凸顯“聯(lián)系·結(jié)構(gòu)·建構(gòu)”促學(xué)生數(shù)學(xué)思維深度發(fā)展
——以人教版《平行四邊形的面積》為例

方雪蓉

（漳州市龍文區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校，福建 漳州 363005）

認(rèn)知心理學(xué)家布魯納提出，學(xué)習(xí)就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的組織和重新組織，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是如何聯(lián)系的。新課標(biāo)更強(qiáng)調(diào)知識(shí)整體性、關(guān)聯(lián)性、系統(tǒng)性以及學(xué)習(xí)的建構(gòu)性，特別強(qiáng)調(diào)要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，發(fā)展核心素養(yǎng)。

—、緊扣舊知激活經(jīng)驗(yàn)

“平行四邊形的面積”是人教版五年級(jí)上冊第六單元多邊形面積的第一課時(shí)，之前學(xué)生已學(xué)完長方形、正方形面積計(jì)算公式和平行四邊形的認(rèn)識(shí)。本節(jié)課是學(xué)生首次用轉(zhuǎn)化的方法來探索圖形的面積公式，也是促進(jìn)學(xué)生空間觀念發(fā)展、滲透轉(zhuǎn)化、變與不變等數(shù)學(xué)思想方法的關(guān)鍵課，對(duì)學(xué)生后續(xù)探索更多平面圖形面積以至立體圖形的學(xué)習(xí)都至關(guān)重要。筆者認(rèn)為本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是如何讓學(xué)生自主地調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)探索平行四邊形面積的計(jì)算方法。課前，筆者進(jìn)行簡單的前測發(fā)現(xiàn)：給出一個(gè)沒有畫高的平行四邊形，很多學(xué)生認(rèn)為求面積用“鄰邊相乘”，并振振有詞?；蛟S這才是學(xué)生最真實(shí)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、最近的知識(shí)生長點(diǎn)。

（一）喚醒舊知

課件出示平行四邊形。

師：認(rèn)識(shí)它嗎？關(guān)于它，你都知道些什么？

生：兩組對(duì)邊分別相等；每組對(duì)邊之間有無數(shù)條高；容易變形。

師：如果這個(gè)平行四邊形是一個(gè)框架的話，它的形狀還可以不斷地發(fā)生變化。（師拿框架演示），這些都是前面所學(xué)的大家都知道的知識(shí)。今天這節(jié)課繼續(xù)研究平行四邊形新的知識(shí)（板書：平行四邊形的面積）。

（二）引發(fā)猜想

師：根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，要求平行四邊形的面積，需要哪些數(shù)據(jù)？大膽猜猜怎么算？

根據(jù)學(xué)生回答，課件出示相應(yīng)條件：

生：底乘鄰邊；底乘高

師：能說說你是怎么想的嗎？

生1：因?yàn)殚L方形的面積等于長×寬，所以平行四邊形的面積=底×鄰邊。

生2：剛才平行四邊形可以拉成長方形，所以平行四邊形的面積等于相鄰的兩條邊相乘。

師：聽起來有點(diǎn)道理。

生3：因?yàn)榘炎筮叺娜切我频接疫?，就變成長方形，長就是底，寬就是高，所以平行四邊形的面積=底×高。

師：也蠻有道理的，兩種不同的猜想，究竟哪種才是對(duì)呢？

【說明】本環(huán)節(jié)改變了教材的呈現(xiàn)方式，直截了當(dāng)，緊扣舊知，用簡約樸素的素材，開放而又富有挑戰(zhàn)的問題，讓學(xué)生形成認(rèn)知沖突，產(chǎn)生進(jìn)一步探究的欲望。

二、尋找聯(lián)系自主建構(gòu)

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是簡單的信息積累，也不是由教師傳授而獲得的，而是學(xué)習(xí)者根據(jù)已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、方法，（在同伴及教師的幫助下）主動(dòng)地選擇、加工和處理，通過意義建構(gòu)的活動(dòng)而獲得的。數(shù)學(xué)教學(xué)，就是要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)尋找前后知識(shí)間蘊(yùn)含的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而從不同的角度理解和認(rèn)識(shí)問題，創(chuàng)造性地解決問題，并逐步建構(gòu)起自己的“思想體系”“方法體系”，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的深度發(fā)展。

（一）自我建構(gòu)

師：如果你有足夠的本事，就在這個(gè)平行四邊形里面自己來研究為什么平行四邊形的面積=底×高？

師：如果你覺得你還要有一些小幫助，在紙的背面還有一個(gè)友情支持，你可以在有格點(diǎn)的圖中，畫一畫，標(biāo)一標(biāo)，寫一寫，用數(shù)學(xué)的方法讓別人一眼就看明白看你是怎么想的，選擇你喜歡的開始研究吧?。▽W(xué)生動(dòng)手?jǐn)?shù)格子，教師巡視，搜集典型作品）

