基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)偏置比例導(dǎo)引

劉暢，王江，范世鵬，李伶，林德福

(1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京100081；2.北京理工大學(xué) 中國(guó)- 阿聯(lián)酋智能無(wú)人系統(tǒng)“一帶一路”聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，北京100081；3.北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854)

0 引言

隨著現(xiàn)代戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境的日益復(fù)雜，作戰(zhàn)需求給制導(dǎo)問(wèn)題帶來(lái)了一些特殊的限制。在對(duì)地目標(biāo)攻擊等制導(dǎo)問(wèn)題中，為保證殺傷效果、提高戰(zhàn)斗部效能，需要以特定角度攻擊目標(biāo)薄弱部位[1-3]。

目前，一些最優(yōu)制導(dǎo)律由于無(wú)法得到解析解而在工程中難以應(yīng)用，傳統(tǒng)比例導(dǎo)引律[4](PNG)具有所需信息量少、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，工程上得到廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)PNG無(wú)法對(duì)終端交會(huì)角進(jìn)行約束，有學(xué)者在此基礎(chǔ)上提出了偏置比例導(dǎo)引律[5](BPNG)。Kim[6]最先將BPNG引入解決終端交會(huì)角約束問(wèn)題上，設(shè)計(jì)的時(shí)變偏置項(xiàng)與剩余飛行距離相關(guān)。文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種不含線(xiàn)性近似項(xiàng)并將PNG與終端交會(huì)角誤差進(jìn)行反饋的BPNG，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律中包含剩余飛行時(shí)間。文獻(xiàn)[8]為提高反坦克導(dǎo)彈的毀傷效果，設(shè)計(jì)了一種BPNG并研究對(duì)法向過(guò)載的影響，所設(shè)計(jì)的BPNG同樣需對(duì)剩余時(shí)間進(jìn)行估計(jì)。文獻(xiàn)[9]為解決前置角變化較大的問(wèn)題，設(shè)計(jì)了一種可滿(mǎn)足初始前置角及終端交會(huì)角的BPNG，并給出應(yīng)用該制導(dǎo)律時(shí)所需剩余飛行時(shí)間估計(jì)的方法。以上文獻(xiàn)所設(shè)計(jì)的BPNG均需對(duì)剩余飛行時(shí)間進(jìn)行估計(jì)，準(zhǔn)確性直接影響終端交會(huì)角的精度，且推導(dǎo)時(shí)采用小角假設(shè)等條件，在大范圍機(jī)動(dòng)時(shí)并不能成立。若采用紅外制導(dǎo)彈藥，則在硬件需求上會(huì)產(chǎn)生額外的問(wèn)題[10]。因此，無(wú)需估算飛行剩余時(shí)間的BPNG[11-12]優(yōu)勢(shì)更加明顯。

常值偏置比例導(dǎo)引(CBPNG)即在BPN基礎(chǔ)上擴(kuò)展帶有常數(shù)值的偏置項(xiàng)，CBPNG可分為兩部分，一部分是傳統(tǒng)PN，實(shí)現(xiàn)零控脫靶量(ZEM)；另一部分為帶有常數(shù)項(xiàng)的偏置項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)終端交會(huì)角的約束。CBPNG結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無(wú)需復(fù)雜的計(jì)算，尤其是無(wú)需估算飛行剩余時(shí)間，在工程上較有優(yōu)勢(shì)。偏置項(xiàng)精確程度直接影響制導(dǎo)精度，應(yīng)用全程CBPNG時(shí)，仍需對(duì)飛行總時(shí)間進(jìn)行估計(jì)。通過(guò)公式不難發(fā)現(xiàn)，常數(shù)值與前置角、終端交會(huì)角、比例系數(shù)、飛行距離、速度等存在映射關(guān)系。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13](NNs)在擬合逼近復(fù)雜映射關(guān)系方面擁有顯著的優(yōu)勢(shì)。因此，對(duì)于上述映射關(guān)系，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行擬合，無(wú)需對(duì)飛行時(shí)間進(jìn)行估計(jì)，從而提高終端角度與位置的精度。

