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    凸顯“聯(lián)系·結(jié)構(gòu)·建構(gòu)”促學(xué)生數(shù)學(xué)思維深度發(fā)展
    ——以人教版《平行四邊形的面積》為例

    2022-11-27 06:39:07方雪蓉
    關(guān)鍵詞:建構(gòu)數(shù)學(xué)方法

    方雪蓉

    (漳州市龍文區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校,福建 漳州 363005)

    認(rèn)知心理學(xué)家布魯納提出,學(xué)習(xí)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織,學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是如何聯(lián)系的。新課標(biāo)更強(qiáng)調(diào)知識(shí)整體性、關(guān)聯(lián)性、系統(tǒng)性以及學(xué)習(xí)的建構(gòu)性,特別強(qiáng)調(diào)要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析,幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題,形成科學(xué)的思維習(xí)慣,發(fā)展核心素養(yǎng)。

    —、緊扣舊知激活經(jīng)驗(yàn)

    “平行四邊形的面積”是人教版五年級(jí)上冊(cè)第六單元多邊形面積的第一課時(shí),之前學(xué)生已學(xué)完長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算公式和平行四邊形的認(rèn)識(shí)。本節(jié)課是學(xué)生首次用轉(zhuǎn)化的方法來探索圖形的面積公式,也是促進(jìn)學(xué)生空間觀念發(fā)展、滲透轉(zhuǎn)化、變與不變等數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵課,對(duì)學(xué)生后續(xù)探索更多平面圖形面積以至立體圖形的學(xué)習(xí)都至關(guān)重要。筆者認(rèn)為本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是如何讓學(xué)生自主地調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)探索平行四邊形面積的計(jì)算方法。課前,筆者進(jìn)行簡(jiǎn)單的前測(cè)發(fā)現(xiàn):給出一個(gè)沒有畫高的平行四邊形,很多學(xué)生認(rèn)為求面積用“鄰邊相乘”,并振振有詞?;蛟S這才是學(xué)生最真實(shí)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、最近的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)。

    (一)喚醒舊知

    課件出示平行四邊形。

    師:認(rèn)識(shí)它嗎?關(guān)于它,你都知道些什么?

    生:兩組對(duì)邊分別相等;每組對(duì)邊之間有無(wú)數(shù)條高;容易變形。

    師:如果這個(gè)平行四邊形是一個(gè)框架的話,它的形狀還可以不斷地發(fā)生變化。(師拿框架演示),這些都是前面所學(xué)的大家都知道的知識(shí)。今天這節(jié)課繼續(xù)研究平行四邊形新的知識(shí)(板書:平行四邊形的面積)。

    (二)引發(fā)猜想

    師:根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn),要求平行四邊形的面積,需要哪些數(shù)據(jù)?大膽猜猜怎么算?

    根據(jù)學(xué)生回答,課件出示相應(yīng)條件:

    生:底乘鄰邊;底乘高

    師:能說說你是怎么想的嗎?

    生1:因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)×寬,所以平行四邊形的面積=底×鄰邊。

    生2:剛才平行四邊形可以拉成長(zhǎng)方形,所以平行四邊形的面積等于相鄰的兩條邊相乘。

    師:聽起來有點(diǎn)道理。

    生3:因?yàn)榘炎筮叺娜切我频接疫?,就變成長(zhǎng)方形,長(zhǎng)就是底,寬就是高,所以平行四邊形的面積=底×高。

    師:也蠻有道理的,兩種不同的猜想,究竟哪種才是對(duì)呢?

    【說明】本環(huán)節(jié)改變了教材的呈現(xiàn)方式,直截了當(dāng),緊扣舊知,用簡(jiǎn)約樸素的素材,開放而又富有挑戰(zhàn)的問題,讓學(xué)生形成認(rèn)知沖突,產(chǎn)生進(jìn)一步探究的欲望。

    二、尋找聯(lián)系自主建構(gòu)

    建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為,學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單的信息積累,也不是由教師傳授而獲得的,而是學(xué)習(xí)者根據(jù)已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法,(在同伴及教師的幫助下)主動(dòng)地選擇、加工和處理,通過意義建構(gòu)的活動(dòng)而獲得的。數(shù)學(xué)教學(xué),就是要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)尋找前后知識(shí)間蘊(yùn)含的關(guān)聯(lián),進(jìn)而從不同的角度理解和認(rèn)識(shí)問題,創(chuàng)造性地解決問題,并逐步建構(gòu)起自己的“思想體系”“方法體系”,促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的深度發(fā)展。

    (一)自我建構(gòu)

    師:如果你有足夠的本事,就在這個(gè)平行四邊形里面自己來研究為什么平行四邊形的面積=底×高?

