環(huán)形混凝土截面壓彎承載力逆算法的解析解

章勝平 陳 旭 蘭樹偉

(1. 昆明理工大學 建筑工程學院， 昆明 650504； 2. 昆明學院 建筑工程學院， 昆明 650214)

圓形或環(huán)形混凝土截面具有美觀、風阻小、水流阻力小等優(yōu)點，采用離心法、快速抽芯法工藝施工經濟，在現澆或預制柱墩、管柱、管樁中應用日益廣泛[1]．現有規(guī)范圓形或環(huán)形截面壓彎承載力計算簡化公式存在一些假定條件[2]，不是精確解．如，圓形或環(huán)形混凝土截面公式假定為均勻配筋，而在實際工程中，抗滑樁、支護樁、橋墩等圓形或環(huán)形構件具有直徑大、彎曲方向單一并且方向明確的特點，若均勻配筋，受壓區(qū)、中性軸附近鋼筋應力小，造成材料浪費和經濟損失[3]．混凝土等效矩形應力模型是基于矩形截面假定，在等效合力假定條件下圓形或環(huán)形截面合力比矩形截面更靠近中性軸[4]，若再假定相同合力位置則高估了承載力，偏于不安全．另外，規(guī)范簡化公式是以受壓區(qū)高度對應的圓心角為未知量，簡化公式不是圓心角的單調函數，在迭代法程序中，若假定的圓心角初值不在精確解附近則可能造成難以收斂或不收斂情況．

文獻[5]給出圓形和環(huán)形截面抗滑樁的非均布配筋計算方法，但沒有考慮矩形截面假定對等效矩形應力參數的影響．環(huán)形混凝土截面除了考慮截面寬度非線性，還應考慮受壓區(qū)與內圓之間的關系[6-7]．壓彎承載力計算準確性取決于混凝土等效應力計算的準確性，美國ACI協(xié)會研究報告[8]分析了高強混凝土實驗結果反算得到的等效矩形應力參數，文獻[9]基于理論推導提出了等效三角形應力的一套參數，文獻[10]對應變梯度影響的等效矩形應力參數進行了實驗研究，文獻[11]對非矩形截面參數進行了實驗研究．為此，本文按照由應變計算內力的逆算法(不需要迭代)，基于數值條帶逆算法，理論推導了環(huán)形混凝土截面等效矩形應力參數的一套解析解，獲得環(huán)形截面均勻、非均勻、對稱、非對稱配筋壓彎承載力計算的統(tǒng)一電算方法．

1 解析解推導

本文解析解推導基于逆算法[12-13](已知應變求內力)，在數值條帶法基礎上，進一步將應力-應變本構方程代入積分，解析求解積分，計算內力再反算等效矩形應力參數，獲得解析解．

1.1 正截面承載力計算逆算法

逆算法不同于數值迭代法，不需要假定應變．數值迭代法也稱為應變協(xié)調分析，當截面特性和軸力(N)已知時，假定應變3～5次，鋼筋應力按照本構關系曲線，混凝土應力按照本構曲線或等效矩形應力塊，若所假定應變滿足軸力平衡方程的允許誤差(δ)，則由應變求出彎矩(M)極限值，如圖1(a)所示．數值迭代法需要軟件操作人員知曉如何假定應變，理解允許誤差，能根據承載力合理調整允許誤差大小，對結果具有一定的判斷能力．雖然該法比現有規(guī)范簡化方法更精確，但用于實際工程不方便．

圖1 正截面承載力計算

逆算法是已知截面特性，按照極限狀態(tài)所有可能的應變，按照本構曲線，得到所有可能的彎矩-軸力極限值．利用插入法函數，獲得已知軸力對應的彎矩極限值，如圖1(b)所示．計算過程中積分求解能用數值積分(1.2節(jié))，也能用解析法(1.3節(jié))．解析法用普通計算機程序計算僅需1～2 s．數值法電算時間略多于解析法，與條帶劃分數量有關，條帶劃分數量對結果的精度也有影響．數值法能用于迭代算法，也能用于不迭代算法，本文數值法指基于逆算法的數值積分條帶法(不需要迭代)．

1.2 等效矩形應力參數的積分公式

分別以環(huán)形截面外圓圓周和內圓圓周幾何坐標為變量(見圖2(a))，建立圓心角與應變之間的關系

(1)

式中：ε為圓心角θ對應的外圓應變；εi為圓心角θ對應的內圓應變；εc1為下緣應變；εc為上緣應變；r為無量綱化外圓半徑；ri為無量綱化內圓半徑；R為外圓半徑；Ri為內圓半徑，下標i表示內圓．