隨著人工智能技術(shù)的不斷發(fā)展，很多學(xué)者將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法應(yīng)用在制導(dǎo)問(wèn)題上。文獻(xiàn)[14]利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近變系數(shù)非齊次彈道微分方程解算，實(shí)現(xiàn)了潛地導(dǎo)彈落點(diǎn)的快速計(jì)算。文獻(xiàn)[15]應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)實(shí)時(shí)估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)信息，使制導(dǎo)律自適應(yīng)調(diào)整參數(shù)，減少三維運(yùn)動(dòng)模型中的耦合干擾，從而提高制導(dǎo)律的魯棒性。文獻(xiàn)[16]應(yīng)用門(mén)循環(huán)單元神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，將敵我雙方運(yùn)動(dòng)信息作為輸入進(jìn)行訓(xùn)練，解決了敵方攔截彈制導(dǎo)律辨識(shí)問(wèn)題。文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)了一種考慮擾動(dòng)隨機(jī)性的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)制導(dǎo)律，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可對(duì)出現(xiàn)的擾動(dòng)進(jìn)行在線(xiàn)補(bǔ)償。文獻(xiàn)[18]應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提出一種預(yù)測(cè)校正容錯(cuò)制導(dǎo)算法，解決了故障條件下高超聲速飛行器的容錯(cuò)制導(dǎo)問(wèn)題。將升力系數(shù)、阻力系數(shù)的變化量作為輸入量，通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)落點(diǎn)，可避免傳統(tǒng)算法中需大量進(jìn)行積分運(yùn)算的問(wèn)題。文獻(xiàn)[19]通過(guò)飛行仿真得到的當(dāng)前、未來(lái)態(tài)勢(shì)及控制量作為樣本，經(jīng)深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，訓(xùn)練完畢的模型可根據(jù)當(dāng)前信息快速預(yù)測(cè)未來(lái)態(tài)勢(shì)，并能對(duì)空戰(zhàn)態(tài)勢(shì)進(jìn)行評(píng)估。

本文針對(duì)以設(shè)定的終端交會(huì)角精確打擊目標(biāo)的實(shí)際需求，提出一種基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的偏置比例導(dǎo)引(NNCBPNG)方法，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合包括期望終端交會(huì)角θf(wàn)在內(nèi)的多元參數(shù)與偏置項(xiàng)之間的映射關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)在線(xiàn)求解偏置項(xiàng)。首先，建立相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型，證明了常值偏置項(xiàng)與期望終端交會(huì)角之間存在一一映射關(guān)系；然后，針對(duì)前置角、終端交會(huì)角等參量對(duì)偏置項(xiàng)的影響，進(jìn)行靈敏度分析，得到針對(duì)不同參數(shù)的樣本采樣策略。以初始條件與期望終端交會(huì)角作為輸入，以偏置項(xiàng)作為標(biāo)簽，采用上述采樣策略，構(gòu)建參數(shù)均衡的樣本庫(kù)。隨后，采用Adam學(xué)習(xí)律，對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練。最后，將訓(xùn)練完畢的網(wǎng)絡(luò)與傳統(tǒng)的解析求解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文方法可快速得到偏置項(xiàng)常數(shù)，制導(dǎo)精度更高。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及偏置比例導(dǎo)引的分析

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模及偏置導(dǎo)引推導(dǎo)

考慮帶落角約束的精確制導(dǎo)場(chǎng)景，圖1為導(dǎo)彈M與目標(biāo)T之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系。圖1中，v為導(dǎo)彈速度，假設(shè)速度為常值；θ為彈道傾角，q為彈目視線(xiàn)角，η為導(dǎo)彈速度與彈目視線(xiàn)(LOS)的夾角，aM為導(dǎo)彈的加速度指令。

圖1 彈目之間角度關(guān)系

彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：

aMq=aMcos(θ-q)

(5)

存在角度關(guān)系為

η=θ-q

(6)

為達(dá)到期望的終端交會(huì)角，BPNG理論引入一個(gè)常值偏置，其大小與初始條件和終端條件均有關(guān)。

可將彈道傾角角速度表示為

(7)

式中：b為角度控制的偏置項(xiàng)，在CBPNG中為常數(shù)，N為比例系數(shù)。此時(shí)aM為

(8)

對(duì)于(8)式可理解為

aM=aN+ab

(9)

式中：aN為PNG部分，用以減小零效脫靶量；ab為偏置項(xiàng)部分，可將終端交會(huì)角收斂于期望值。

1.2 解析偏置比例導(dǎo)引誤差分析

對(duì)(7)式進(jìn)行積分，得

(10)

