用數(shù)學(xué)建模方法構(gòu)建高效課堂，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

文/ 廣州市西關(guān)培英中學(xué) 蘇進(jìn)強(qiáng)

廣州市天河外國語學(xué)校 陳陽彩

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017 年版）明確提出了六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，給出了每個(gè)素養(yǎng)的內(nèi)涵、價(jià)值、表現(xiàn)和水平，設(shè)置了基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)形式可以是多樣化的，除了傳統(tǒng)的紙筆測(cè)驗(yàn)之外，還可以采用課堂活動(dòng)、開放式活動(dòng)中的表現(xiàn)、課內(nèi)外作業(yè)等評(píng)價(jià)形式。本文結(jié)合解三角形的應(yīng)用舉例的課堂活動(dòng)評(píng)價(jià)方式，滲透數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力。

問題一：河流的兩岸上分別有A、B 兩點(diǎn)，測(cè)量工作者位于河岸B 的同側(cè)，由于實(shí)際情況，河岸另一邊的A處無法到達(dá)。請(qǐng)問如何設(shè)計(jì)方案，求A、B 兩點(diǎn)間距離。提供可用的測(cè)量工具有測(cè)角儀和測(cè)距儀（需要兩端點(diǎn)都能到達(dá)）。

分析：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立合適的數(shù)學(xué)模型來求解。此處引導(dǎo)學(xué)生利用可測(cè)量的工具在點(diǎn)B 的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測(cè)量BC 的距離和∠ABC、∠ACB，從而建立數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)模型1：在ΔABC 中，已知BC ＝a，∠B ＝β，∠C＝α，求邊AB 的長(zhǎng)。

分析：這是簡(jiǎn)單的解三角形問題，直接由正弦定理可求。

小結(jié)：數(shù)學(xué)模型1 由于構(gòu)造的三角形的兩邊AB，AC 均不可直接測(cè)量，故只能尋求構(gòu)造已知兩角及一邊的三角形，這是一種測(cè)量不可到達(dá)點(diǎn)的距離的方法，讓學(xué)生想象實(shí)際可能的測(cè)量條件限制，例如BC 實(shí)際上可能在一條容易測(cè)量的道路上，而近旁則不宜實(shí)施測(cè)量，體現(xiàn)了學(xué)生直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)能力。

問題二：如果A、B 都在河流的同側(cè)，而測(cè)量者在對(duì)岸，如何設(shè)計(jì)一種方案，使得測(cè)量者不用過對(duì)岸也能求出A、B 兩點(diǎn)間距離。

分析：在測(cè)量者所在位置取一點(diǎn)C，由A、B、C 構(gòu)建三角形ΔABC，觀測(cè)者可以測(cè)量∠ACB ＝α。但在ΔABC中只有角∠ACB 已知，是不能求邊AB 的。根據(jù)解三角形理論，需要已知三角形ΔABC 中的三個(gè)要素，且其中至少一個(gè)要素是邊。如果采取數(shù)學(xué)模型1 的測(cè)量方法分別求AC、BC，再結(jié)合已知角α，則AB 可求。所以，可以在河流點(diǎn)C 的同側(cè)分別取兩點(diǎn)D、E，結(jié)合原來的三個(gè)點(diǎn)A、B、C 構(gòu)建兩個(gè)三角形ΔACD、ΔBCE，分別在ΔACD、ΔBCE 利用正弦定理求AC 和BC。

數(shù)學(xué)模型2：在平面五邊形ABCDE 中，已知CD ＝a，CE＝b，∠ACB，∠ACD，∠ADC，∠BCE，∠BEC 分別為α，α1，α2，β1，β2，求線段AB 的長(zhǎng)。

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosα ＝＋·cosα

所以

小結(jié)：由模型1 可知，A、B 兩點(diǎn)中當(dāng)有一點(diǎn)A 不可到達(dá)，求AB 的長(zhǎng)時(shí)，可以在另一點(diǎn)B 處構(gòu)造可求線段BC，得到ΔABC，度量∠ABC、∠ACB，即可解這個(gè)三角形。由此引導(dǎo)學(xué)生分別構(gòu)造兩個(gè)三角形去求AC、BC 的長(zhǎng)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在模型2 中，實(shí)際測(cè)量中取了三個(gè)不同的點(diǎn)C、D、E，而且需要測(cè)量的量較多，需要進(jìn)一步將模型優(yōu)化。

在測(cè)量者所在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，結(jié)合A、B 兩點(diǎn)構(gòu)建平面四邊形ABCD，可以利用儀器測(cè)量CD 的長(zhǎng)與∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠BDA，建立如下數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)模型3：在平面四邊形ABCD 中，已知CD ＝a，∠ACB＝α1，∠ACD＝α2，∠BDC＝β1，∠BDA＝β2，求線段AB 的長(zhǎng)。

分析：在平面四邊形ABCD 中求AB 的長(zhǎng)，需要解與AB 邊有關(guān)的三角形ΔABC 或ΔABD，但這兩個(gè)三角形中都只是已知一個(gè)角，無法直接求解AB，因此需要借助其他三角形先求出更多的邊或角。

同理，在ΔACD，利用正弦定理求得

因此，在ΔABD 中，利用余弦定理得，

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosβ2＝＋·cosβ2

從而

小結(jié)：在實(shí)際測(cè)量中，既要考慮數(shù)學(xué)模型的可操作性，也要兼顧計(jì)算，對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行優(yōu)化。數(shù)學(xué)模型3是在模型2 的基礎(chǔ)上優(yōu)化而來，既減少了要測(cè)量的數(shù)據(jù)，也滿足模型的可操作性，符合實(shí)際的要求。從多個(gè)角度分析問題，結(jié)合解三角形中的正弦定理、余弦定理，構(gòu)建不同的解三角形模型，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維、創(chuàng)新能力，凸顯了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

本文運(yùn)用3 個(gè)數(shù)學(xué)模型構(gòu)建高效課堂，其中數(shù)學(xué)建模的主要步驟有：

（1）理解問題的實(shí)際背景，從現(xiàn)實(shí)對(duì)象中提取信息；（2）建立合適的數(shù)學(xué)模型，本文是建立合適的解三角形模型；（3）利用正弦定理或余弦定理求解三角形模型；（4）將模型的解還原為對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答。

數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。在中學(xué)階段，選擇比較有代表性的實(shí)際問題開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，不僅讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，同時(shí)也能提高學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。本文將解三角形的數(shù)學(xué)模型用于解決測(cè)量距離的問題，利用這些實(shí)際背景和需要，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)解三角形知識(shí)的必要性，并能應(yīng)用正弦定理和余弦定理建立解三角形的模型，解決實(shí)際測(cè)量中的距離問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)能力。