六軸機(jī)械臂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)終端滑?？刂?/h1>

2022-11-29 02:41:40賈華劉延俊王雨薛鋼

西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)訂閱 2022年11期 收藏

關(guān)鍵詞：機(jī)械模型

賈華,劉延俊,4,王雨,薛鋼

(1.山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,250061,濟(jì)南;2.山東大學(xué)高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,250061,濟(jì)南;3.山東大學(xué)機(jī)械工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心,250061,濟(jì)南;4.山東大學(xué)海洋研究院,266237,山東青島)

作為一種高性能自動(dòng)化設(shè)備,機(jī)械臂能夠提高生產(chǎn)效率和質(zhì)量,得到了越來越廣泛的應(yīng)用。機(jī)械臂是一個(gè)高度非線性、強(qiáng)耦合、多變量的時(shí)變系統(tǒng),因此需要高性能的控制器對(duì)其進(jìn)行可靠控制。

機(jī)械臂在執(zhí)行任務(wù)時(shí),通常需要跟蹤特定的軌跡,并保證一定的精度。常見的傳統(tǒng)PID控制器在受到外部干擾影響時(shí),其動(dòng)態(tài)特性和魯棒性并不理想。為解決這一問題,國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種類型的機(jī)械臂控制算法,例如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[1-2]、模糊控制[3]、滑模控制[4-5]、魯棒控制[6]、迭代學(xué)習(xí)控制[7]、反步控制[8-9]等。其中滑?？刂莆锢韺?shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單,且對(duì)擾動(dòng)不靈敏,在機(jī)器人領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。敖天翔等[10]將滑?？刂破鲬?yīng)用于雙臂機(jī)器人,得到了較好的定點(diǎn)控制和軌跡跟蹤控制效果,但是忽略了實(shí)際機(jī)械臂中存在的摩擦力。Baek等[11]結(jié)合極點(diǎn)配置和時(shí)延估計(jì)方法設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)滑?？刂破?通過反饋補(bǔ)償能夠獲得理想的閉環(huán)極點(diǎn),但是沒有考慮外界干擾的影響。

隨著變結(jié)構(gòu)控制理論的發(fā)展,出現(xiàn)了性能更好的終端滑?？刂啤Ｅc傳統(tǒng)滑模相比,終端滑?？刂颇軌虮ＷC系統(tǒng)在有限時(shí)間收斂[12]。吳愛國(guó)等[13]提出了一種非奇異快速終端滑?？刂?NFTSMC)方法,在切換控制中引入連續(xù)終端吸引子,保證了系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定,并利用Lyapunov方法進(jìn)行了證明。Yang等[14]研究了非線性系統(tǒng)的終端滑?？刂?將非奇異快速終端滑?？刂茟?yīng)用在了二關(guān)節(jié)機(jī)械臂控制上,具有比傳統(tǒng)滑模更好的控制性能。Zhang等[15]針對(duì)動(dòng)力學(xué)參數(shù)部分不確定的機(jī)械臂系統(tǒng),提出了一種全局近似終端滑模控制方法,避免了奇異問題,保證了系統(tǒng)在有限時(shí)間收斂。

在實(shí)際環(huán)境下,由于存在著摩擦、外界干擾、模型誤差等不確定性因素,采用滑?？刂茣r(shí)需要對(duì)這些變量進(jìn)行保守估計(jì),切換增益會(huì)隨之增大,容易引起較大的抖振,影響控制效果。針對(duì)這一問題,董君等[16]在非線性積分滑模的基礎(chǔ)上,引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBFNN)來估計(jì)動(dòng)力學(xué)參數(shù),減小了抖振。Guo等[17]將滑模和增量PID結(jié)合起來,提出一種RDRBF控制算法,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償模型不確定項(xiàng),保證控制力矩平滑,在串聯(lián)機(jī)械臂上得到了較好的控制效果。

目前,多數(shù)文獻(xiàn)提出的控制算法只在平面二連桿機(jī)械臂上進(jìn)行了驗(yàn)證。本文在上述研究的基礎(chǔ)上,針對(duì)模型不確定且存在外界干擾時(shí)的六軸機(jī)械臂系統(tǒng),提出了一種基于動(dòng)力學(xué)模型分塊逼近的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)終端滑?？刂扑惴?RBFTSM)。首先,利用多個(gè)RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別逼近動(dòng)力學(xué)模型中的系數(shù)矩陣,并結(jié)合非奇異終端滑模超曲面設(shè)計(jì)控制律,依靠自適應(yīng)律對(duì)權(quán)值的在線調(diào)整,實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的重構(gòu),整個(gè)過程無需復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)建模計(jì)算;然后,設(shè)計(jì)了一種積分滑?？刂启敯繇?xiàng),對(duì)模型重構(gòu)誤差和外界干擾進(jìn)行消除,采用Lyapunov穩(wěn)定性定理證明了系統(tǒng)能夠在有限時(shí)間到達(dá)穩(wěn)定;最后,在Simulink環(huán)境下對(duì)六軸機(jī)械臂進(jìn)行仿真分析,與PID算法和文獻(xiàn)[18]中提到的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整體逼近滑?？刂扑惴ㄏ啾容^,驗(yàn)證該控制方法的有效性,為六軸機(jī)械臂的軌跡跟蹤提供一種可行的控制方案。

