載體驅(qū)動微機(jī)械陀螺儀結(jié)構(gòu)優(yōu)化及性能仿真

姜珊 張偉

北京信息科技大學(xué)傳感器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101

0 前言

陀螺儀是一種測量物體角速度和角位置的傳感器，它在慣性導(dǎo)航系統(tǒng)中發(fā)揮著重要的作用。隨著人們對機(jī)械自動化領(lǐng)域的技術(shù)需求不斷提升，小體積和高性能的微電子機(jī)械系統(tǒng)（Micro Electro Mechanical Systems，MEMS）產(chǎn)品得以在市場上占據(jù)領(lǐng)先優(yōu)勢，微機(jī)械陀螺儀也由此獲得了長足發(fā)展[1-2]。與傳統(tǒng)的陀螺儀相比，微機(jī)械陀螺儀具有鮮明的特點(diǎn)：尺寸小、功耗低、重量輕、易于批量制造、成本低等。因此，其在航空航天、機(jī)器人、消費(fèi)電子、車輛防滑剎車系統(tǒng)、高精度導(dǎo)彈等軍事和民用領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[3-4]。在慣性制導(dǎo)系統(tǒng)中，陀螺儀的測量性能直接決定制導(dǎo)的精度。但是，慣性制導(dǎo)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速極高，其運(yùn)動姿態(tài)難以準(zhǔn)確實(shí)時(shí)測量。為解決這一問題，研制了一種適用于高旋系統(tǒng)的載體驅(qū)動微機(jī)械陀螺儀，該陀螺儀無驅(qū)動結(jié)構(gòu)，利用旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的自旋角動量作為驅(qū)動力，通過敏感哥氏力實(shí)現(xiàn)對輸入角速度的測量。目前，該陀螺儀的性能尚未達(dá)到戰(zhàn)術(shù)級別，如何提高陀螺儀的動態(tài)檢測性能是研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

針對微機(jī)械陀螺儀機(jī)械靈敏度低，硅質(zhì)量塊角振動幅度小的問題，對陀螺儀的敏感結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。本文分析了敏感結(jié)構(gòu)參數(shù)對陀螺儀角振動幅度和固有頻率的影響，以此為基礎(chǔ)優(yōu)化設(shè)計(jì)陀螺儀的敏感元件，并使用COMSOL軟件對優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元仿真。

1 器件結(jié)構(gòu)及基本原理

圖1所示為載體驅(qū)動微機(jī)械陀螺儀的結(jié)構(gòu)示意圖。陀螺儀主要由硅質(zhì)量塊、扭轉(zhuǎn)梁以及鍍有鈀銀電極的陶瓷板組成。硅質(zhì)量塊由體加工工藝制備并刻蝕有對稱分布的阻尼孔，其兩端與扭轉(zhuǎn)梁連接。上下兩側(cè)是完全相同的陶瓷片，每一塊陶瓷片上分別鍍有2個(gè)鈀銀電極。硅質(zhì)量塊和鍍有鈀銀電極的陶瓷片構(gòu)成4個(gè)電容，形成差動電容傳感器。

工作時(shí)，將陀螺儀安裝在旋轉(zhuǎn)載體上，陀螺儀硅質(zhì)量塊的質(zhì)心與坐標(biāo)系O-XYZ的原點(diǎn)重合，陀螺儀的OZ軸與載體的縱軸（旋轉(zhuǎn)軸）重合。是硅質(zhì)量塊繞OY軸振動的角速度，φ ˙ 是 載體的自旋角速度，Ω是載體的橫向角速度（俯仰或偏航角速度）。當(dāng)陀螺儀受到旋轉(zhuǎn)載體自旋角速度驅(qū) 動，同時(shí)又以角速度Ω做俯仰或偏航運(yùn)動時(shí)，周期變化的科氏力將作用到硅質(zhì)量塊上，使硅質(zhì)量塊以扭轉(zhuǎn)梁為約束中心做周期性振動，振動角速度為。這種周期性振動使得硅質(zhì)量塊與鈀銀電極之間的距離發(fā)生變化，進(jìn)而引起差動電容器電容值周期性變化。通過對電容信號進(jìn)行檢測和處理，就可以實(shí)現(xiàn)對輸入角速度Ω的測量[5]。陀螺儀工作原理框圖如圖2所示。

2 理論分析與結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

圖3所示的坐標(biāo)變換可以用來建立陀螺儀硅質(zhì)量塊的角振動方程。坐標(biāo)系的原點(diǎn)與硅質(zhì)量塊的中心重合，是慣性坐標(biāo)系，oxyz是與硅質(zhì)量塊固連的動坐標(biāo)系，ox1y1z1是俯仰或偏航坐標(biāo)系，ox2y2z2是旋轉(zhuǎn)載體自旋坐標(biāo)系。硅質(zhì)量塊在科氏力作用下，其固連坐標(biāo)系oxyz相對于、ox1y1z1、ox2y2z2三個(gè)坐標(biāo)系進(jìn)行變化。

