高維解析Jacobi算子的Lyapunov指數(shù)的log-H?lder連續(xù)性

尤安迪，陶凱

(河海大學(xué)理學(xué)院,江蘇 南京 210098)

0 引言

在本文中，我們將研究定義在l2()上的如下擬周期解析Jacobi算子

(1)

其中V:d→是一個實解析函數(shù)，a:d→是一個復(fù)解析函數(shù)且不恒為d被稱為初相，被稱為頻率．

因此,我們定義

(2)

則

是一個Jacobi斜積流.

顯然，如果我們定義

為系統(tǒng)的n步轉(zhuǎn)移矩陣，則

在本文中,我們主要考慮系列的Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性問題. 首先，我們定義有限Lyapunov指數(shù)

顯然，它們是滿足次可加性的，即對任意大于零的正整數(shù)m,n，都有

nLn+mLm≥(m+n)Lm+n.

(3)

此即為本系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)．

(4)

至此，我們介紹本文中的主要結(jié)論：

f(x,y)=sin2πx-sin2πy.

離散哈密頓算子的Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性問題一直是本領(lǐng)域內(nèi)的熱點問題．在文獻[1]中，Goldstein-Schlag研究了定義在一維環(huán)面上的解析離散薛定諤方程

(Sx,ωφ)(n)=φ(n+1)+φ(n-1)+v(x+nω)φ(n),n∈

(5)

他們開創(chuàng)性地使用了大偏差定理和雪崩原理(具體定義見下一節(jié))來研究這一問題，證明了當(dāng)勢能v是一維解析函數(shù)且頻率ω為強Diophantine數(shù)時，算子的Lyapunov指數(shù)關(guān)于能量E是H?lder連續(xù)的．此后，包括菲爾茲獎得主J.Bourgain,A.Avila等人，都利用這一套工具研究相關(guān)算子的Lyapunov 指數(shù)各類問題，如文獻[2-4]．另一方面, 尤建功與王奕倩等人在文獻[5-6]中也給出了Lyapunov指數(shù)不連續(xù)的例子．最近， 韓瑞和張世文在文獻[7]中研究了薛定諤算子(5)在任意無理數(shù)頻率下的H?lder連續(xù)性問題，而陶凱在文獻[8]中將這一結(jié)果推廣到了本文中所研究的更一般的Jacobi 算子(1)上．

與本論文直接相關(guān)的是文獻[9-10]． 在文獻[9]中，陶凱研究了定義在一維環(huán)面上的解析Jacobi算子(1)式的同類問題．而在文獻[10] 中，陶凱研究了高維解析斜積流所對應(yīng)的Lyapunov 指數(shù)的連續(xù)性問題，即

(6)

1 準(zhǔn)備工作

在本節(jié)，我們主要進行主定理證明的準(zhǔn)備工作．

首先，需要說明的是，對于Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性問題，我們只要考慮算子譜集上的能量E即可．這是因為，在預(yù)解集上，其是一個C∞函數(shù)．注意到，此算子的譜必然在如下的閉區(qū)間中：

(7)

所以在本文中，我們只需要考慮E∈ε上的證明即可．

其次，在上一節(jié)，我們說過，Goldstein-Schlag[1]創(chuàng)造性地給出了一套證明Lyapunov指數(shù)連續(xù)性的方法，此后，包括上述所提到的所有文獻在內(nèi)，大家都在使用此方法進行研究．經(jīng)過約20年的發(fā)展，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)，只要得到了所研究的動力系統(tǒng)所對應(yīng)的大偏差定理，則使用如下的雪崩原理，可以非常順利地得到最后的Lyapunov指數(shù)的連續(xù)性．

命題3(雪崩原理) 令A(yù)1,…,An為2×2矩陣的序列，其行列式滿足

(8)

假設(shè)

(9)

且

(10)

那么

(11)

其中C為某個絕對常數(shù)．

同樣地，在本文中，我們只要得到如下被稱為大偏差的定理，則剩下的內(nèi)容可以直接使用文獻[10]中的第三部分即可：

故本文中只需要證明定理4． 為此，我們主要需要關(guān)于高維次調(diào)和函數(shù)的強Birkho遍歷定理．如果T是可測空間(X,Σ,m)上的一個遍歷映射，函數(shù)f是X上的m-可積函數(shù)，則對幾乎處處x∈X，其“時間平均收斂到“空間平均”．但此定理并沒有告訴我們上述的收斂速度．因此，我們將給出這一速度的定理稱為強Birkho遍歷定理．

再次, 我們來介紹次調(diào)和函數(shù)．先介紹一維的情況．設(shè)u(z)是定義在復(fù)區(qū)域Ω?上的實值函數(shù)．

定義5[10]我們稱u(z)是定義在區(qū)域Ω上的次調(diào)和函數(shù)，如果

1)u(z):Ω→[-∞,+∞)；

2)u(z)是從Ω映入[-∞,+∞)上半連續(xù)函數(shù)；

3)對任意的z1∈Ω， 總存在r1=r1(z1)>0使得對任意的0

(12)

此時, 我們可以用遞歸的方法定義高維次調(diào)和函數(shù)：

注7當(dāng)f(z)是解析函數(shù)時，由Jensen公式：

因此，在文獻[10]中，函數(shù)

也是次調(diào)和的． 所以，為了得到其對應(yīng)的大偏差定理，證明了如下的對于uN的強Birkho遍歷定理：

(13)

(14)

至此，我們完成了所有的理論背景的介紹．我們將在下一節(jié)中給出大偏差定理，即定理4的證明，從而得到本文關(guān)于連續(xù)性的主要結(jié)果．

2 大偏差定理的證明

首先，我們需要注意的是，本文中考慮的斜積流(2)是亞純的，而非解析的．因此，為了使用命題8，我們需要對其解析化．具體地，我們定義

和

(15)

(16)

(17)

定義

(18)

由(15)式可得

(19)

其中

(20)

這里, 為了讓系統(tǒng)有意義, 我們需要說明常數(shù)D是有限的.

引理9的證明我們證明一個更強的結(jié)果：對任意>0，

由(14)，我們得到

(21)

因此，

引理10對任意的正整數(shù)k，都有

(22)

并在命題8中取N=1，注意到此時

則由命題8直接得到本引理.

此時,由于(15)，(16)，(19)式以及引理10,我們會發(fā)現(xiàn), 想要證明大偏差定理4, 其實只要證明

即可．

(23)

引理11的證明注意到

故

類似地，

故

進一步地, 我們有

性質(zhì)12(1)

(2)

性質(zhì)12的證明(1)由引理11和三角不等式直接得到.

(2)對任意的1≤k≤K，

由于

和

則

同樣地，

(24)

因此，

取δ=k1-τ1，并使用引理10，可得

(25)

注意到，我們此前已經(jīng)取定k=N1-2σ且已經(jīng)證明D是一個有限常數(shù)，故|(k+1)D+k1-τ1|≤N1-σ,從而有

(26)