    師:如果你覺得你還要有一些小幫助,在紙的背面還有一個(gè)友情支持,你可以在有格點(diǎn)的圖中,畫一畫,標(biāo)一標(biāo),寫一寫,用數(shù)學(xué)的方法讓別人一眼就看明白看你是怎么想的,選擇你喜歡的開始研究吧?。▽W(xué)生動(dòng)手?jǐn)?shù)格子,教師巡視,搜集典型作品)

    1.挑選三種不同方法的學(xué)生作品上臺(tái)展示(課件)

    一格一格數(shù)——部分拼組——整體拼組

    2.結(jié)合課件比較兩種方法

    匯報(bào)一:先數(shù)整格數(shù),然后再把其他不足整格的進(jìn)行拼湊

    匯報(bào)二:將平行四邊形分割成三部分

    匯報(bào)三:直接把平行四邊形的一個(gè)角剪下來放到另一個(gè)角上去,拼成一個(gè)長(zhǎng)方形

    (二)比較完善

    師:你喜歡感那種方法?為什么?

    師:有沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)6×4 里面隱藏著什么奧秘呢?

    師:看來平行四邊形的面積很有可能等于底×高。

    【說明】本環(huán)節(jié)整體性地呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料,讓學(xué)生自主選擇探究方法,沒了教師的牽引,學(xué)生自帶經(jīng)驗(yàn)、自我研究、自我建構(gòu),“催生真學(xué)習(xí)”,“培養(yǎng)思維力”。

    三、合作探究完善建構(gòu)

    數(shù)學(xué)對(duì)象的建構(gòu)事實(shí)上是一種整體性的建構(gòu)活動(dòng)。結(jié)構(gòu)的本質(zhì)是元素及其關(guān)系的整體關(guān)聯(lián),因此,教學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)基于知識(shí)整體單元的發(fā)生與發(fā)展,凸顯知識(shí)元素間的溝通與聯(lián)系,是將教材的學(xué)科結(jié)構(gòu)高效率地轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí),使學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律與知識(shí)發(fā)生規(guī)律相融合。學(xué)習(xí)應(yīng)是意義建構(gòu)過程中的探險(xiǎn),唯有經(jīng)過充滿挑戰(zhàn)、疑惑、探索、苦思、頓悟、驚喜……曲折多變,才能建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識(shí)的完整樣態(tài),促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的深度發(fā)展,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)生長(zhǎng)。

    師:是不是任意一個(gè)平行四邊形的面積都等于底×高呢?

    沒了方格圖的支持,你還能求出它的面積嗎?請(qǐng)同桌一起來研究?

    (一)剪拼轉(zhuǎn)化

    1.想一想:可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化成什么圖形來研究?

    2.畫一畫,剪一剪,拼一拼:怎樣轉(zhuǎn)化?

    師:請(qǐng)拿出準(zhǔn)備好的平行四邊形和學(xué)具,開始研究吧!

    (二)展示互動(dòng)

    1.師:同桌互相說說你們是怎么剪拼轉(zhuǎn)化的。

    三種不同的平行四邊形+沿著不同位置的高剪。

    師:有沒有沿著不同位置剪的?

    準(zhǔn)備兩個(gè)高沒畫在定點(diǎn)上的,讓學(xué)生剪開上臺(tái)展示是否能拼成長(zhǎng)方形。

    師:有沒有哪位同學(xué)的平行四邊形不能剪拼成長(zhǎng)方形的?

    師:為什么要沿著高剪?

    2.課件出示沿著不同的高剪拼的過程

    質(zhì)疑:一定要沿著高剪嗎?

    師:想得到直角除了沿著高剪,沿著垂線剪可不可以呢?請(qǐng)看屏幕(課件展示沿著垂線剪)。

    (三)公式推導(dǎo)

    師:看來任意一個(gè)平行四邊形,都可以沿高剪開,再拼成長(zhǎng)方形,那我們就可以說所有的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形(板書),轉(zhuǎn)化——是數(shù)學(xué)研究中非常重要的思想方法,它讓我們找到了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。接著繼續(xù)研究轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形和原來的平行四邊形之間究竟有什么關(guān)系?

    請(qǐng)看活動(dòng)3 要求:

    (1)觀察轉(zhuǎn)化前后的圖形有怎樣的等量關(guān)系?(2)你能得到什么結(jié)論?(3)填寫公式推導(dǎo)學(xué)習(xí)單。

    1.分享研究成果

    長(zhǎng)方形的面積=平行四邊形的面積,長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=平行四邊形的底(板書),長(zhǎng)方形的寬=平行四邊形的高(板書),因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬(板書),所以平行四邊形的面積=底×高。(板書)

    如果我們用S 表示面積,a 表示底,h 表示高那么我們就可以用更簡(jiǎn)潔字母公式:S=ah(板書)來表示平行四邊形的面積計(jì)算公式。

    2.課件演示推導(dǎo)過程

    3.平行四邊形對(duì)拉,面積的變化情況。

    師:仔細(xì)觀察,老師手中平行四邊形框架在拉動(dòng)的過程中,什么變了,什么沒變?