根據(jù)剛體繞定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的動量矩定理，進(jìn)行坐標(biāo)變換可以得到陀螺儀的動力學(xué)方程為：

其中，Jx、Jy、Jz表示硅質(zhì)量塊分別在X、Y、Z方向的轉(zhuǎn)動慣量；KT表示扭轉(zhuǎn)梁的剛度系數(shù)；D表示阻尼系數(shù)；Ω表示俯仰或偏航角速度；表 示硅質(zhì)量塊繞OY軸振動的角速度；表 示載體自旋角速度。

方程的穩(wěn)態(tài)解為：

故陀螺儀角振動幅度為：

定義陀螺儀的機(jī)械靈敏度為：

上述公式表明，陀螺儀輸出信號以正弦信號形式輸出，其頻率與旋轉(zhuǎn)載體的自旋頻率一致，其角振動幅度與扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)KT，轉(zhuǎn)動慣量Jx、Jy、Jz，阻尼系數(shù)D以及橫向角速度Ω有關(guān)，而Ω為外部輸入的角速度，取決于旋轉(zhuǎn)載體的工況，不納入分析，故陀螺儀的動力學(xué)參數(shù)是影響其角振動幅度的主要因素。分析可知，動力學(xué)參數(shù)的取值主要取決于陀螺儀的結(jié)構(gòu)參數(shù)，陀螺儀的結(jié)構(gòu)參數(shù)直接影響輸出信號的角振動幅度，進(jìn)而決定陀螺儀的機(jī)械靈敏度。

通過分析，可以確定陀螺儀敏感元件的優(yōu)化對象為：硅質(zhì)量塊的結(jié)構(gòu)參數(shù)、阻尼孔的結(jié)構(gòu)參數(shù)、扭轉(zhuǎn)梁的結(jié)構(gòu)參數(shù)。本節(jié)主要以角振動幅度和固有頻率為指標(biāo)，研究各部分結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對陀螺儀輸出特性產(chǎn)生的影響。陀螺儀相關(guān)結(jié)構(gòu)的初始參數(shù)如表1所示。

表1 陀螺儀結(jié)構(gòu)初始參數(shù)

以實(shí)驗(yàn)室前期的設(shè)計(jì)為基礎(chǔ)，硅質(zhì)量塊表面形狀仍設(shè)計(jì)為正方形，即在研究時(shí)，保持a6=b5=13.8 mm。在此基礎(chǔ)上將其他6組變量分為3組進(jìn)行雙變量變化研究。第1組變量為（h, t），確定（h, t）的取值，可以確定硅質(zhì)量塊、彈性扭轉(zhuǎn)梁的厚度；第2組變量為 （b3, a5），由本組分析可以確定阻尼孔的尺寸；第3組變量為（δ, l），通過對（δ, l）分析，可以得到彈性扭轉(zhuǎn)梁的長度和寬度。

當(dāng)硅質(zhì)量塊的厚度h和扭轉(zhuǎn)梁的厚度t同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，陀螺儀的輸出如圖4所示。

由圖4可以得到，當(dāng)扭轉(zhuǎn)梁厚度t為固定值時(shí)，硅質(zhì)量塊h變化引起的陀螺儀固有頻率和角振動幅度的變化并不明顯；而當(dāng)硅質(zhì)量塊h為某一定值時(shí)，扭轉(zhuǎn)梁厚度t的增加會導(dǎo)致陀螺儀固有頻率逐漸增大，但此時(shí)角振動幅度為減小趨勢。若t取所給范圍內(nèi)的較小值，h取較大值時(shí)，可以得到較高的角振動幅度和較低的固有頻率。為提高陀螺儀的機(jī)械靈敏度，在初始設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，應(yīng)適度減小t，適當(dāng)增大h，但厚度差過大會導(dǎo)致陀螺儀的抗沖擊性能大大減弱，因此，在提高機(jī)械靈敏度的基礎(chǔ)上應(yīng)盡量減小厚度差。經(jīng)過多次仿真分析，取h=0.340 mm，t=0.060 mm。

當(dāng)阻尼孔長度b3和寬度a5同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，陀螺儀的輸出如圖5所示。