1 模型描述

本文以UR機(jī)械臂為研究模型,其坐標(biāo)系的建立采用改進(jìn)Denavit Hartenberg(MDH)法,如圖1所示。

根據(jù)拉格朗日法[19],機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型最終可寫成

(1)

性質(zhì)1[20]慣性矩陣M(q)是對(duì)稱正定矩陣,存在正數(shù)m1、m2,滿足如下不等式

m1‖x‖2≤xTM(q)x≤m2‖x‖2

(2)

(3)

引理1[21]全局有限時(shí)間穩(wěn)定的Lyapunov函數(shù)定理。

(4)

那么系統(tǒng)為有限時(shí)間穩(wěn)定,而且系統(tǒng)的收斂時(shí)間T(x)滿足

(5)

引理2[22]范數(shù)不等式‖x‖2≤‖x‖1,對(duì)于一個(gè)向量x=[x1x2…xn],總是滿足

(6)

沒有特別說明的情況下,本文的‖·‖表示2范數(shù)。

引理3[22]Cauchy-Schwarz不等式,對(duì)于向量空間V中的任意向量u和v,有

|〈u,v〉|≤‖u‖·‖v‖

(7)

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 終端滑模面(TSM)設(shè)計(jì)

設(shè)機(jī)械臂關(guān)節(jié)目標(biāo)角度為qd(t),實(shí)際角度為q(t),定義跟蹤誤差為

e(t)=qd(t)-q(t)

(8)

(9)

在傳統(tǒng)滑?？刂浦?滑模面的選取一般為線性滑模面,即

(10)

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí),線性滑模面能使誤差漸進(jìn)收斂到0,但是不能保證在有限時(shí)間內(nèi)收斂。終端滑模面則能夠確保誤差變量在有限時(shí)間內(nèi)收斂到0[23]。

本文取非奇異終端滑模面[24]

(11)

式中:α,β>0,p、q均為正奇數(shù),且p>q。

對(duì)式(11)進(jìn)行求導(dǎo)可得

(12)

(13)

式(13)兩邊同時(shí)乘以M(q),可以得到

(14)

(15)

(16)

根據(jù)式(15)、(16)可以將式(13)重新修改為

(17)

理想狀態(tài)下,機(jī)械臂模型參數(shù)均精確已知,此時(shí)可以取控制律為

τ=τm+τu

(18)

其中

τu=K1sgn(r)

取Lyapunov函數(shù)

(19)

對(duì)其求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)

(20)

根據(jù)式(17)、(18)可以將式(20)進(jìn)一步寫成

-(λmin(K1)-‖τd‖)‖r‖

(21)

其中K1∈n×n為正定對(duì)角矩陣,λmin(K1)是矩陣K1的最小特征值,只要選擇合適的K1使其大于外界干擾τd的上界,就可以保證根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性判定,系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在實(shí)際情況下,機(jī)械臂的模型參數(shù)不可能是精確已知的,因此需要對(duì)控制律式(18)做進(jìn)一步修改。

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分塊逼近

在實(shí)際應(yīng)用時(shí),機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型很難精確獲得,存在較大的建模誤差,影響控制器的性能。為了解決這一問題,本文采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂模型參數(shù)的估計(jì)。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由輸入層、隱含層、輸出層組成。其結(jié)構(gòu)如圖2所示[16]。

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的徑向基函數(shù)采用高斯基函數(shù),表達(dá)式如下

(22)

(23)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近結(jié)果可以表示為

(24)

可以將式(17)表示為

(25)

其中

(26)

式中:E表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差,表達(dá)式為

(27)

假設(shè)1不確定項(xiàng)E+τd有一個(gè)上界,表示為

‖E+τd‖≤ρ

(28)

其中ρ是一個(gè)已知的正數(shù)。

(29)

則總的逼近誤差可表示為

(30)

(31)

對(duì)控制律式(18)進(jìn)行進(jìn)一步修改,引入RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型補(bǔ)償項(xiàng)