1.挑選三種不同方法的學(xué)生作品上臺(tái)展示（課件）

一格一格數(shù)——部分拼組——整體拼組

2.結(jié)合課件比較兩種方法

匯報(bào)一：先數(shù)整格數(shù)，然后再把其他不足整格的進(jìn)行拼湊

匯報(bào)二：將平行四邊形分割成三部分

匯報(bào)三：直接把平行四邊形的一個(gè)角剪下來放到另一個(gè)角上去，拼成一個(gè)長方形

（二）比較完善

師：你喜歡感那種方法？為什么？

師：有沒有發(fā)現(xiàn)這個(gè)6×4 里面隱藏著什么奧秘呢？

師：看來平行四邊形的面積很有可能等于底×高。

【說明】本環(huán)節(jié)整體性地呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生自主選擇探究方法，沒了教師的牽引，學(xué)生自帶經(jīng)驗(yàn)、自我研究、自我建構(gòu)，“催生真學(xué)習(xí)”，“培養(yǎng)思維力”。

三、合作探究完善建構(gòu)

數(shù)學(xué)對(duì)象的建構(gòu)事實(shí)上是一種整體性的建構(gòu)活動(dòng)。結(jié)構(gòu)的本質(zhì)是元素及其關(guān)系的整體關(guān)聯(lián)，因此，教學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)基于知識(shí)整體單元的發(fā)生與發(fā)展，凸顯知識(shí)元素間的溝通與聯(lián)系，是將教材的學(xué)科結(jié)構(gòu)高效率地轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律與知識(shí)發(fā)生規(guī)律相融合。學(xué)習(xí)應(yīng)是意義建構(gòu)過程中的探險(xiǎn)，唯有經(jīng)過充滿挑戰(zhàn)、疑惑、探索、苦思、頓悟、驚喜……曲折多變，才能建構(gòu)起數(shù)學(xué)知識(shí)的完整樣態(tài)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的深度發(fā)展，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)生長。

師：是不是任意一個(gè)平行四邊形的面積都等于底×高呢？

沒了方格圖的支持，你還能求出它的面積嗎？請(qǐng)同桌一起來研究？

（一）剪拼轉(zhuǎn)化

1.想一想：可以將平行四邊形轉(zhuǎn)化成什么圖形來研究？

2.畫一畫，剪一剪，拼一拼：怎樣轉(zhuǎn)化？

師：請(qǐng)拿出準(zhǔn)備好的平行四邊形和學(xué)具，開始研究吧!

（二）展示互動(dòng)

1.師：同桌互相說說你們是怎么剪拼轉(zhuǎn)化的。

三種不同的平行四邊形+沿著不同位置的高剪。

師：有沒有沿著不同位置剪的？

準(zhǔn)備兩個(gè)高沒畫在定點(diǎn)上的，讓學(xué)生剪開上臺(tái)展示是否能拼成長方形。

師：有沒有哪位同學(xué)的平行四邊形不能剪拼成長方形的？

師：為什么要沿著高剪？

2.課件出示沿著不同的高剪拼的過程

質(zhì)疑：一定要沿著高剪嗎？

師：想得到直角除了沿著高剪，沿著垂線剪可不可以呢？請(qǐng)看屏幕（課件展示沿著垂線剪）。

（三）公式推導(dǎo)

師：看來任意一個(gè)平行四邊形，都可以沿高剪開，再拼成長方形，那我們就可以說所有的平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成長方形（板書），轉(zhuǎn)化——是數(shù)學(xué)研究中非常重要的思想方法，它讓我們找到了新舊知識(shí)之間的聯(lián)系。接著繼續(xù)研究轉(zhuǎn)化后的長方形和原來的平行四邊形之間究竟有什么關(guān)系？

請(qǐng)看活動(dòng)3 要求：

（1）觀察轉(zhuǎn)化前后的圖形有怎樣的等量關(guān)系？（2）你能得到什么結(jié)論？（3）填寫公式推導(dǎo)學(xué)習(xí)單。

1.分享研究成果

長方形的面積=平行四邊形的面積，長方形的長=平行四邊形的底（板書），長方形的寬=平行四邊形的高（板書），因?yàn)殚L方形的面積=長×寬（板書），所以平行四邊形的面積=底×高。（板書）

