基于改進(jìn)NSGA-Ⅱ的載人潛水器多開孔耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化

田震，劉峰，王萌，陳書培，李捷龍，趙彥凱

(1.哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工程大學(xué) 煙臺研究院， 山東 煙臺 264000)

0 引言

耐壓結(jié)構(gòu)是載人潛水器的重要系統(tǒng)之一，是其實現(xiàn)水下安全航行和完成相關(guān)任務(wù)的重要保證。耐壓結(jié)構(gòu)所承受的海水壓力隨著其工作水深的增加而增大，在這種情況下，往往通過增加尺度以增強其結(jié)構(gòu)性能，但這必將導(dǎo)致其質(zhì)量的增加，從而對載人潛水器的總體性能、經(jīng)濟(jì)性等方面造成不利影響。因此，耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計是一個典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題，需要對質(zhì)量和結(jié)構(gòu)性能之間所存在的矛盾進(jìn)行協(xié)調(diào)和平衡。在耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計中需要對眾多方案進(jìn)行優(yōu)選，在這種情況下，優(yōu)化模型的精度和求解效率，以及優(yōu)化算法的搜索能力和收斂性等都將直接影響到優(yōu)化解的全局性和求解效率。

有限元方法已在耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用，但對于需要反復(fù)迭代的優(yōu)化過程來說，其仍存在計算量巨大的缺點[1]。近似模型對樣本點的輸入(設(shè)計變量)和輸出(響應(yīng))進(jìn)行擬合，進(jìn)一步將二者的表達(dá)方式作為替代模型用于分析，不僅保證了問題分析的精度和準(zhǔn)確性，對研究效率的提升也有重要的影響。目前，響應(yīng)面模型[2]、Kriging模型[3]、RBF[4]等近似模型已在耐壓結(jié)構(gòu)的研究中得到了應(yīng)用。而建立近似模型所需的樣本點依然采用有限元分析完成，參數(shù)化分析方法實現(xiàn)了耐壓結(jié)構(gòu)自動建模與分析，可提高設(shè)計效率。由于所采用的軟件和平臺的不同，所采用的耐壓結(jié)構(gòu)參數(shù)化分析方法也不盡相同，楊卓懿等[5]利用Apdl語言實現(xiàn)了環(huán)肋圓柱殼的參數(shù)化分析；宋保維等[6]在解決了基于VC語言的iSight軟件集成開發(fā)的問題的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)了耐壓結(jié)構(gòu)的自動設(shè)計，并將其應(yīng)用于環(huán)肋耐壓結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計，提高了耐壓結(jié)構(gòu)性能和設(shè)計效率；劉峰等[7]所研究的耐壓結(jié)構(gòu)參數(shù)化設(shè)計流程，重點針對Abaqus軟件的二次開發(fā)開展了研究，進(jìn)一步解決了Abaqus與多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化軟件iSight的集成與通信問題。網(wǎng)格尺寸的選擇對有限分析有重要的影響，網(wǎng)格劃分過大將影響計算精度，而網(wǎng)格劃分較小則會導(dǎo)致計算成本的提高，上述研究中對于網(wǎng)格劃分缺乏深入研究。此外，載人潛水器耐壓結(jié)構(gòu)布置有多個較大的開孔，必將導(dǎo)致其設(shè)計變量的增加，從而加大了參數(shù)化分析和研究的難度。

在多目標(biāo)優(yōu)化算法中，改進(jìn)非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)已在耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化中得到了應(yīng)用，且取得了明顯的優(yōu)化效果。朱學(xué)康等[8]圍繞具有離散特性的圓柱殼多目標(biāo)優(yōu)化進(jìn)行了研究，并利用NSGA-Ⅱ進(jìn)行求解；汪志強等[9]在考慮了綜合裕度的基礎(chǔ)上，建立了環(huán)肋圓柱殼的多目標(biāo)優(yōu)化模型，采用NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行了優(yōu)化求解；何衍儒等[10]將浮重比和內(nèi)部有效體積作為目標(biāo)函數(shù)，利用NSGA-Ⅱ進(jìn)行了耐壓結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化的求解。但NSGA-Ⅱ的全局搜索能力和快速收斂能力還存在一定的不足，導(dǎo)致這些不足的原因是模擬二進(jìn)制交叉(SBX)算子的采用。正態(tài)分布交叉(NDX)算子的空間開發(fā)和探索能力與SBX算子相比有較大提升，將NDX算子應(yīng)用于NSGA-Ⅱ算法中，可以有效提升算法解集的多樣性和收斂性[11-12]。