    學(xué)生觀察得出:周長(zhǎng)不變,面積變了。底邊不變,面積隨著高的變化而變化。拉成長(zhǎng)方形的時(shí)候面積最大。

    【說明】本環(huán)節(jié)著眼于促進(jìn)學(xué)生高質(zhì)量思維的形成,通過參與對(duì)話、合作探究、展示互動(dòng)等活動(dòng),以關(guān)鍵問題串為“腳手架”,讓學(xué)生深刻地領(lǐng)悟到平行四邊形的“高”在面積計(jì)算中的特殊意義,幫助學(xué)生打破長(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算時(shí)建立起來的根據(jù)圖形的邊線長(zhǎng)度計(jì)算面積思維定勢(shì)。不僅揭示了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律的形成過程;還提煉數(shù)學(xué)的思想方法、體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的理性精神。讓學(xué)生不僅學(xué)得知識(shí)、習(xí)得方法,還能生成智慧。

    四、多層練習(xí)深化理解

    師:有了這個(gè)計(jì)算公式,現(xiàn)在要求平行四邊形的面積是不是很簡(jiǎn)單了,只要知道什么條件?

    (一)公式應(yīng)用

    1.出示例題1:平行四邊形花壇的底是4m,高是3m,它的面積是多少?

    2.出示完成課本89 頁(yè)的第2 題。著重強(qiáng)調(diào)底和高要相對(duì)應(yīng)。

    3.依次出現(xiàn):底和高不相對(duì)應(yīng),能求出面積嗎?

    再給一條高,求出面積,再求出另外一條底。

    師:有沒有要提醒自己和同學(xué)們特別注意什么?

    師:看來同學(xué)們都學(xué)的很好,有沒有信心再接受挑戰(zhàn)?

    (二)等底等高的平行四邊形面積一定相等嗎?

    課件依次出示四個(gè)形狀不同,但等底等高的平行四邊形。

    師:你有什么發(fā)現(xiàn)?等底等高?

    生:等底等高,面積都相等。

    師:還能畫嗎?

    生:“我覺得可以畫無(wú)數(shù)個(gè)”“只要底都是4 厘米,高都是5 厘米就可以了?!薄暗缀透卟蛔?,所以面積就不變”“雖然它們的樣子不一樣,但面積是一樣的”。

    師:也就是說,平行四邊形只要等底等高,不管什么樣子,它們的面積都相等。

    (三)面積相等的平行四邊形一定等底等高嗎?

    師:反著說,面積相等的平行四邊形一定等底等高?對(duì)嗎?

    屏幕出現(xiàn)4 個(gè)底和高不相等的平行四邊形。

    師:怎么說是正確的?

    生:面積相等的平行四邊形不一定等底等高。

    師:真是一字之差,謬之千里。這就是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之美。

    【說明】本環(huán)節(jié)練習(xí)設(shè)計(jì)層次性與整體性相結(jié)合,由淺入深、分層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)緊扣,在“變”與“不變”的辨析中,不僅加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)深層次的理解、還進(jìn)一步幫助學(xué)生完善知識(shí)的整體建構(gòu)結(jié)構(gòu)與聯(lián)系。

    五、總結(jié)延伸整體建構(gòu)

    問題1:同學(xué)們通過哪些方法驗(yàn)證找到了平行四邊形面積的計(jì)算方法?你覺得在研究過程中,最應(yīng)該感謝哪個(gè)圖形的幫忙?為什么?

    問題2:同學(xué)們,今天這節(jié)課我們通過了轉(zhuǎn)化、找聯(lián)系、推導(dǎo)公式,求出了平行四邊形的面積,猜猜還有什么圖形的面積計(jì)算利可能用到類似的方法?

    問題3:把平行四邊形剪拼成長(zhǎng)方形,什么變了,什么不變?

    問題4:除了知識(shí)上的收獲,在學(xué)習(xí)方法上有什么收獲?

    【說明】本環(huán)節(jié)通過四個(gè)問題,不僅再現(xiàn)回顧學(xué)習(xí)過程,幫助學(xué)生承上啟下,前伸后延,還幫助學(xué)生在“變”與“不變”中學(xué)會(huì)辨析,使原本隱藏在教材背后的知識(shí)凸顯出來,抓住聯(lián)系,更好地把握結(jié)構(gòu)、理解結(jié)構(gòu),以及獲得知識(shí)的方法結(jié)構(gòu),以結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的模型保存在學(xué)生的大腦皮層,方便在后續(xù)的學(xué)習(xí)中能迅速、有效地提取與轉(zhuǎn)化。

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