圖2(b)五個應變區(qū)域表示了極限狀態(tài)所有可能的應變，從區(qū)域①變化至區(qū)域⑤，混凝土受壓邊緣應變εc可能小于極限值，鋼筋(受拉)也可能未屈服．按照圖2(b)五個應變區(qū)域，確定式(1)應變εc1和εc的取值，可得正截面承載力所有可能的彎矩-軸力極限值[14]．這五個區(qū)域按照應變變化規(guī)律劃分，從軸心受拉開始，最終到達軸心受壓．區(qū)域①中εs固定為極限應變(1%)，εc由1%變化至0；區(qū)域②εs固定為極限應變(1%)，εc由0至極限應變(εcu)；區(qū)域③εc固定為εcu，εs由1%至εy；區(qū)域④εc固定為εcu，由εs為1%至εc1為0；區(qū)域⑤εr固定為ε0，εc由εcu至ε0．區(qū)域①全部受拉，屬于小偏心受拉的范圍；區(qū)域①、②界限為大、小偏拉臨界；區(qū)域②、③屬于大偏心受拉、純彎、大偏心受壓；區(qū)域③、④界限為大、小偏壓臨界；區(qū)域④、⑤屬于小偏心受壓；區(qū)域⑤全部受壓．

圖2 應變圖

(2)

式中：ε0為混凝土軸壓應變極限；fc為混凝土軸心抗壓強度．

則，混凝土應力與應變之間的關系可表示為

(3)

式中：εcu為混凝土壓彎應變極限．

需要說明的是，式(3)第1式表示混凝土受拉時應力為0，這是較多混凝土結構設計規(guī)范對正截面承載力計算所采用的基本假定．由此假定可知當應變位于圖2區(qū)域①時(小偏心受拉區(qū))，混凝土應力為零，拉力完全由鋼筋承擔，因此本文的混凝土等效矩形應力參數對此區(qū)域不做分析．

假想環(huán)形截面內圓充滿同樣的材料，則環(huán)形截面內力等效于外圓內力減去內圓內力，如圖3所示．

圖3 內力計算

沿高度方向將截面劃分為若干個條帶，條帶寬度、高度和偏心距如圖3所示，則外、內圓軸力(N)與彎矩(M)分別為

(4)

(5)

無量綱化軸力(n)和彎矩(m)分別為

(6)

(7)

已知軸力和彎矩，可以反算設計參數．環(huán)形與矩形截面不同，混凝土合力位置不在矩形應力塊高度中點，有受壓區(qū)高度系數還需再計算合力位置．因此本文參考德國規(guī)范[15]，假定受壓區(qū)高度系數β1=1，即虛擬應力塊高度=真實受壓區(qū)高度．等效矩形應力參數選擇應力參數α和力臂參數k，其優(yōu)點是按照力臂參數可以直接建立彎矩方程，這對非矩形受壓區(qū)設計使用更方便．α和k計算式為

(8)

式中：S和Si分別為外圓受壓區(qū)面積和內圓受壓區(qū)面積；X為受壓區(qū)高度；s、si和x分別是這3個變量的無量綱化．

(9)

內圓圓心角與受壓區(qū)的位置有關，受壓區(qū)高度可能在內圓上部、內圓范圍或者包括整個內圓，因此內圓圓心角有3種情況(如圖4所示)．內圓圓心角計算公式為

(10)

圖4 3種受壓區(qū)

將式(6)、(7)數值積分，代入式(8)得到設計參數的數值解．數值積分是一種相對精確計算方法，如圖5所示．

圖5 數值法計算框圖

為了分析數值法計算的特點，計算分析了條帶劃分數量對參數的影響，結果如圖6所示．計算中采用了如下假定條件．

1)ri=0.7，ε0=-2‰，εcu=-3.3‰，εy=2.175‰．

2)下緣鋼筋與截面近邊緣距離as=0.2R．

圖6 條帶數量的影響

從圖6可以看出，隨著條帶數量增加，α和k在收斂，說明編程正確．對于α，30個條帶和100個條帶兩條曲線幾乎重疊(如圖6(a)所示)，說明α對條帶劃分數量不太敏感．對于k，30個條帶曲線數據波動大，100個條帶曲線數據波動較小(如圖6(b)所示)，說明k對條帶劃分數量敏感．由此可見，數值法在軟件應用時，使用者需要知曉什么變量對結果影響大．另外，在設計中提供多種方法，還能用于結果的相互驗證．

1.3 等效矩形應力參數的解析解

數值法是采用數值積分(如梯形法)計算內力公式的積分，解析法則是將應力本構方程代入積分，解析求解，獲得解析解．在數值法基礎上，解析法還須進一步考慮應力分段函數、受壓區(qū)范圍等情況，根據不同情況推導相應的解析解．環(huán)形截面解析解推導，建立在圓形截面基礎上，圓形截面應力圖分為圖7所示的3種情況．