本文以載人潛水器多開孔耐壓結(jié)構(gòu)為研究對象，在完成有限元模型的建立、計算網(wǎng)格的確定、參數(shù)化分析的實現(xiàn)以及設(shè)計變量靈敏度分析的基礎(chǔ)上，選擇擬合精度較高近似模型作為替代模型，進(jìn)一步建立多開孔耐壓柱殼多目標(biāo)優(yōu)化模型。以NDX算子作為交叉算子對NSGA-Ⅱ進(jìn)行改進(jìn)，利用ZDT系列測試函數(shù)對改進(jìn)算法INSGA-Ⅱ的改進(jìn)效果進(jìn)行測試。進(jìn)行INSGA-Ⅱ與傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法的多目標(biāo)優(yōu)化的求解對比，以對INSGA-Ⅱ算法的有效性進(jìn)行驗證。

1 有限元分析方法及網(wǎng)格無關(guān)性分析

1.1 耐壓結(jié)構(gòu)有限元模型

根據(jù)設(shè)計需求和設(shè)計規(guī)范[13]確定耐壓結(jié)構(gòu)形式和尺寸，建立基于Abaqus軟件的有限元分析模型，如圖1所示。

圖1 耐壓結(jié)構(gòu)有限元模型

對于計算載荷Pj，可換算成[14-15]

Pj=0.009 8hj

(1)

式中：hj為計算深度。

hj=Khjx

(2)

K=1.5表示耐壓結(jié)構(gòu)安全系數(shù)，hjx表示極限深度。

hjx=hg/(0.85～0.90)

(3)

hg為潛水器工作下潛深度。

利用(1)式～(3)式計算得到Pj，根據(jù)規(guī)范[13]計算Mises應(yīng)力σmax、軸向應(yīng)力σ1、周向應(yīng)力σ2和肋骨應(yīng)力σ3的臨界值與許用應(yīng)力σs之間的關(guān)系分別為[σmax]=σs、[σ1]=0.85σs、[σ2]=1.15σs和[σ3]=0.6σs，則上述應(yīng)力的臨界值分別為785 MPa、667.25 MPa、902.75 MPa和471 MPa。

1.2 計算網(wǎng)格的確定

進(jìn)行耐壓結(jié)構(gòu)有限元模型的邊界設(shè)置時，將中縱剖面內(nèi)節(jié)點的橫向線位移，以及與其環(huán)繞的2個坐標(biāo)軸角位移等均設(shè)置為0，這是因為模型的左、右兩側(cè)對稱的原因。耐壓結(jié)構(gòu)分析過程分為強度和穩(wěn)定性兩部分內(nèi)容，強度主要進(jìn)行σmax、σ1、σ2和σ3等分析，穩(wěn)定性完成臨界載荷Pcr的分析。在結(jié)構(gòu)分析的過程中，模型的網(wǎng)格劃分越精細(xì)，計算精度越高，但計算時間也會增大。為此，需要進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性分析。將0.025 m、0.03 m、0.05 m、0.1 m、0.2 m 5種網(wǎng)格分別與0.02 m網(wǎng)格進(jìn)行比較，強度分析過程中，主要計算σmax、σ1、σ2和σ3等，還輸出質(zhì)量M。不同網(wǎng)格的強度和穩(wěn)定性分析的計算結(jié)果和計算時間對比如表1所示。

表1 計算結(jié)果和計算時間對比

表1中，在強度校核階段，與0.02 m的網(wǎng)格相比，M的差別均不大，這是因為耐壓結(jié)構(gòu)由若干個單元組成，M在計算過程中通過對所有單元求和得到，而單元則通過網(wǎng)格劃分得到，網(wǎng)格越小，單元越多，則單元所組成的結(jié)構(gòu)越接近實際結(jié)構(gòu)，求和得到的M值越接近實際值；對于σmax、σ1、σ2和σ3等而言，0.025 m網(wǎng)格計算結(jié)果與0.02 m網(wǎng)格的相對誤差不超過3%，0.03 m網(wǎng)格計算結(jié)果與0.02 m網(wǎng)格的相對誤差不超過5%，其他尺寸網(wǎng)格計算計算結(jié)果與0.02 m網(wǎng)格的相對誤差均超過7%，幾種網(wǎng)格的強度分析所耗時間花費差距不大，盡管0.03 m網(wǎng)格的誤差比0.025 m網(wǎng)格的誤差稍大，但誤差滿足計算要求，且在計算時間上更有優(yōu)勢。在穩(wěn)定性分析階段，不同尺寸網(wǎng)格計算得到的Pcr值均相差不大，但在計算時間方面相差較大。綜合考慮計算的精度和時間等兩個方面因素，強度校核采用0.03 m網(wǎng)格，穩(wěn)定性分析采用0.1 m網(wǎng)格。