式中：θ0為初始彈道傾角，當(dāng)t為終端時(shí)間tf時(shí)，(10)式變?yōu)椋?/p>

(11)

θf(wàn)為終端交會(huì)角，qf為終端彈目視線(xiàn)角。對(duì)于地面固定目標(biāo)，終端速度方向指向彈目視線(xiàn)方向，有θf(wàn)=qf，代入(11)式可得終端交會(huì)角：

(12)

由(12)式可知，通過(guò)調(diào)整偏置比例導(dǎo)引中的偏置項(xiàng)b大小，即可實(shí)現(xiàn)終端交會(huì)角θf(wàn)的控制。

若采用CBPNG，則偏置項(xiàng)常數(shù)與終端角之間的關(guān)系為

(13)

若采用全程偏置比例導(dǎo)引，則公式中tf-t0為飛行總時(shí)間。文獻(xiàn)[6]提出求飛行總時(shí)間的傳統(tǒng)方式：

t=tf-t0=r/v

(14)

應(yīng)用(14)式計(jì)算時(shí)需對(duì)速度、彈目距離進(jìn)行精準(zhǔn)測(cè)量，其精度直接影響常數(shù)選取的誤差。且(13)式的推導(dǎo)過(guò)程中應(yīng)用小角假設(shè)等假設(shè)條件，同樣會(huì)對(duì)常數(shù)的選取產(chǎn)生誤差。

下面討論當(dāng)qf(或θf(wàn))、q0及距離r變化時(shí)對(duì)偏置項(xiàng)常數(shù)b的影響。為減少與偏置項(xiàng)相關(guān)的自變量，這里僅關(guān)注qf、q0的相對(duì)變化量，即qrqf-q0。

(15)

對(duì)于qr的靈敏度分析，設(shè)置的仿真參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 仿真參數(shù)

圖2 視線(xiàn)角變化量對(duì)的影響

對(duì)于初始距離r0，仿真參數(shù)見(jiàn)表2。

表2 仿真參數(shù)

圖3 r0對(duì)的影響

由上述分析可知，(13)式存在誤差，尤其是當(dāng)qr相差較大時(shí)。初始彈目距離較遠(yuǎn)時(shí)，公式存在的誤差同樣不可忽視。目前對(duì)于飛行總時(shí)間的求解方式均存在一定的誤差。由(13)式可知，偏置項(xiàng)常數(shù)b與N、q0、θ0、θf(wàn)、r0等存在非線(xiàn)性映射關(guān)系。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在擬合非線(xiàn)性映射問(wèn)題上有較大優(yōu)勢(shì)。因此，本文在不估計(jì)或求解飛行總時(shí)間的情況下，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表征N、q0、θ0、θf(wàn)、r0與偏置項(xiàng)b的映射關(guān)系。

2 模型與樣本建立

2.1 映射分析

若應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解決上述問(wèn)題，需要證明偏置項(xiàng)常數(shù)b與θf(wàn)等存在映射關(guān)系。下面將給出映射關(guān)系的證明。(13)式可轉(zhuǎn)化為

(16)

上述公式存在誤差是由于小角度假設(shè)及對(duì)飛行總時(shí)間估算不準(zhǔn)確產(chǎn)生的。對(duì)于實(shí)際對(duì)應(yīng)關(guān)系，可加入角度、時(shí)間的偏差項(xiàng)Δη及Δt進(jìn)行補(bǔ)償。將(14)式及Δη、Δt代入(16)式，得：

(17)

式中：N、q0、θ0、r0、v等初始參數(shù)均已知，可看作是常數(shù)。θf(wàn)在通常情況下取負(fù)值，則(17)式變?yōu)?/p>

(18)

θf(wàn)=f(r0,N,q0,θ0,b)

(19)

定理1設(shè)y=f(x),x∈D嚴(yán)格增(減)，則f必有反函數(shù)f-1，且f-1在其定義域內(nèi)f(D)上也是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。

定理1證明：f在D上嚴(yán)格增，因此任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

若x1∈D有，且x1≠x，使f(x1)=y；則y=f(x)非嚴(yán)格增；所以對(duì)每一個(gè)y∈f(D)，有唯一的一個(gè)x∈D，使f(x)=y；從而函數(shù)f存在反函數(shù)x=f-1(y)，y∈f(D)。

