double-order Hilfer分?jǐn)?shù)階共振邊值問(wèn)題解的存在性

孟凡猛，江衛(wèi)華，郭春靜

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，河北石家莊 050018)

分?jǐn)?shù)階微分方程廣泛用于解決物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)等學(xué)科的實(shí)際問(wèn)題[1-5]。邊值問(wèn)題研究起源于應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域[6-8]，彈力穩(wěn)定性理論中很多問(wèn)題都可以采用邊值問(wèn)題方法加以解決。因此，分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題受到很多專家和學(xué)者的關(guān)注[9-12]。

許多研究者研究了常見(jiàn)的Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)和Caputo導(dǎo)數(shù)的邊值問(wèn)題。例如，WANG等[13]研究了Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題

解的存在性，其中1<α<2，0<ξ<1，ηξα-1=1。將共振邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非共振邊值問(wèn)題，再運(yùn)用不動(dòng)點(diǎn)定理，可得到Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分方程三點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性。TANG[14]研究了共振情形下Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程四點(diǎn)邊值問(wèn)題

解的存在性，其中1<α≤2，0<ξ,η<1。運(yùn)用Mawhin的重合度理論，可得到共振情形下Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程四點(diǎn)邊值問(wèn)題解的存在性。HILFER[15]對(duì)Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)和Caputo導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了推廣，得到介于這2個(gè)導(dǎo)數(shù)之間且包含這2個(gè)導(dǎo)數(shù)的Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)。具有Hilfer導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程在近10年取得了一些成果[16-19]。RI等[20]研究了共振情形下Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題

其中φ1(t),φ2(t)∈C[0,T]，ζ0(x)∈C[0,l]。文獻(xiàn)詳細(xì)介紹了廣義Hilfer導(dǎo)數(shù)的概念，給出了它的拉普拉斯變換公式，討論了反常擴(kuò)散方程邊值問(wèn)題的封閉解，但并沒(méi)有詳細(xì)說(shuō)明double-order Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的可解性問(wèn)題。

目前，研究人員已經(jīng)對(duì)Riemann-Liouville和Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題的可解性進(jìn)行了廣泛研究。從文獻(xiàn)來(lái)看，尚未對(duì)共振情形下具有double-order Hilfer導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題展開(kāi)研究。因此，基于前人的研究基礎(chǔ)，筆者研究共振條件下double-order Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程積分邊值問(wèn)題

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

為了方便起見(jiàn)，引入一些符號(hào)和定理。

設(shè)X，Y是實(shí)Banach空間，L:domL?X→Y是指數(shù)為零的Fredholm算子，P:X→X和Q:Y→Y是連續(xù)投影算子，且滿足ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL⊕KerP，Y=ImL⊕ImQ。由此可知，L:domL∩KerP→ImL是可逆的，用Kp表示它的逆。

1)?(u,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×(0,1)，Lu≠λNu；

2)?u∈KerL∩?Ω，Nu?ImL；

定義2[5]函數(shù)y:(0,+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

其中等號(hào)右邊是在(0,+∞)上逐點(diǎn)有意義。

定義3[5]函數(shù)y:(0,+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中等號(hào)右邊是在(0,+∞)上逐點(diǎn)有意義，n=[α]+1。

定義4[21]函數(shù)y:(0,+∞)→R的α,β階δ型double-order Hilfer分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

(2)

其中(m-1)<α

注1[21]：

定義5[5]對(duì)任意的0≤η<1，函數(shù)y的加權(quán)空間定義為

Cη(0,1]:={y|tηy(t)∈C[0,1]}，

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n，

其中ci∈R，i=1,2,…,n，n=[α]+1。

引理3[5]如果α>0，β>-1，且β≠α-i，i=1,2,…,[α]+1，那么

引理4[5]如果α>0，β>0，且y∈L1(+)，那么

引理5[5]如果α>β>0，且y∈L1(+)，那么

特別地，當(dāng)β=k∈且α>k時(shí)，有

引理6[26]在[a,b]上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為2個(gè)增函數(shù)之差，即存在2個(gè)增函數(shù)h(x)和g(x)，使得f(x)=h(x)-g(x)。

設(shè)X=Cn-γ(0,1]，Y=C[0,1]。

假設(shè)以下條件成立。

(H2) 映射f:(0,1]×R→R滿足Carathéodory條件：對(duì)幾乎所有的t∈(0,1]，f(t,x)是x的連續(xù)函數(shù)，對(duì)每一個(gè)x，f(t,x)是t在(0,1]上的可測(cè)函數(shù)，并且對(duì)?r>0，存在φr∈Y，滿足|f(t,x)|≤φr(t)，|x|≤r，a.e.t∈(0,1]。

定義算子L:domL?X→Y和算子N:X→Y分別如下：

其中，

2 主要結(jié)果

引理7設(shè)(H1)成立，則L:domL?X→Y是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm算子。

證明：顯然KerL={u∈domL|u(t)=ctγ-n,?t∈(0,1],c∈R}。

通過(guò)注1可以得到

(3)

(4)