從圖5中可以看出，阻尼孔的表面積b3×a5越大，陀螺儀的固有頻率越高，對應(yīng)的角振動幅度就越低。在阻尼孔長度較長時(shí)， 阻尼孔寬度增大引起的固有頻率增大更顯著，角振動幅度的減小也更迅速。因此，在保證阻尼孔良好釋放結(jié)構(gòu)應(yīng)力的情況下，取

b3=11.6 mm，a5=0.18 mm。

當(dāng)扭轉(zhuǎn)梁寬度δ和長度l同時(shí)改變時(shí)，陀螺儀的輸出如圖6所示。

由圖6可以得到，扭轉(zhuǎn)梁寬度δ為某一定值，扭轉(zhuǎn)梁長度l在取值范圍內(nèi)自由變化時(shí)，若δ取值高于 0.4 mm，則引起的固有頻率的變化比較顯著；若δ取值低于0.4 mm，則對角振動幅度的影響更大。顯然，扭轉(zhuǎn)梁寬度δ在0.4 mm處是一個(gè)臨界點(diǎn)，δ取值應(yīng)在該值附近。提取0.4 mm附近的扭轉(zhuǎn)梁寬度及取值范圍內(nèi)的扭轉(zhuǎn)梁長度，再將這些參數(shù)重新代入陀螺儀固有頻率和角振動幅度的表達(dá)式中，可以解算出一組理想的δ和l的值。通過計(jì)算與仿真分析，取δ=0.38 mm，l=0.62 mm。

通過上述分析，可以確定優(yōu)化后的陀螺儀敏感元件結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表2所示。經(jīng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化后，陀螺儀的固有頻率為201.3 Hz，機(jī)械靈敏度為13.3 nm/(°/s)，較優(yōu)化前提高了57.2%。陀螺儀結(jié)構(gòu)優(yōu)化前和優(yōu)化后角振動幅度的對比示意圖如圖7所示。

表2 陀螺儀優(yōu)化后結(jié)構(gòu)參數(shù)

3 載體驅(qū)動微機(jī)械陀螺儀有限元仿真

有限元分析（Finite Element Method，F(xiàn)EM）是一種常用的數(shù)學(xué)分析工具。通過有限元分析可以簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算，獲得復(fù)雜物理問題的近似解。最開始，F(xiàn)EM的出現(xiàn)是為了研究復(fù)雜航空器的結(jié)構(gòu)應(yīng)力問題，隨著應(yīng)用范圍的拓展，在其他領(lǐng)域的連續(xù)性問題求解方面也發(fā)揮著愈發(fā)重要的作用。FEM具有強(qiáng)大的處理復(fù)雜問題的能力以及靈活的分析處理模式，因此，其在工程分析和設(shè)計(jì)中占據(jù)突出的地位。本文使用COMSOL軟件對陀螺儀結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析、靜力學(xué)分析、諧響應(yīng)分析及重力分析，了解其振動特性及在不同工況下的工作特性[6-7]。

3.1 模態(tài)分析

模態(tài)是指機(jī)械結(jié)構(gòu)的固有振動特性。模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動力特性的一種方法，一般應(yīng)用在工程振動領(lǐng)域。本文研究的無驅(qū)動結(jié)構(gòu)的微機(jī)械陀螺儀以旋轉(zhuǎn)載體的高速旋轉(zhuǎn)作為驅(qū)動，因此不需要設(shè)計(jì)驅(qū)動結(jié)構(gòu)。進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，只需要考慮檢測模態(tài)的頻率、振型及與其他模態(tài)之間的隔離問題。首先，利用COMSOL軟件建立無驅(qū)動結(jié)構(gòu)微機(jī)械陀螺儀的有限元模型，對模型施加約束條件，進(jìn)行網(wǎng)格剖分，然后求解固有頻率和振型。結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)分析結(jié)果如圖8所示。

由COMSOL模態(tài)分析結(jié)果可得，載體驅(qū)動微機(jī)械陀螺儀的工作模態(tài)為一階模態(tài)，固有頻率為208.69 Hz，對應(yīng)的振型為圍繞扭轉(zhuǎn)梁形成的約束中心上下擺動，理論計(jì)算的固有頻率為201.3 Hz，與仿真結(jié)果相差3.54%，仿真與理論計(jì)算基本一致。二、三階模態(tài)為非工作模態(tài)，由仿真結(jié)果可知，一階模態(tài)與這兩個(gè)模態(tài)的固有頻率有較大的差距，這可以有效降低交叉耦合，減小非工作模態(tài)對工作模態(tài)的影響。