對(duì)于任意的y1、y2∈f(D),y1x2，即f-1(y1)>f-1(y2)，則f-1在其定義域f(D)上也是嚴(yán)格減函數(shù)。

由定理1可知，式(19)的反函數(shù)同樣是嚴(yán)格遞增函數(shù)，則同樣有|θf(wàn)|與b存在一一映射關(guān)系，如(20)式所示：

b=f-1(f0,N,θ0,qr)

(20)

對(duì)于(19)式、(20)式可近似為逆變換，在理想情況下，反演是精確的。但由于近似變換或參數(shù)的發(fā)生變化，導(dǎo)致逆過(guò)程出現(xiàn)反演誤差。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可用于表示該非線(xiàn)性逆變換，在離線(xiàn)訓(xùn)練時(shí)使用精確的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行訓(xùn)練，該模型可提供適應(yīng)總飛行包絡(luò)線(xiàn)的近似反演，從而使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線(xiàn)補(bǔ)償該反演誤差。

若將輸入中每個(gè)維度的所有數(shù)據(jù)作為樣本，會(huì)導(dǎo)致樣本量過(guò)多，使計(jì)算量大大增加。每個(gè)維度對(duì)b的影響并不相同，因此可對(duì)每個(gè)維度進(jìn)行靈敏度分析，選擇合適的樣本間隔，采用不同的樣本策略，可在保證精度的情況下減少計(jì)算量。

2.2 靈敏度分析

在優(yōu)化理論中，常常利用靈敏度分析研究原始數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確或發(fā)生變化時(shí)最優(yōu)解的穩(wěn)定性[20]。通過(guò)靈敏度分析可得出參數(shù)對(duì)系統(tǒng)或模型的影響程度。

本節(jié)主要分析r0、N、θ0、qr等參數(shù)變化對(duì)偏置項(xiàng)常數(shù)敏感程度的影響。對(duì)(20)式進(jìn)行求導(dǎo)，得

(21)

根據(jù)2.1節(jié)的分析可知，b與r0、N、θ0、qr存在映射關(guān)系，即存在函數(shù)關(guān)系，因此，(21)式可展開(kāi)為

(22)

根據(jù)(13)式和(16)式，可將(22)式進(jìn)行展開(kāi)，得

(23)

由于(23)式中Δη、Δt是未知參數(shù)，無(wú)法得到此方程的解析解。但可通過(guò)仿真驗(yàn)證的方式判斷每個(gè)參數(shù)的變化對(duì)偏置項(xiàng)常數(shù)b的影響程度。

建立數(shù)據(jù)庫(kù)，給出(20)式中每個(gè)維度的邊界。4個(gè)維度的邊界分別為r0∈(5,10)km，N∈(2,4)，θ0∈(10,20)deg，qr∈(-40,-70)deg。

分析r0的靈敏程度。將其它3個(gè)維度(N,θ0,qr)分為3個(gè)層次，標(biāo)記為f-1(r1)、f-1(r2)、f-1(r3)，參數(shù)分別為(3，10°，-40°)；(3，15°，-55°)；(3，20°，-70°)，3個(gè)參數(shù)代表下限、中值、上限。將3種情況分別進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖4所示。

圖4 r0對(duì)b的影響

從圖4中可以看出，無(wú)論下限值、中值還是上限值，r0變化對(duì)b值的影響相對(duì)較小，即靈敏度較低。但整體呈下降趨勢(shì)，因此r0取值較小時(shí)，樣本選取間隔應(yīng)較小。r0取值較大時(shí)，樣本選取間隔應(yīng)較大。

下面分析b的靈敏程度。將其他3個(gè)維度(r0,N,qr)分為3個(gè)層次，標(biāo)記為f-1(θ1)、f-1(θ2)、f-1(θ3)，參數(shù)分別為(5 000 m，3，-40°)；(7 500 m，3，-55°)；(10 000 m，3，-70°)，3個(gè)參數(shù)代表下限、中值、上限。將三種情況分別進(jìn)行仿真，得到的結(jié)果如圖5所示。

圖5 θ0對(duì)b的影響

從圖5可以看出，無(wú)論是下限值、中值還是上限值，θ0變化對(duì)b值的影響相對(duì)較小，即靈敏度較低。且整體呈平緩趨勢(shì)，因此選取樣本θ0時(shí)間隔可較大。