如果我們用S 表示面積，a 表示底，h 表示高那么我們就可以用更簡潔字母公式：S=ah（板書）來表示平行四邊形的面積計(jì)算公式。

2.課件演示推導(dǎo)過程

3.平行四邊形對(duì)拉，面積的變化情況。

師：仔細(xì)觀察，老師手中平行四邊形框架在拉動(dòng)的過程中，什么變了，什么沒變？

學(xué)生觀察得出：周長不變，面積變了。底邊不變，面積隨著高的變化而變化。拉成長方形的時(shí)候面積最大。

【說明】本環(huán)節(jié)著眼于促進(jìn)學(xué)生高質(zhì)量思維的形成，通過參與對(duì)話、合作探究、展示互動(dòng)等活動(dòng)，以關(guān)鍵問題串為“腳手架”，讓學(xué)生深刻地領(lǐng)悟到平行四邊形的“高”在面積計(jì)算中的特殊意義，幫助學(xué)生打破長方形、正方形面積計(jì)算時(shí)建立起來的根據(jù)圖形的邊線長度計(jì)算面積思維定勢。不僅揭示了知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、規(guī)律的形成過程；還提煉數(shù)學(xué)的思想方法、體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的理性精神。讓學(xué)生不僅學(xué)得知識(shí)、習(xí)得方法，還能生成智慧。

四、多層練習(xí)深化理解

師：有了這個(gè)計(jì)算公式，現(xiàn)在要求平行四邊形的面積是不是很簡單了，只要知道什么條件？

（一）公式應(yīng)用

1.出示例題1：平行四邊形花壇的底是4m，高是3m，它的面積是多少？

2.出示完成課本89 頁的第2 題。著重強(qiáng)調(diào)底和高要相對(duì)應(yīng)。

3.依次出現(xiàn)：底和高不相對(duì)應(yīng)，能求出面積嗎？

再給一條高，求出面積，再求出另外一條底。

師：有沒有要提醒自己和同學(xué)們特別注意什么？

師：看來同學(xué)們都學(xué)的很好，有沒有信心再接受挑戰(zhàn)？

（二）等底等高的平行四邊形面積一定相等嗎？

課件依次出示四個(gè)形狀不同，但等底等高的平行四邊形。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？等底等高？

生：等底等高，面積都相等。

師：還能畫嗎？

生：“我覺得可以畫無數(shù)個(gè)”“只要底都是4 厘米，高都是5 厘米就可以了?！薄暗缀透卟蛔?，所以面積就不變”“雖然它們的樣子不一樣，但面積是一樣的”。

師：也就是說，平行四邊形只要等底等高，不管什么樣子，它們的面積都相等。

（三）面積相等的平行四邊形一定等底等高嗎？

師：反著說，面積相等的平行四邊形一定等底等高？對(duì)嗎？

屏幕出現(xiàn)4 個(gè)底和高不相等的平行四邊形。

師：怎么說是正確的？

生：面積相等的平行四邊形不一定等底等高。

師：真是一字之差，謬之千里。這就是數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)之美。

【說明】本環(huán)節(jié)練習(xí)設(shè)計(jì)層次性與整體性相結(jié)合，由淺入深、分層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)緊扣，在“變”與“不變”的辨析中，不僅加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)深層次的理解、還進(jìn)一步幫助學(xué)生完善知識(shí)的整體建構(gòu)結(jié)構(gòu)與聯(lián)系。

五、總結(jié)延伸整體建構(gòu)

問題1：同學(xué)們通過哪些方法驗(yàn)證找到了平行四邊形面積的計(jì)算方法？你覺得在研究過程中，最應(yīng)該感謝哪個(gè)圖形的幫忙？為什么？

問題2：同學(xué)們，今天這節(jié)課我們通過了轉(zhuǎn)化、找聯(lián)系、推導(dǎo)公式，求出了平行四邊形的面積，猜猜還有什么圖形的面積計(jì)算利可能用到類似的方法？

問題3：把平行四邊形剪拼成長方形，什么變了，什么不變？

問題4：除了知識(shí)上的收獲，在學(xué)習(xí)方法上有什么收獲？

【說明】本環(huán)節(jié)通過四個(gè)問題，不僅再現(xiàn)回顧學(xué)習(xí)過程，幫助學(xué)生承上啟下，前伸后延，還幫助學(xué)生在“變”與“不變”中學(xué)會(huì)辨析，使原本隱藏在教材背后的知識(shí)凸顯出來，抓住聯(lián)系，更好地把握結(jié)構(gòu)、理解結(jié)構(gòu)，以及獲得知識(shí)的方法結(jié)構(gòu)，以結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的模型保存在學(xué)生的大腦皮層，方便在后續(xù)的學(xué)習(xí)中能迅速、有效地提取與轉(zhuǎn)化。