圖7 3種應力圖

對3種應力圖，假設參數α1和k1表示拋物線應力情況解析解，α2和k2表示拋物線-矩形應力情況，α3和k3表示全部壓應力情況．將式(3)代入式(6)、(7)，化簡、整理，得到圓形截面等效矩形應力參數的解析解

立體幾何的學習，一般體現為“直觀感知——操作確認——思辨論證——度量計算”這樣一個認知過程．本題給出圖形便于學生感知，第一問要求學生進行論證，并在此基礎上進行度量計算，考查學生的觀察、想象、分析、判斷及推理能力．立體幾何的學習需要學生具備必要的空間想象能力、推理論證能力和運算能力，這對于學生后繼學習具有重要意義，更是相關技術職業(yè)工作必不可少的基礎能力．

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中：θ0為圖7(b)、(c)所示應變ε0對應的圓心角．

利用外圓、內圓參數解析解，得到環(huán)形混凝土截面等效矩形應力參數解析解

(17)

解析法計算框圖是在數值法框圖基礎上，利用解析解計算彎矩、軸力和參數．在選擇公式時，解析法設置條件語句，如上緣應力未塑化選擇公式(11)、(14)，上緣應力塑化選擇公式(12)、(15)．從計算公式看，解析解公式冗長復雜，推導或程序編制過程，可能出錯，因此需要與數值解不斷地對比、校正，以獲得最終正確的解析解．另外，相比規(guī)范簡化方法，解析解是精確解．解析解能用于軟件設計，也能用于簡化方法推導與驗證．

1.4 解析解驗證

按照圖6假定條件，采用解析法計算等效矩形應力參數，結果如圖8所示．從圖8可見，數值解收斂于解析解，由此解析解獲得驗證．

圖8 解析解的驗證

另外，從圖8曲線數值分析還可以看出：

1)應力參數α曲線變化幅度較大，從0變化至1，力臂參數k曲線變化幅度小，數值在0.4左右．

2)當混凝土上緣應變達到極限值(εc=-3.3‰)，純彎、大偏壓和小偏壓破壞的區(qū)域③和④，α曲線數值為0.76至0.845，k曲線數值為0.37至0.465．

3)小偏壓破壞的區(qū)域⑤，隨著偏心距減小趨近于軸心受壓，α曲線數值從0.78逐漸增加趨近于1，k曲線數值從0.4逐漸增加趨近于0.5．

2 解析解算例

基于1.3節(jié)等效矩形應力參數解析解，鋼筋按照應變計算應力，能夠實現均勻、非均勻、對稱、非對稱配筋壓彎承載力計算的統(tǒng)一公式，即

(18)

式中：Asi、σsi和zsi分別表示第i根鋼筋的截面面積、應力和高度坐標，高度坐標以形心軸為原點，向下為正．

需要說明的是，通常簡化方法將受力鋼筋等效為鋼環(huán)，這存在一定程度的簡化，而實際上在應變已知的條件下對每根鋼筋單獨計算應力、內力在程序實現上沒有難度，因此式(18)對鋼筋內力采用直接疊加法．

已知非對稱配筋環(huán)形混凝土截面受彎構件(如圖9所示)，僅在受拉區(qū)120°角范圍內均勻布置7根Φ22鋼筋(受拉鋼筋截面面積As=2 661 mm2)，其它部分配置構造鋼筋，鋼筋抗拉強度設計值fy=360 N/mm2，鋼筋受拉屈服應變εy=1.8‰，混凝土抗壓強度設計值fc=14.3 N/mm2．

圖9 壓彎承載力算例

假設截面為區(qū)域④的小偏壓狀態(tài)，εs=-1.05‰，εc=-3.3‰，按照自編程序進行壓彎承載力計算，則應力參數α=0.832，力臂參數k=0.366，應變和應力結果如圖9所示，軸力Nu=-145 kN(受壓)，彎矩Mu=150 kN·m．

3 結 論

按照正截面承載力計算的逆算法，不需要迭代，推導了環(huán)形混凝土截面混凝土應力設計參數解析解，建立了均勻、非均勻、對稱、非對稱配筋壓彎承載力計算的統(tǒng)一公式，可以獲得下列結論：

1)解析法公式雖然復雜，但解析解是精確解，數值解收斂于解析解，本文推導的解析法提供了一種工程實用設計的電算方法．

2)非矩形受壓區(qū)截面等效應力模型，合力位置不在受壓區(qū)高度中點，假定受壓區(qū)高度系數=1，設計參數選擇應力和力臂參數，設計使用更直觀．按照不同受力的可能應變計算，設計參數不是常量，應力參數從0變化至1，力臂參數約為0.4．

3)以應變?yōu)橐阎?，單獨計算鋼筋內力再疊加，不需要轉化為等效鋼環(huán)．