下面分析qr的靈敏程度。將其他3個(gè)維度(r0,N,qr)分為3個(gè)層次，標(biāo)記為f-1(qr1)、f-1(qr2)、f-1(qr3)，參數(shù)分別為(5 000 m，3，10°)；(7 500 m，3，15°)；(10 000 m，3，20°)，3個(gè)參數(shù)代表下限、中值、上限。將3種情況分別進(jìn)行仿真，得到的結(jié)果如圖6所示。

圖6 qr對(duì)b的影響

從圖6中可以看出，無(wú)論是下限值、中值還是上限值，qr變化對(duì)b值的影響相對(duì)較大。尤其是下限值，隨著qr逐漸增大，誤差越來(lái)越大。由此可知qr變化對(duì)b影響程度大，即對(duì)應(yīng)的靈敏度較高。整體呈上升趨勢(shì)，因此qr越大時(shí)，需要更小的間隔保證精度。

綜上所述，θ0的靈敏度最小，r0的靈敏度次之，qr的靈敏度最大。以上分析為樣本建立提供了均衡分布采樣的策略依據(jù)。

2.3 樣本建立

網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練是指調(diào)整權(quán)重和偏移，以獲得所需輸入輸出關(guān)系的過(guò)程。反向傳播調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值和偏差，使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在輸出層的和平方和誤差最小。通過(guò)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)提供一個(gè)輸入向量，并根據(jù)當(dāng)前的權(quán)重和偏差值計(jì)算輸出，然后在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出與輸入對(duì)應(yīng)的實(shí)際輸出之間誤差的最大梯度方向上不斷改變權(quán)值和偏差的值，直到滿(mǎn)足指定的誤差[21]。根據(jù)式(20)，本文將不同的初始距離r0，導(dǎo)引系數(shù)N，初始彈目視線(xiàn)角q0，初始彈道傾角θ0，期望終端交會(huì)角θf(wàn)作為樣本輸入，經(jīng)過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練得到此狀態(tài)下的偏置比例常數(shù)b。樣本輸入形式為：

(24)

式中：ni表示第i時(shí)刻的輸入向量，上標(biāo)分別代表上述的輸入量，n為輸入步數(shù)。

當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成訓(xùn)練后，利用測(cè)試樣本對(duì)網(wǎng)絡(luò)的泛化能力進(jìn)行檢驗(yàn)[22]。這種泛化特性使得網(wǎng)絡(luò)可以在具有代表性的訓(xùn)練樣本集上進(jìn)行訓(xùn)練，而若測(cè)試樣本集的測(cè)試誤差越小，則認(rèn)為此時(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)魯棒性越強(qiáng)。

根據(jù)上節(jié)分析結(jié)果，在保證精度的同時(shí)，減少訓(xùn)練樣本量，節(jié)約訓(xùn)練時(shí)間。因此，本文對(duì)r0在 5 000～7 500 m范圍內(nèi)采樣步長(zhǎng)為100 m，在7 500～10 000 m范圍內(nèi)采樣步長(zhǎng)為50 m；θ0采樣步長(zhǎng)為1°；qr采樣步長(zhǎng)為0.5°。

3 基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的偏置項(xiàng)常數(shù)估算

3.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[23]是一種具有很強(qiáng)的非線(xiàn)性擬合能力的數(shù)學(xué)方法，可以解決一些應(yīng)用傳統(tǒng)推理模型無(wú)法解決的問(wèn)題。通過(guò)對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中隱含模式的提取，學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，調(diào)節(jié)各節(jié)點(diǎn)的權(quán)重，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出值趨近于期望輸出。其中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[24]結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、具有較強(qiáng)的抗噪和泛化能力而用于擬合各類(lèi)復(fù)雜映射。其主體通常包括輸入層、隱藏層、輸出層，相鄰兩層間的數(shù)據(jù)傳輸通過(guò)權(quán)值傳遞的形式進(jìn)行。每個(gè)神經(jīng)元的輸入數(shù)據(jù)通過(guò)激活函數(shù)進(jìn)行處理，因而每個(gè)神經(jīng)元都需有適用的激活函數(shù)。神經(jīng)元的結(jié)構(gòu)模型如圖7所示。

圖7 神經(jīng)元結(jié)構(gòu)

其數(shù)學(xué)模型如(25)式所示。

(25)

式中：xi為神經(jīng)元第i個(gè)輸入；ωi為對(duì)應(yīng)權(quán)值；b為閾值；f(·)表示激活函數(shù)；y為神經(jīng)元的輸出。其中，Sigmoid函數(shù)具有平滑、易于求導(dǎo)等優(yōu)點(diǎn)得到廣泛應(yīng)用，表達(dá)式為