3.2 靜力學(xué)分析

靜力學(xué)分析是對求解對象施加與時(shí)間無關(guān)的穩(wěn)態(tài)力，分析結(jié)構(gòu)上各個(gè)節(jié)點(diǎn)在穩(wěn)態(tài)載荷作用下產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變及形變。載體驅(qū)動微機(jī)械陀螺儀工作時(shí)，硅質(zhì)量塊圍繞扭轉(zhuǎn)梁形成的約束中心上下擺動，而硅質(zhì)量塊的質(zhì)量遠(yuǎn)大于扭轉(zhuǎn)梁，因此需要研究陀螺儀結(jié)構(gòu)在受到科氏力產(chǎn)生擺動時(shí)，彈性扭轉(zhuǎn)梁承受載荷的情況。仿真時(shí)，為模擬科氏力作用，在硅質(zhì)量塊的上側(cè)邊緣處施加正Z方向的力，下側(cè)邊緣處施加負(fù)Z方向的力，力的大小為4.74×10-5N。對陀螺儀結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真，可以得到陀螺儀結(jié)構(gòu)的應(yīng)力情況。如圖9所示，為陀螺儀結(jié)構(gòu)受力時(shí)的應(yīng)力分布圖。由應(yīng)力分布圖可以得到，陀螺儀結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)梁所受應(yīng)力最大，應(yīng)力值為1.3138 MPa，圖10顯示此時(shí)硅質(zhì)量塊沿Z軸產(chǎn)生的最大位移為1.2422×10-6m。

為了驗(yàn)證仿真結(jié)果的準(zhǔn)確度，可以將仿真結(jié)果與理論計(jì)算進(jìn)行對比。根據(jù)扭矩定理可知：

其中，Mz表示Z軸力矩；Fa表示Z軸正方向力；L表示力作用長度；Fb表示Z軸反方向力。Fa=Fb=4.74×10-5N，L=6.9 mm。

由式（5）可得：

因此，理論計(jì)算的Z軸方向的最大位移為αL=1.2696×10-6m，仿真與理論計(jì)算的誤差僅為2.2%。

3.3 諧響應(yīng)分析

諧響應(yīng)分析需要對求解對象施加一系列隨時(shí)間變化的周期性正弦載荷，通過諧響應(yīng)分析可以得到頻率不斷變化時(shí)陀螺儀結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)情況。首先，輸入橫向角速度為90°/s，將其施加在硅質(zhì)量塊的兩邊緣處，形成大小相等、方向相反的載荷；其次，設(shè)置正弦載荷的頻率范圍為0～60 Hz，步長為5 Hz；最后，對建立好的模型求解，通過后處理器可以獲取橫向角速度為90°/s時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線，如圖11所示。

分析圖11的幅頻響應(yīng)曲線可知，陀螺儀的角振動位移隨著頻率的增加而增大。當(dāng)橫向角速度為90°/s，自旋頻率為15 Hz時(shí)，仿真得到的硅質(zhì)量塊的角振動位移為1.1246×10-6m，理論計(jì)算結(jié)果為1.2163×10-6m，兩者的誤差為7.54%，因此，可以驗(yàn)證陀螺儀結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有可行性。

3.4 重力分析

在實(shí)際工作環(huán)境中，重力加速度對陀螺儀結(jié)構(gòu)有一定的影響。當(dāng)陀螺儀結(jié)構(gòu)處于靜置狀態(tài)時(shí)，結(jié)構(gòu)只受到重力作用，而彈性扭轉(zhuǎn)梁作為連接硅質(zhì)量塊和外框架的重要部件，承載著較大的重量。因此，通過研究扭轉(zhuǎn)梁在重力作用下的變形情況來驗(yàn)證結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的可靠性。將重力加速度分別施加在陀螺儀結(jié)構(gòu)的X、Y、Z方向，運(yùn)行仿真，應(yīng)力分布圖及位移分布圖如圖12所示。表3為結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力值和最大位移值。

表3 重力仿真數(shù)值表

從上面3個(gè)方向的應(yīng)力分布及位移分布圖可以直觀地看出，3個(gè)方向的最大應(yīng)力值與硅材料的極限應(yīng)力值（790 MPa）相差甚遠(yuǎn)，最大位移值也非常小，說明重力作用對陀螺儀結(jié)構(gòu)的影響微乎其微，可以忽略不計(jì)，因此陀螺儀結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)可以滿足要求。

4 結(jié)束語

本文進(jìn)行結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化的陀螺儀是一種載體驅(qū)動、電容檢測的硅微機(jī)械陀螺儀。本文介紹了陀螺儀的結(jié)構(gòu)和工作原理，并對其動力學(xué)方程進(jìn)行理論分析，得到了陀螺儀機(jī)械靈敏度的計(jì)算公式。基于該計(jì)算公式，以提高陀螺儀的機(jī)械靈敏度為目標(biāo)，使用MATLAB對陀螺儀的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，并利用有限元分析軟件COMSOL對陀螺儀進(jìn)行了模態(tài)分析、靜力學(xué)分析、諧響應(yīng)分析及重力分析。理論優(yōu)化和有限元仿真表明，通過優(yōu)化陀螺儀的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以提高陀螺儀的機(jī)械靈敏度，優(yōu)化后的陀螺儀可以承受預(yù)定載荷，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)合理。