(32)

(33)

總的控制律可以表示為

(34)

式中:Kp,Ki,Kr∈n×n,均為正定對(duì)角矩陣;τm代表了RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近的模型補(bǔ)償項(xiàng);τu中的Kpr為滑?？刂祈?xiàng),保證系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定;Krsgn(r)用于抑制外部干擾和模型重構(gòu)誤差,提高抗干擾能力;項(xiàng)是用于進(jìn)一步消除神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差和外界干擾的影響。

設(shè)計(jì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值自適應(yīng)律為

(35)

式中:ΓMk>0;ΓCk>0;ΓGk>0;ΓFk>0;參數(shù)k的取值為k=1,2,…,n。

2.3 控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

定義Lyapunov函數(shù)為

(36)

對(duì)Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)可得

(37)

(38)

根據(jù)引理2、3以及假設(shè)1,有

(39)

式中:λmin(Kr)表示Kr矩陣的最小特征值,可以通過選取較大的Kr使得λmin(Kr)大于不確定上界ρ,則

(40)

有限時(shí)間穩(wěn)定證明如下:取Lyapunov函數(shù)

(41)

對(duì)式(41)進(jìn)行求導(dǎo)得

(42)

因?yàn)楦咚够瘮?shù)值域?yàn)閰^(qū)間[0,1],也就表明激活函數(shù)都是有界的,根據(jù)前面的有界分析結(jié)論,可以得到

(43)

其中η是一個(gè)正定對(duì)角矩陣,η∈n×n,代入式(42)中得

rT(τd+E)-rTKpr-rTKrsgn(r)

(44)

選擇Kp≥η,并根據(jù)引理2、3可推得

(45)

由于控制律τ中引入了符號(hào)函數(shù)sgn,因此可能會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生抖振,影響控制效果。傳統(tǒng)滑?？刂浦邢墩竦姆椒ㄖ饕沁吔鐚臃?但是不能保證系統(tǒng)是有限時(shí)間收斂的,為避免該問題,本文取如下函數(shù)[26]

(46)

式中Δ是一個(gè)正數(shù),表示邊界層的厚度。

此時(shí)控制律轉(zhuǎn)換為

(47)

當(dāng)|r|≥|Δ|時(shí),有限時(shí)間穩(wěn)定證明同前,當(dāng)|r|<|Δ|時(shí),取Lyapunov函數(shù)

(48)

(49)

事實(shí)上,總會(huì)存在一個(gè)很小的數(shù)滿足μ≤(|r|/(|r|+Δ)),有

(50)

根據(jù)引理1,有限時(shí)間收斂得證。

本文提出的控制系統(tǒng)的原理如圖3所示。其中分項(xiàng)逼近的M、C、G、F中的每一個(gè)元素都是一組神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),因此該控制器易于實(shí)現(xiàn)并行處理,適合實(shí)時(shí)實(shí)現(xiàn)。

3 仿真分析

為驗(yàn)證本文提出的機(jī)械臂控制算法的有效性和可靠性,利用Simulink中的Simscape工具箱搭建六軸機(jī)械臂的物理模型,進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),仿真模型如圖4所示。

將本文算法的仿真結(jié)果與傳統(tǒng)PID控制和文獻(xiàn)[18]中提到的RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)整體逼近滑?？刂扑惴ㄟM(jìn)行對(duì)比分析。以關(guān)節(jié)1、2、3為例,得到的仿真結(jié)果如圖5～10所示。

分析圖5～圖9可得,3種算法均能在一定誤差范圍內(nèi)跟蹤特定軌跡,而且由于關(guān)節(jié)2和關(guān)節(jié)3靠近底座部分,關(guān)節(jié)負(fù)載變化比較大,軌跡跟蹤的效果對(duì)比就比較明顯。通過對(duì)比其誤差曲線圖6可知,本文提出的算法具有更好的穩(wěn)態(tài)特性,更小的誤差

波動(dòng)范圍。根據(jù)圖10(a)和圖10(b)對(duì)比可以看出,當(dāng)控制律中使用sgn(r)函數(shù)時(shí)會(huì)存在抖振現(xiàn)象,而采用修改后的σ(r)函數(shù),可以削弱抖振現(xiàn)象,使關(guān)節(jié)控制力矩更加平滑。為進(jìn)一步對(duì)比3種控制算法的動(dòng)態(tài)特性,本文采用關(guān)節(jié)角跟蹤的響應(yīng)時(shí)間(取誤差首次為0的時(shí)間)、關(guān)節(jié)角跟蹤的最大穩(wěn)態(tài)誤差、關(guān)節(jié)角跟蹤的平均穩(wěn)態(tài)誤差來評(píng)估控制器的性能,6個(gè)關(guān)節(jié)的對(duì)比結(jié)果如圖11所示,具體的仿真數(shù)據(jù)見表1。