(26)

其導(dǎo)數(shù)為

f′(x)=f(x)(1-x)

(27)

由(27)式可以看出，Sigmoid函數(shù)可將一個(gè)函數(shù)映射到(0，1)區(qū)間且具有良好的對(duì)稱(chēng)性，因此本文將sigmoid作為激活函數(shù)。對(duì)隱藏層和輸出層的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都按照(25)式計(jì)算輸出值，即完成前向傳播的過(guò)程。

3.2 基于Adam算法的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練

對(duì)于反向傳播的具體流程為：本文選取最小均方誤差作為損失函數(shù)(Loss Function)，即估計(jì)值與實(shí)際值誤差平方的均值，表達(dá)如(28)式所示。

(28)

式中：n為樣本個(gè)數(shù)；y為輸出值，(25)由式得到；為期望輸出值。輸出值與期望輸出值相減后得到誤差后，在網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行傳播。以求解ωhj為例，設(shè)該誤差為Ek，給定學(xué)習(xí)率η，有

(29)

式中：ωhj為第h個(gè)神經(jīng)元與第j個(gè)神經(jīng)元的權(quán)值。根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t，有

(30)

(31)

根據(jù)(25)式、(27)式、(28)式，有

(32)

式中：θj為輸出層第j個(gè)神經(jīng)元的閾值。將(32)式和(31)式代入(30)式，再代入(29)式，就得到了BP算法關(guān)于ωhj的更新公式：

Δωhj=ηgjch

(33)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過(guò)程，就是通過(guò)上述反向傳播，利用梯度下降等算法不斷優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，使上述網(wǎng)絡(luò)的誤差平方和最小。(33)式中的學(xué)習(xí)率恒定，致使收斂較慢。本文采用的Adam學(xué)習(xí)方法，結(jié)合了Momentum及RMSprop算法各自的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了學(xué)習(xí)率自適應(yīng)調(diào)節(jié)，從而加速網(wǎng)絡(luò)收斂[25]。當(dāng)更新方向發(fā)生變化時(shí)，減少權(quán)重變化量，反之則增大權(quán)重變化。因此，本文采用Adam算法對(duì)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行訓(xùn)練。

基于Adam算法的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)α更新公式為

(34)

(35)

式中：αt為更新前參數(shù)；αt+1為更新后參數(shù)；η為學(xué)習(xí)率；mt為梯度1階力矩，vt為梯度2階力矩，通過(guò)計(jì)算偏差修正1階和2階力矩估計(jì)減小偏差；m′t為1階力矩估計(jì)，v′t為2階力矩估計(jì)，β1、β2為超參數(shù)，用于修正1階和2階力矩估計(jì)，本文分別取0.9和0.99；ε為平滑項(xiàng)，防止被零除，⊙為按元素乘運(yùn)算符。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、規(guī)模與計(jì)算量、求解精度密切相關(guān)。本文待擬合的映射關(guān)系具有單調(diào)性，復(fù)雜度相對(duì)較小，設(shè)定隱含層為3層，每層神經(jīng)元個(gè)數(shù)為15個(gè)，各層之間采用全連接方式，計(jì)算代價(jià)較小。根據(jù)3.1節(jié)基于靈敏度分析的樣本采樣策略，利用數(shù)學(xué)仿真批量生成樣本，完成BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練后即可在線(xiàn)使用。基于TensorFlow-1.13.0-GPU版構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，顯卡型號(hào)為RTX 2060 6G，訓(xùn)練算法為Adam算法，學(xué)習(xí)率為0.001。本文的技術(shù)架構(gòu)如圖8所示。

圖8 樣本構(gòu)建與模型訓(xùn)練

下面討論b的有界性。對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的最后一層，有

h=f(ω·x+c)
y=ω·h+c

(36)

式中：ω、c分別為神經(jīng)元的權(quán)值和閾值。(36)式可寫(xiě)成范數(shù)形式為

‖y‖=‖ω·h+c‖

(37)

等式右邊由范數(shù)三角不等式有：

‖ω·h+c‖≤‖ω·h‖+‖c‖

(38)

對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最后一層的輸入h，即為前一層的輸出。本文的激活函數(shù)為sigmoid函數(shù)，因此其值域?yàn)閇0，1)。因此有‖ω·h‖≤‖ω‖，因此(38)式可變?yōu)?/p>