2 耐壓結(jié)構(gòu)近似模型的建立

2.1 設(shè)計參數(shù)的確定

以M最小和Pcr最大作為耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化求解的目標(biāo)；約束為σmax、σ1、σ2和σ3；設(shè)計變量分別為上、下開孔圍壁的高度SG、XG，耐壓殼厚KH，上、下開孔圍壁厚SH、XH，肋骨的厚度LH、高度LG，觀察窗弧度JD，開孔加強厚度JQH和觀察窗位置WZ，耐壓結(jié)構(gòu)圖和設(shè)計參數(shù)如圖2所示。

圖2 耐壓結(jié)構(gòu)圖及設(shè)計參數(shù)

2.2 耐壓結(jié)構(gòu)參數(shù)化分析

以耐壓結(jié)構(gòu)的設(shè)計變量作為輸入，柱段長度、肋骨個數(shù)、柱段半徑為常量，Pcr、M、σmax、σ1、σ2、σ3等為輸出值?；贏baqus軟件的耐壓結(jié)構(gòu)參數(shù)化分析流程，需要實現(xiàn)對多個樣點自動建模和分析，需要對其進(jìn)行二次開發(fā)，并解決其與多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化軟件iSight之間集成與通信等問題[16]。參數(shù)化分析的流程如圖3所示。

圖3 耐壓結(jié)構(gòu)參數(shù)化分析流程

2.3 設(shè)計變量靈敏度分析

采用最優(yōu)拉丁超立方方法(Opt LHD)作為實驗設(shè)計方法，選擇90組樣本點進(jìn)行分析，設(shè)計變量的取值情況見表2。耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計變量有10個，設(shè)計變量維數(shù)的降低可降低問題的分析難度，從而有利于計算時間的縮短和設(shè)計效率的提高。對90組樣本點進(jìn)行靈敏度分析，可得到各設(shè)計變量對極限強度Pcr和質(zhì)量M的影響比率如圖4所示。

表2 設(shè)計變量及其可行域

圖4 設(shè)計變量靈敏度分析

圖4中，對于M而言，KH的影響最大，呈正相關(guān)，其次為LH和LG，均呈正相關(guān)。對于Pcr而言，KH的影響比率最大，呈正相關(guān)，其次是LG和LH，均呈正相關(guān)。綜合考慮以上全部設(shè)計變量參數(shù)對M和Pcr的影響比率，將KH、XG、SH、XH、LG和LH等變量作為后續(xù)優(yōu)化的設(shè)計變量，其余4個變量作為固定值，并用x1表示KH，用x2表示XG，用x3表示SH，用x4表示XH、用x5表示LG，用x6表示LH。

2.4 常用近似模型及精度分析

1)響應(yīng)面模型(RSM)是一種多項式模型方法[17]，響應(yīng)面模型的類型用階數(shù)進(jìn)行區(qū)分，最高的階數(shù)為4階。4階RSM可用(4)式表示

(4)

(2)徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是一種高精度的多維空間非線性函數(shù)逼近技術(shù)[18]。當(dāng)徑向基函數(shù)為高斯函數(shù)時，第i個隱藏層單元輸出的響應(yīng)為

(5)

式中：i表示第i個隱藏層；ci表示中心寬度；σi表示單元實際寬度。則輸出層第j個輸出為

(6)

式中：f(x)表示RBF的函數(shù)值；w為權(quán)重值；下標(biāo)i、j分別代表第i節(jié)點及該節(jié)點的第j個輸出。

(7)

式中：λi為未知的、需要待定的加權(quán)系數(shù)。

λi需要符合(8)式、(9)式，二者分別為無偏估計值和方差結(jié)果

(8)

(9)

