巧構(gòu)對偶式，妙解數(shù)學(xué)題

朱振賢

對偶式是指結(jié)構(gòu)相似或相同，運(yùn)算符號不同，運(yùn)算順序不變的兩個式子．在構(gòu)造對偶式時，通常可將已知式中的“．”變成“+”，“+”變成“．”，“0”變“l(fā)”，“1”變成“0”；再將對偶式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q、化簡，即可順利求得問題的答案．該解法新穎別致，思路新奇，主要是根據(jù)代數(shù)式的對稱性來將代數(shù)式簡化，下面結(jié)合實(shí)例來進(jìn)行探討，

一、構(gòu)造“和差”對偶式

在求解形如U（x）±V（x）的代數(shù)問題時，若采用常規(guī)方法難以使問題得解，則需轉(zhuǎn)換思路，根據(jù)題目中的已知關(guān)系式或目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造與之相匹配的對偶式U（x）干V（x），再通過加減運(yùn)算來消去變量，即可使解題柳暗花明．

二、構(gòu)造“互倒”對偶式

構(gòu)造“互倒”對偶式來解題，實(shí)際上就是利用代數(shù)式的倒數(shù)關(guān)系，將已知條件與所求目標(biāo)式銜接起來，以此達(dá)到解題的目的，在解答代數(shù)問題受阻時，同學(xué)們要學(xué)會另辟蹊徑，對式子中的某些元素取倒數(shù)，構(gòu)造出對偶式，再通過變形、化簡，求得問題的答案，

三、構(gòu)造“互余”對偶式

在求三角函數(shù)值時，往往可以借助角之間的互余關(guān)系來構(gòu)造對偶式，再將兩式相乘，即可根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、和差角公式、倍角公式、輔助角公式將函數(shù)式化簡，從而求得函數(shù)式的值．

由于sin10°、sin50°、sin70° 不是特殊角，所以很難快速求得目標(biāo)式的值，于是利用角之間的互余關(guān)系，構(gòu)造對偶式Y(jié)= cos10°cos30°cos50 ° cos70°；再將兩式相乘，利用二倍角公式、兩角和差公式即可求得X的值，

構(gòu)造對偶式法較為靈活，同學(xué)們在解題時，要根據(jù)已知關(guān)系式或目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造“和差”對偶式、“互余”對偶式、“互倒”對偶式，將問題轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運(yùn)算問題，從而優(yōu)化解題過程，提升解題的效率．