‖ω·h+c‖≤‖ω‖+‖c‖

(39)

由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)可知，ω、c中的值為網(wǎng)絡(luò)參數(shù)，只要訓(xùn)練后的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)有界，根據(jù)(39)式，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出，即偏置項(xiàng)b，就是有界的，則該制導(dǎo)律即為穩(wěn)定的。因此，當(dāng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)完成訓(xùn)練后，必須對(duì)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)要進(jìn)行穩(wěn)定性檢驗(yàn)，本文要求最后一層權(quán)值滿(mǎn)足‖ω‖≤10，‖c‖≤10。

4 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證提出方法的有效果，仿真驗(yàn)證分三部分。第一部分為當(dāng)打擊靜止目標(biāo)時(shí)，與CBPNG的對(duì)比驗(yàn)證；第二部分為當(dāng)打擊低勻速目標(biāo)時(shí)與CBPNG的對(duì)比驗(yàn)證；第三部分進(jìn)行蒙特卡洛仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比當(dāng)考慮導(dǎo)引頭不確定性時(shí)，所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律相較于CBPNG優(yōu)勢(shì)明顯。

4.1 打擊靜止目標(biāo)時(shí)與CBPNG對(duì)比驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的制導(dǎo)律相較于原始CBPNG方法精度更高，本節(jié)將進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。仿真相關(guān)參數(shù)如表3所示。

表3 仿真參數(shù)

期望終端交會(huì)角分別為-40°、-60°、-80°，圖9為傳統(tǒng)偏置比例導(dǎo)引與本文所提出的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)偏置比例導(dǎo)引對(duì)比仿真的結(jié)果。

圖9 兩種制導(dǎo)律對(duì)比驗(yàn)證

終端交會(huì)角對(duì)比如表4所示，脫靶量對(duì)比如表5所示。

表4 終端交會(huì)角

表5 脫靶量

由表4和表5可以看出，雖然兩種制導(dǎo)律均可精確命中目標(biāo)，但在終端交會(huì)角上，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律相較于CBPNG精度有明顯優(yōu)勢(shì)。尤其是大角度范圍機(jī)動(dòng)時(shí)，NNCBPNG相較于CBPNG的優(yōu)勢(shì)更為明顯。

4.2 打擊低勻速目標(biāo)時(shí)與CBPNG對(duì)比驗(yàn)證

由于在模型建立與樣本生成時(shí)，并未考慮目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度，因此訓(xùn)練完畢的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型僅能適用于靜止或低速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)，為驗(yàn)證基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的偏置比例導(dǎo)引的魯棒性，本節(jié)仿真條件考察對(duì)低速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的打擊精度。同樣期望終端交會(huì)角θf(wàn)分別設(shè)為-40°、-60°、-80°，當(dāng)目標(biāo)水平勻速運(yùn)動(dòng)或垂直勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，仿真參數(shù)如表6和表7所示。

表6 水平運(yùn)動(dòng)仿真參數(shù)

表7 垂直運(yùn)動(dòng)目標(biāo)仿真參數(shù)

圖10為目標(biāo)勻速水平勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果，圖11為目標(biāo)垂直勻速水平運(yùn)動(dòng)時(shí)的仿真結(jié)果。

由圖10和圖11可以看出，雖然兩種制導(dǎo)律均可精確命中目標(biāo)，但在終端交會(huì)角上，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律相較于CBPNG精度有明顯優(yōu)勢(shì)。與目標(biāo)靜止對(duì)比驗(yàn)證相似，尤其是大角度范圍機(jī)動(dòng)時(shí)，NNCBPNG相較于CBPNG精度優(yōu)勢(shì)更加明顯。由此可見(jiàn)該制導(dǎo)律可憑借其魯棒性，實(shí)現(xiàn)對(duì)低速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的精確打擊，從而表明該制導(dǎo)律適用于精確打擊裝甲車(chē)、坦克和直升機(jī)等一類(lèi)目標(biāo)。

圖10 目標(biāo)勻速水平運(yùn)動(dòng)時(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖11 目標(biāo)勻速垂直運(yùn)動(dòng)時(shí)仿真驗(yàn)證

