續(xù)和離散的社會福利最大化模型的比較中，前者不僅能夠有效地降低發(fā)電成本，還能憑借其每時每刻都能發(fā)生變化的優(yōu)勢及時靈活地調(diào)節(jié)用電的峰谷期，最大限度地避免發(fā)生峰谷轉(zhuǎn)移的情況。證明了連續(xù)的社會福利最大化模型應(yīng)用于智能電網(wǎng)實時定價中的合理性與有效性。