式中：γ(xi,xj)和γ(xi,x0)分別表示xi與xj，以及x0之間距離為h時的參數(shù)半方差值。

基于耐壓結(jié)構(gòu)參數(shù)化分析流程選擇樣本點進(jìn)行分析，得到6個設(shè)計變量不同取值情況下響應(yīng)值，利用近似模型對設(shè)計變量和響應(yīng)進(jìn)行擬合。近似模型能否對原有模型特性進(jìn)行準(zhǔn)確的表達(dá)，需要進(jìn)行擬合精度分析，可決系數(shù)R2常被用于近似模型擬合精度的判斷，R2表達(dá)式如下：

(10)

2.5 近似模型的擬合對比及選擇

利用近似模型對樣本點的輸入和輸出進(jìn)行擬合，近似模型的精度判斷結(jié)果如表3所示。

表3 近似模型擬合精度

表3中，4階RSM擬合得到的M、Pcr、σ3擬合最高，2階RSM擬合得到的σmax、σ2擬合精度最高，3階RSM擬合得到的σ1擬合精度最高。隨機(jī)選取50組樣本點將設(shè)計參數(shù)通過近似模型進(jìn)行計算得到近似模型預(yù)測值，并與計算值即真實值進(jìn)行比較，以展示近似模型對原有模型的特性能否做出準(zhǔn)確描述，如圖5所示。

圖5 近似模型預(yù)測值與實際值誤差分析

圖5中，只有σ1的兩個樣本點相對誤差超過5%，σ1的其余樣本點、其他響應(yīng)所有樣本點的相對誤差均小于5%，表明近似模型可對原有模型的特性做出準(zhǔn)確描述，即近似模型具有較高的擬合精度。

3 改進(jìn)非支配排序遺傳算法

(11)

式中：β表示隨機(jī)變量，對于每一維而言，都需要按照(12)式重新生成，

(12)

式中：u為隨機(jī)數(shù)，其取值范圍為[0，1]；ηc表示交叉系數(shù)，取值常數(shù)。

3.1 INSGA-Ⅱ算法

正態(tài)分布交叉算子(NDX)的空間開發(fā)能力與SBX算子相當(dāng)，其空間搜索能力更強。因此，將NDX算子引入NSGA-Ⅱ算法中可提升算法的空間搜索能力[11-12]。NDX是在SBX的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)的，其用正態(tài)分布隨機(jī)變量A·|N(0,1)|代替SBX算子中的隨機(jī)變量β[23]。其中A為常數(shù)，其數(shù)值影響算法對空間開發(fā)和探索的概率。為使NDX算子具有與SBX算子完全一致的開發(fā)和探索概率，A取1.481。NDX算子[24]的表達(dá)式為

(13)

由于離散重組操作的引入，使新產(chǎn)生的子個體具有更廣泛的取值空間，算例的維度越高，算子搜索空間的提升越明顯。將NDX算子結(jié)合到NSGA-Ⅱ算法中，得到改進(jìn)的非支配遺傳算法INSGA-Ⅱ，算法流程如圖6所示。

圖6 INSGA-Ⅱ算法流程圖

3.2 INSGA-Ⅱ算法性能測試

為測試INSGA-Ⅱ算法的性能，利用標(biāo)準(zhǔn)多目標(biāo)測試函數(shù)ZDT1(連續(xù)性函數(shù))見(14)式、ZDT3(非連續(xù)性函數(shù))見(15)式進(jìn)行測試[22]。

(14)

(15)

為更直觀展現(xiàn)算法的改進(jìn)效果，以兩個測試函數(shù)的真實Pareto前沿為基準(zhǔn)，將INSGA-Ⅱ算法與NSGA-Ⅱ算法的測試結(jié)果進(jìn)行對比，對兩種算法的參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一設(shè)置。其中，種群規(guī)模、最大進(jìn)化代數(shù)、交叉概率、變異概率的取值分別為Pop=500、Gen=500、Pc=0.9、Pm=1/30。得到ZDT1和ZDT3的Pareto前沿如圖7、圖8所示。

圖7 算法在ZDT1上的Pareto前沿

圖8 算法在ZDT3上的Pareto前沿

通過圖7、圖8可以看出，與NSGA-Ⅱ算法相比，INSGA-Ⅱ得到的Pareto前沿更加貼近真實的前沿，其Pareto解集中的解的分布更加均勻，求解過程在收斂性方面也表現(xiàn)更優(yōu)，表明INSGA-Ⅱ的求解能力較NSGA-Ⅱ有一定的提升。