4.3 蒙特卡洛仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證不同場(chǎng)景下的制導(dǎo)性能，采用蒙特卡洛仿真方法進(jìn)行驗(yàn)證。導(dǎo)彈坐標(biāo)為(0，0)，其他初始條件相關(guān)參數(shù)分布均勻，速度為300 m/s，導(dǎo)航系數(shù)設(shè)為3，其余參數(shù)從表8的范圍中隨機(jī)選取。

表8 仿真參數(shù)

從表8的參數(shù)范圍中，隨機(jī)抽取300組不同的目標(biāo)位置，用以驗(yàn)證訓(xùn)練模型的準(zhǔn)確性。實(shí)際終端交會(huì)角誤差如圖13所示。

圖12 蒙特卡洛仿真結(jié)果

由圖13可知，訓(xùn)練完畢的模型精度較高。其中，最大誤差為0.115°，最小誤差為0.001 7°。誤差平均值為0.030 58°，標(biāo)準(zhǔn)誤差為0.047 2°，由此可見(jiàn)誤差離散程度小，制導(dǎo)精度較高。

圖13 高斯白噪聲

考慮到導(dǎo)引頭的不確定性，以典型的雷達(dá)導(dǎo)引頭為例，導(dǎo)引頭不確定性主要包括閃爍噪聲、接收機(jī)噪聲。通常情況下可視為高斯白噪聲[26]。在4.2節(jié)的仿真參數(shù)基礎(chǔ)上，在導(dǎo)引頭測(cè)量信息中引入均值為0，方差為0.6°/s的白噪聲，其值如圖14所示。

圖14 兩種制導(dǎo)律對(duì)比驗(yàn)證

與4.2節(jié)中參數(shù)相同，期望終端交會(huì)角分別設(shè)為-40°、-60°、-80°，進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真。圖15為CBPNG與本文所提出的NNCBPNG對(duì)比仿真的結(jié)果。

采用CBPNG得出的終端交會(huì)角為-42.53°、-67.20°、-89.11°，采用本文方法得到的終端交會(huì)角為-40.36°、-60.85°、-81.16°。由此可見(jiàn)，在終端交會(huì)角控制精度方面，相較于傳統(tǒng)CBPNG，本文提出的NNCBPNG優(yōu)勢(shì)顯著。

根據(jù)上述仿真分析可知，無(wú)論是打擊靜止、勻速目標(biāo)或存在系統(tǒng)不確定性的蒙特卡洛仿真，本文基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律相較于傳統(tǒng)CBPNG在終端角度的控制精度方面有明顯優(yōu)勢(shì)，尤其是在前置角較大的大范圍機(jī)動(dòng)情況下更為顯著，因而可有效地增強(qiáng)導(dǎo)彈的侵徹深度和毀傷效果。另一方面，由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)不可避免地占用存儲(chǔ)空間，同時(shí)還需要一定計(jì)算量。本文所使用的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模，存儲(chǔ)量在2K以?xún)?nèi)，在Core i5 PC平臺(tái)上的計(jì)算平均時(shí)間(500次)在0.3 ms以?xún)?nèi)。

5 結(jié)論

本研究將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用在求解CBPNG常數(shù)項(xiàng)的問(wèn)題上。首先，說(shuō)明公式求解常數(shù)項(xiàng)時(shí)，存在控制精度較差的問(wèn)題；其次，通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)證明了b與N、q0、θ0、θf(wàn)、r0等參數(shù)間存在映射關(guān)系，并通過(guò)靈敏度分析，得到各參數(shù)與b的相關(guān)性，以此保證所構(gòu)建樣本的均衡性；再次，通過(guò)樣本策略進(jìn)行樣本建立，得到訓(xùn)練完畢的模型；最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證說(shuō)明訓(xùn)練完畢的模型與公式相比精度更高。CBPNG由于模型簡(jiǎn)單，對(duì)工程應(yīng)用提供了參考，若將訓(xùn)練完畢的模型應(yīng)用其中，可大大降低計(jì)算成本。

然而，本文僅針對(duì)縱向平面運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行建模與分析，并沒(méi)有考慮導(dǎo)彈的彈體動(dòng)力學(xué)，這將會(huì)使模型在工程應(yīng)用中的制導(dǎo)精度受到一定的影響，同時(shí)，本文僅針對(duì)靜止目標(biāo)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，僅適用于靜止或緩慢運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)。因此，在后續(xù)研究中將考慮彈體動(dòng)力學(xué)和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)等因素。