因此

綜上所述，得到

定義線性算子P:X→X，

顯然，

X=KerL⊕KerP。

定義線性算子Q:Y→Y，

通過(guò)計(jì)算得到Q2y=Qy，即Q是一個(gè)冪等算子，是Y上的線性投影算子。顯然，ImL=KerQ。

任取y∈Y，可寫(xiě)成y=(y-Qy)+Qy，其中(y-Qy)∈KerQ=ImL，Qy∈ImQ，因此Y=ImL+ImQ。取y∈ImL∩ImQ，由y∈ImQ得y=Qy；由y∈ImL=KerQ，得Qy=0，因此y=0，Y=ImL⊕ImQ。又dimKerL=1=codimImL，所以，L是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm算子。

引理8定義線性算子Kp:ImL→domL∩KerP，

則Kp=(L|domL∩KerP)-1。

證明：取y∈ImL，可以得到Kpy∈domL∩KerP，且

另一方面，若u∈domL∩KerP，由引理4和引理5可得：

因此，Kp=(L|domL∩KerP)-1。

|f(t,u(t))|≤φr(t)，t∈(0,1]。

|tn-γKp(I-Q)Nu(t)|≤

定理1假設(shè)(H1)和(H2)以及下面的3個(gè)條件成立：

(H3)存在常數(shù)M>0，使得當(dāng)u∈domL，?t∈(0,1]，|u(t)|>M時(shí)，QNu≠0。

(H4)存在非負(fù)函數(shù)a(t)∈X,b(t)∈Y，使得

|f(t,x)|≤a(t)+b(t)|x|，t∈(0,1]，x∈R，

(H5)存在常數(shù)B>0，如果|c|>B，那么cQNu(t)>0或cQNu(t)<0(其中u(t)=ctγ-n)中有一個(gè)不等式成立，邊值問(wèn)題(1)至少有一個(gè)解。

為證明該結(jié)論，首先證明如下3個(gè)引理。

引理10若條件(H3)和(H4)成立，則Ω1={u|u∈domLKerL,Lu=λNu,λ∈(0,1)}在X上是有界的。

證明：任取u∈Ω1，則Lu(t)=λNu(t)，因此

依據(jù)λNu∈ImL=KerQ，得QNu(t)=0。通過(guò)條件(H3)可知，存在t0∈(0,1]，使得|u(t0)|≤M。

將t=t0代入u(t)中，得

那么有

因此

整理得

故Ω1是有界的。

引理11若條件(H1)—(H3)成立，則Ω2={u|u∈KerL,Nu∈ImL}在X上是有界的。

證明：令u∈Ω2，則u(t)=ctγ-n，c∈R。因此，|tn-γu(t)|=|c|。又QNu=0，由條件(H3)可知，存在t0∈(0,1]，使得|u(t0)|≤M。將t=t0代入u(t)=ctγ-n中，可得|c|≤M，故Ω2是有界的。

引理12若條件(H1)—(H3)和(H5)成立，則集合

Ω3={u∈KerL|λJu+(1-λ)θQNu=0,λ∈[0,1]}

在X中是有界的。其中J:KerL→ImQ，J(ctγ-n)=c，(c∈R，t∈(0,1])是線性同構(gòu)映射，

證明：任取u∈Ω3，則u=ctγ-n，λJ(ctγ-n)+(1-λ)θQN(ctγ-n)=0。

如果λ=1，則c=0；如果λ=0，由條件(H5)，得到|c|≤B；如果λ∈(0,1)，假設(shè)|c|>B，由條件(H5)可得到λc2=-(1-λ)θcQNu(t)<0是矛盾的。因此Ω3有界。

下面證明定理1。

a)?(u,λ)∈[(domLKerL)∩?Ω]×(0,1)，Lu≠λNu；

b)?u∈KerL∩?Ω，Nu?ImL。

證明deg(JQN|KerL,Ω∩KerL,0)≠0。

令H(u,λ)=λJu+θ(1-λ)QNu，由引理12可知，H(u,λ)≠0，u∈?Ω∩KerL。

由度的同倫不變性可得：

deg(JQN|KerL,Ω∩KerL,0)=deg(θH(·,0),Ω∩KerL,0)=

deg(θH(·,1),Ω∩KerL,0)=

deg(θJ,Ω∩KerL,0)≠0。

由此應(yīng)用引理1，可知微分方程邊值問(wèn)題(1)在X上至少有一個(gè)解。證畢。

3 舉 例

考慮下述共振邊值問(wèn)題：

(5)

并且

則條件(H4)成立。

令M=5，對(duì)任意的t∈(0,1]，如果u(t)>M，那么

因此

對(duì)任意的t∈(0,1]，如果u(t)< -M，那么

因此

故得到條件(H3)成立。

最后，令B=6，如果c>B，有

如果c< -B，有

所以條件(H5)成立。由定理1得到問(wèn)題(5)至少有一個(gè)解。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文運(yùn)用Mawhin重合度理論，研究了共振情形下double-order Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程在積分邊界條件下解的存在性，擴(kuò)展了導(dǎo)數(shù)階數(shù)的取值范圍，豐富了分?jǐn)?shù)階微分方程可解性的理論，為微分方程在空氣動(dòng)力學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、控制理論等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了理論參考。

本研究?jī)H考慮了共振微分方程Lx=Nx邊值問(wèn)題中L是線性算子且Nx連續(xù)時(shí)的可解性，條件要求過(guò)高，未能體現(xiàn)出更一般化的結(jié)果。因此，在未來(lái)的研究中，將對(duì)含有p-Laplacian算子的非線性double-order Hilfer分?jǐn)?shù)階微分方程在一般化條件下解的存在性進(jìn)行深入探討，并對(duì)得到的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。