由一道題談解答含有指、對跨階函數(shù)不等式恒成立問題的方法

周方　王樹穎

不等式恒成立問題一直是高考數(shù)學(xué)中的高頻考點(diǎn)．其中含有指、對跨階函數(shù)的不等式恒成立問題一直困擾著大家，含有指、對跨階函數(shù)的不等式恒成立問題的難度一般較大，且具有較強(qiáng)的綜合性，側(cè)重于考查邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．本文以2020年新課標(biāo)全國I卷的第21題為例，談一談如何從不同的角度探究指、對跨階函數(shù)恒成立問題的解法．

題目：已知函數(shù)f（x）= aex-1 - ㏑x + ㏑a．

（1）當(dāng)a=e時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（2）若f（x）≥1，求參數(shù)a的取值范圍．

該函數(shù)式中同時含有指、對函數(shù)，且含有高次冪，較為復(fù)雜．第一個問題較為簡單，本文主要探討第二個問題的解法．筆者從不同角度進(jìn)行分析，得到了以下幾種解題的思路．

角度1：設(shè)而不求

解答含有指、對跨階函數(shù)的不等式恒成立問題，通常要利用導(dǎo)數(shù)知識．而在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識解題過程中，需分析導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)．但導(dǎo)方程f'（x）=0是超越方程，其零點(diǎn)無法求出，此時可采用設(shè)而不求法，虛設(shè)零點(diǎn)，借助零點(diǎn)存在性定理，估算出零點(diǎn)所在的大致范圍，并用零點(diǎn)表示參數(shù)，將其代人到題設(shè)中，通過隱零點(diǎn)代換，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，找到使不等式恒成立的條件．

根據(jù)，虛設(shè)出零點(diǎn)，采用設(shè)而不求法，將零點(diǎn)代人函數(shù)式中，借助基本不等式消去x0，最終求得函數(shù)的最小值，便可建立關(guān)于參數(shù)a的不等式．

角度2：采用函數(shù)同構(gòu)法

采用函數(shù)同構(gòu)法解答含有指、對跨階函數(shù)的不等式恒成立問題，需根據(jù)不等式的特征，構(gòu)造結(jié)構(gòu)相同，但變量不同的等式或者不等式，再利用函數(shù)的單調(diào)性脫去函數(shù)符號“f”，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化成冪、對或冪、指的二階函數(shù)問題來求解．

函數(shù)同構(gòu)式有積型、商型、和差型．解法2是利用積型同構(gòu)式：，將問題轉(zhuǎn)化成只含有x、㏑x的二階函數(shù)問題．解法3是利用和型同構(gòu)式：，將問題轉(zhuǎn)化成只含有x、ex的二階函數(shù)問題．

角度3：利用切線不等式進(jìn)行放縮

切線不等式是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程，根據(jù)切線與函數(shù)曲線的位置關(guān)系得到不等式．常見的切線不等式有ex≥x+1（當(dāng)x=0時取等號），㏑x≤x-1（當(dāng)x=1時取等號），ex≥ex（當(dāng)x=1時取等號），（當(dāng)x=e時取等號）．在解答含有指、對跨階函數(shù)的不等式恒成立問題時，可以將不等式進(jìn)行合理的變形，使其與切線不等式關(guān)聯(lián)起來，利用切線不等式來放縮函數(shù)式或不等式，再根據(jù)不等式的傳遞性來找到使不等式恒成立的條件．

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

解法4中用到了切線不等式：ex-1≥x（當(dāng)x=1時取等號）、㏑x≤x-1（當(dāng)x=1時取等號），解法5中用到了切線不等式：ex≥x+1（當(dāng)x戈=0時取等號）、㏑x≤x-1（當(dāng)x=1時取等號）．通過放縮，便將超越函數(shù)放縮成一次函數(shù)式，即g（x）≥kx+b或g（x）≤kx+b，從而達(dá)到化繁為簡的目的．

角度4：數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”數(shù)與形是反映事物屬性很重要的兩個方面，也是解答數(shù)學(xué)問題的重要法寶．在解答含有指、對跨階函數(shù)的不等式恒成立問題時，可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造出函數(shù)模型，畫出函數(shù)的圖象，通過分析函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系，找到使不等式恒成立的臨界情形，便可建立新的不等式，求得參數(shù)的取值范圍．

角度5：變換主元

函數(shù)、不等式、方程問題中經(jīng)常涉及常量、參數(shù)、變量等，常需運(yùn)用變更主元法來解題．在解答含有指、對跨階函數(shù)的不等式恒成立問題時，可根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征選擇一個參變量作為主元，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于新主元的式子，通過分析變換后目標(biāo)式的最值，求得問題的答案．變換主元的目的是反客為主，使復(fù)雜的問題簡單化．

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．

我們選擇a作為主元，容易判斷出g（a）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，從而建立新的不等式．這樣便減少了對復(fù)雜函數(shù)f（x）的分析，達(dá)到了化難為易的目的．

雖然含有指、對跨階函數(shù)的不等式恒成立問題較為復(fù)雜，但是我們只要運(yùn)用發(fā)散性思維，從不同角度，如隱零點(diǎn)、同構(gòu)式、切線不等式、反函數(shù)、函數(shù)圖象、參變量等進(jìn)行分析，便可找到不同的解題思路．每一類問題都有其通性通法，同學(xué)們在日常學(xué)習(xí)中，要注意對含有指、對跨階函數(shù)的不等式恒成立問題的通性通法進(jìn)行總結(jié)，以完善認(rèn)知，提升解題的效率．