4 耐壓結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化

4.1 多目標(biāo)優(yōu)化模型的建立

以M最小、Pcr最大作為優(yōu)化目標(biāo)，以σmax、σ1、σ2、σ3和Pcr為約束，x1、x2、x3、x4、x5和x6等變量為設(shè)計變量，結(jié)合樣本點擬合得到的近似模型，建立基于多目標(biāo)的耐壓結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型見(16)式：

(16)

4.2 多目標(biāo)優(yōu)化求解

分別采用INSGA-Ⅱ和NSGA-Ⅱ?qū)?16)式進(jìn)行求解，兩種算法的參數(shù)設(shè)置如表4所示，并將兩種算法求得的Pareto解集進(jìn)行對比，如圖9所示。

表4 算法參數(shù)設(shè)置

圖9 兩種算法求得的Pareto解集對比

圖9中，NSGA-Ⅱ和INSGA-Ⅱ求解得到的Pareto解集的目標(biāo)函數(shù)變化趨勢相同，即隨著M的增加Pcr也隨之增加，表明在相同算法求解的條件下，需要通過增加結(jié)構(gòu)質(zhì)量的方式提升其安全性。與NSGA-Ⅱ相比，在M相近的情況下，INSGA-Ⅱ的優(yōu)化方案的Pcr值更大，即INSGA-Ⅱ求解得到方案性能更優(yōu)，且INSGA-Ⅱ得到的Pareto解集分布范圍更大、均勻性和連續(xù)性更好。

4.3 部分優(yōu)化方案對比

為驗證INSGA-Ⅱ求解耐壓結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化問題的改進(jìn)效果，在兩個Pareto解集中分別選擇兩個結(jié)果相近的方案(方案1與方案3為一組，方案2與方案4為一組)進(jìn)行兩兩對比，如表5所示。

由表5可知，與初始方案相比，4個方案的設(shè)計參數(shù)中，x5的變化較大，其他設(shè)計參數(shù)變化不明顯，且σmax、σ1、σ2、σ3等約束均是增加的；在滿足約束的條件下，方案1和方案3的M和Pcr較初始方案均有所降低；方案2和方案4的M均較初始方案降低的幅度要小于方案1和方案3，但Pcr的較初始方案有很大幅度提高，表明NSGA-Ⅱ和INSGA-Ⅱ均得到了優(yōu)化的方案，由于不同方案優(yōu)化側(cè)重或程度均有所不同，從而導(dǎo)致這些方案均不是最優(yōu)解，這是因為在優(yōu)化求解過程中，兩個優(yōu)化目標(biāo)M和Pcr之間是相互影響的，過度追求M的降低，可能導(dǎo)致Pcr的降低，在實際設(shè)計中，需要設(shè)計者根據(jù)相關(guān)要求做出選擇。與方案1相比，采用INSGA-Ⅱ算法求得的方案3，質(zhì)量減少176.803 kg，Pcr增加1.81 MPa；與方案2相比，方案4的質(zhì)量減少10.566 kg，Pcr增加0.635 MPa，因此，INSGA-Ⅱ求解得到方案更優(yōu)，進(jìn)一步驗證了INSGA-Ⅱ的有效性。

表5 多目標(biāo)優(yōu)化方案對比

5 結(jié)論

1)通過網(wǎng)格無關(guān)性分析確定了參數(shù)化分析的網(wǎng)格尺寸，實現(xiàn)了設(shè)計變量的篩選和降維，得到了滿足要求的近似模型，以上工作可協(xié)調(diào)計算精度和計算成本之間的矛盾，進(jìn)一步提升了耐壓結(jié)構(gòu)設(shè)計效率。

2)針對傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ在求解多目標(biāo)優(yōu)化時所存在的解集分布性不足的問題，以NDX算子作為交叉算子對NSGA-Ⅱ進(jìn)行了改進(jìn),選擇典型測試函數(shù)對改進(jìn)算法INSGA-Ⅱ進(jìn)行了測試。結(jié)果表明,INSGA-Ⅱ具有處理連續(xù)性問題和非連續(xù)問題的能力，且與傳統(tǒng)NSGA-Ⅱ算法相比，結(jié)果的收斂性和分布性均有提升，證明了INSGA-Ⅱ的可行性。

3)利用INSGA-Ⅱ進(jìn)行了多開孔耐壓結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化求解，選取部分方案與NSGA-Ⅱ得到的優(yōu)化方案進(jìn)行了對比，通過對比表明：INSGA-Ⅱ得到的優(yōu)化方案優(yōu)化效果更優(yōu)，在耐壓結(jié)構(gòu)性能提升方面更加顯著。