表1 不同控制器關(guān)節(jié)角跟蹤的動(dòng)態(tài)性能仿真數(shù)據(jù)

分析圖11和表1中的數(shù)據(jù)可知,RBFTSM的性能與傳統(tǒng)的PID和RBF整體逼近算法相比有較大提升,控制精度要高于后兩種算法。以關(guān)節(jié)1、2、3為例,RBFTSM與RBF整體逼近算法相比,最大穩(wěn)態(tài)誤差分別減小了81.8%、83.7%、79.3%;平均穩(wěn)態(tài)誤差分別減小了76.7%、90%、90%。RBFTSM與PID算法相比,響應(yīng)時(shí)間分別縮短了7.3%、26.1%、63.8%;最大穩(wěn)態(tài)誤差分別減小了92.9%、93.3%、90.2%;平均穩(wěn)態(tài)誤差分別減小了90.8%、94.7%、95.2%。

為測(cè)試控制算法的魯棒性和抗干擾能力,第4s時(shí)在末端執(zhí)行器處添加一個(gè)質(zhì)量時(shí)變的負(fù)載,其質(zhì)量呈余弦變化:m=2.5cos(2(t-4))+2.5,t≥4,單位為kg。以關(guān)節(jié)1、2、3為例,加入負(fù)載后關(guān)節(jié)位置跟蹤和誤差曲線如圖12、圖13所示。

由圖12、13中可以看到,當(dāng)加入變化的負(fù)載后,PID和RBF整體逼近算法的穩(wěn)態(tài)特性變得較差,誤差波動(dòng)范圍增加,魯棒性不強(qiáng)。與之相比,RBFTSM算法則體現(xiàn)出了較好的魯棒性。此外,相較于RBF整體逼近算法,RBFTSM算法有更快的響應(yīng)速度,各關(guān)節(jié)誤差的波動(dòng)范圍更小。對(duì)加入干擾后的控制器性能進(jìn)行評(píng)估分析,從結(jié)果中可以看出,采用RBFTSM控制算法的機(jī)械臂在受到外界干擾后依舊能夠保證較好的軌跡跟蹤效果。其中關(guān)節(jié)2最大穩(wěn)態(tài)誤差為0.017 rad,關(guān)節(jié)3最大穩(wěn)態(tài)誤差為0.008 rad,其余4個(gè)關(guān)節(jié)的最大穩(wěn)態(tài)誤差均在0.002 rad以內(nèi);關(guān)節(jié)2平均穩(wěn)態(tài)誤差為0.007 3 rad,關(guān)節(jié)3平均穩(wěn)態(tài)誤差為0.002 8 rad,其余關(guān)節(jié)的平均穩(wěn)態(tài)誤差均在0.000 9 rad以內(nèi)。與RBF整體逼近算法相比,關(guān)節(jié)2最大穩(wěn)態(tài)誤差減少了85.6%,平均穩(wěn)態(tài)誤差減少了90.3%;關(guān)節(jié)3最大穩(wěn)態(tài)誤差減少了81%,平均穩(wěn)態(tài)誤差減少了88.6%;其余關(guān)節(jié)的最大穩(wěn)態(tài)誤差減少了81.8%,平均穩(wěn)態(tài)誤差減少了79.1%。由上述仿真結(jié)果可以看出,該算法具有優(yōu)異的控制性能。

4 結(jié) 論

本文對(duì)六軸機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制算法進(jìn)行了深入研究。主要?jiǎng)?chuàng)新性工作如下:

(1)在Simulink中搭建了六軸機(jī)械臂的物理仿真模型,控制律中引入了非奇異終端滑模超曲面;

(2)采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近,通過權(quán)值自適應(yīng)律的在線調(diào)整,實(shí)現(xiàn)動(dòng)力學(xué)模型重構(gòu);

(3)與已有研究對(duì)比,提高了軌跡跟蹤的精度、響應(yīng)速度和穩(wěn)定性,在受到外界干擾的情況下,控制器體現(xiàn)出了較強(qiáng)的魯棒性。

本文研究工作為模型不確定和存在外界干擾與摩擦的六軸機(jī)械臂軌跡跟蹤控制提供了基礎(chǔ)。在未來工作中,考慮引入優(yōu)化算法,使控制器的參數(shù)能夠自適應(yīng)調(diào)節(jié),并在真實(shí)的機(jī)械臂上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

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