婁汝馨 ,崔 嵬
(1.保定學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)與軟件工程學(xué)院,河北 保定 071000;2.天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,天津 300387)
二重?cái)?shù)值積分在科學(xué)計(jì)算中具有非常重要的作用,關(guān)于矩形域上的數(shù)值積分方法已有一些研究成果,張凱院給出了單位正方形區(qū)域上的一個(gè)數(shù)值求積公式[1],邢會(huì)超等給出了矩形域上的梯形求積公式、拋物線求積公式、復(fù)化梯形求積公式和復(fù)化拋物線求積公式[2],陳亞婷等把一個(gè)區(qū)間[a,b]上具有7次代數(shù)精確度的求積公式應(yīng)用到矩形域,并給出了截?cái)嗾`差估計(jì)[3].而對(duì)于不規(guī)則區(qū)域的二重?cái)?shù)值積分的研究相對(duì)較少,何洪英等給出了坐標(biāo)平面上的兩組通用計(jì)算公式,并通過數(shù)值算例給出了八類積分區(qū)域的分割方法[4],但沒有給出具體節(jié)點(diǎn)以及節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的權(quán)重系數(shù),朱振廣則用Simpson方法和三點(diǎn)Gauss公式構(gòu)造出復(fù)雜區(qū)域上的一種二重積分計(jì)算方法[5].
本文將針對(duì)圓域上的二重積分,給出區(qū)域的分割方法,確定節(jié)點(diǎn),并建立數(shù)值積分公式.
圓形區(qū)域上的數(shù)值積分,沒有現(xiàn)成的公式可以套用,下面嘗試將圓域分割成矩形域進(jìn)行近似計(jì)算.對(duì)于圓的切分,最直觀的想法是做過圓心的若干直線將其等分.下面以圓心位于原點(diǎn)、半徑為r的圓域?yàn)槔M(jìn)行說明.
首先利用坐標(biāo)軸將其四等分.過圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn),做平行于坐標(biāo)軸的直線,將圓域“罩起來”,此記為第一次分割(見圖1),此時(shí)整個(gè)區(qū)域是由2個(gè)矩形組成,規(guī)定x軸上方的為D1,x軸下方的為D2,此時(shí)分割圓弧所對(duì)的圓心角為α1=2-1π,可以把圓域上的積分近似用矩形域來代替,但此時(shí)矩形域會(huì)多出很大一部分,誤差明顯很大.
圖1 第一次分割
為了減小誤差,繼續(xù)分割,對(duì)圓周八等分.此時(shí)整個(gè)區(qū)域由4個(gè)矩形組成,圓弧所對(duì)的圓心角為α2=2-2π,規(guī)定由上到下的小矩形區(qū)域分別是D1、D2、D3、D4,此次分割記為第二次分割(見圖2),每個(gè)區(qū)域的范圍是:
圖2 第二次分割
區(qū)域誤差有所減小,繼續(xù)進(jìn)行第三次分割(見圖3),此時(shí)整個(gè)區(qū)域由8個(gè)矩形組成,圓心角為α3=2-3π,每個(gè)區(qū)域的范圍是:
圖3 第三次分割
隨著分割的次數(shù)增加,誤差逐漸減小,分割一直持續(xù)下去,到第n次分割,此時(shí)把圓形區(qū)域轉(zhuǎn)換成了2n個(gè)矩形區(qū)域,圓心角為αn=2-nπ,每一個(gè)區(qū)域的范圍如下:
由二重積分的可加性,圓域D={(x,y)|x2+y2≤r2}上的積分可近似等于每個(gè)小矩形域上的積分之和,即
當(dāng)把圓域n等分時(shí),記Di={(x,y)│xi≤x≤xi+1,yi≤y≤yi+1},可知:xi=-r sin iαn,xi+1=r sin iαn,yi=r cos iαn,yi+1=r cos(i-1)αn.在每個(gè)小區(qū)間上使用二重積分的梯形求積公式,得
其中 1≤i≤2n-1,i∈Z,且 hxi=2 sin iαn,hyi=cos(i-1)αn-cos iαn.
同理可得,
其中 2n-1+1≤j≤2n,j∈Z,且 hxj=2 sin(2n+1-j)αn,hyj=cos(2n-j)αn-cos(2n+1-j)αn.把上面兩部分區(qū)域的積分累加,得圓域上的梯形求積公式:
這時(shí),hxi、hyi、hxj、hyj是不依賴于函數(shù) f(x,y)和區(qū)域半徑 r的常數(shù),可以事先計(jì)算出來.
觀察圓域上的梯形求積公式(*)不難發(fā)現(xiàn),求積公式的本質(zhì)為節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值的加權(quán)求和,而梯形求積公式的節(jié)點(diǎn)大都分布在圓域的邊界線附近,如果被積函數(shù)是關(guān)于x和y的單調(diào)函數(shù),勢(shì)必會(huì)引起較大的誤差,為了緩解由此帶來的影響,可采取加密節(jié)點(diǎn)的策略,即在每個(gè)小矩形域上使用復(fù)化梯形或復(fù)化拋物線求積公式進(jìn)行計(jì)算.
由于在圓域分割為矩形域的過程中,y軸方向已經(jīng)進(jìn)行了多次分割,可以只考慮在x軸方向上加密節(jié)點(diǎn)即可.
當(dāng)把圓域分割n次時(shí),圓域被近似分成2n個(gè)矩形區(qū)域(分割圖可參考圖3),并且D1與D2n,D2與D2n-1,…,D2n-1與D2n-1+1均關(guān)于x軸對(duì)稱,對(duì)x軸分割后分點(diǎn)各自對(duì)應(yīng)相等.下面不妨以x軸上方的區(qū)域Di為例來說明復(fù)化求積的思想.Di=({x,y)│-r sin iαn≤x≤r sin iαn,r cos iαn≤y≤r cos(i-1)αn},由于-r sin iαn≤x≤r sin iαn,把區(qū)間[-r sin iαn,r sin iαn]m 等分,分點(diǎn)為.
其他區(qū)域做類似變換即可.
計(jì)算二重積分?x2+y2≤1e-(x2+y2)d x d y.
解:1)計(jì)算積分精確值.做極坐標(biāo)變換,得
2)利用復(fù)化梯形求積公式(**),取 n=10,m=1,2,4,6,8,10(m=1 即為梯形求積公式)分別計(jì)算出近似值和誤差的絕對(duì)值見表1.
表1 復(fù)化梯形求積公式計(jì)算結(jié)果
3)結(jié)果分析:由表1可以看到,當(dāng)給定n值,m由小逐漸增大的過程中,計(jì)算值的誤差逐漸減小,并最終趨向于零,誤差隨m變化的趨勢(shì)見圖4.
圖4 誤差走勢(shì)
從計(jì)算結(jié)果可以看出,用上述復(fù)化梯形求積公式求解圓域上的二重積分具有理論意義和應(yīng)用價(jià)值.
本文給出了用復(fù)化梯形求積公式求圓域上的二重積分的構(gòu)造方法以及結(jié)果,并通過數(shù)值算例展示了誤差的變化趨勢(shì),但還需進(jìn)行嚴(yán)格的理論證明.未來,筆者將繼續(xù)深入研究數(shù)值積分,嘗試采用不對(duì)等剖分[6]或者分離截?cái)嗾`差與舍入誤差的策略[7]提高算法的精度,并把數(shù)值積分方法推廣到更一般的不規(guī)則區(qū)域.