基于新型趨近律的全局快速Terminal滑模PMLSM控制*

索宇超,張 博,楊永寶,艾雄雄,鄧 斌,王 杰

(西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院，陜西 西安 710600)

0 引 言

永磁直線同步電機(jī)(PMLSM)可直接將電能轉(zhuǎn)換成直線運(yùn)動(dòng)，其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，因此廣泛應(yīng)用于智能機(jī)器人、計(jì)算機(jī)數(shù)控、XY平臺(tái)等自動(dòng)化設(shè)備中[1-3]。然而，PMLSM是一個(gè)多變量、非線性、不可確定的對(duì)象[4-5]。由于采用直接驅(qū)動(dòng)方式，減少了中間緩沖機(jī)構(gòu)，使很多不確定的因素作用于PMLSM上，如控制系統(tǒng)的參數(shù)變化和負(fù)載擾動(dòng)。因此，改善PMLSM動(dòng)態(tài)軌跡跟蹤及補(bǔ)償是十分重要的。

滑?？刂?SMC)在電機(jī)控制領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，具有極大的優(yōu)越性。當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)滑模面時(shí)，通過(guò)滑模切換法保證系統(tǒng)狀態(tài)變量達(dá)到平衡點(diǎn)位置，系統(tǒng)狀態(tài)不易受參數(shù)變化和負(fù)載擾動(dòng)等不利因素的影響[6]。但較大的控制增益會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重的抖振現(xiàn)象，并且存在響應(yīng)速度慢的問(wèn)題[7]。為了減少抖振，提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了不同的滑模趨近律控制算法抑制系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了變指數(shù)趨近律方法，通過(guò)冪次項(xiàng)和指數(shù)項(xiàng)可以加快到達(dá)滑模面，但當(dāng)負(fù)載擾動(dòng)過(guò)大時(shí)，系統(tǒng)的精度會(huì)變差。文獻(xiàn)[9]提出了模糊指數(shù)趨近律，基于模糊規(guī)則，重新定義切換功能，減弱系統(tǒng)抖振，但該種方法僅存在于理論研究中。文獻(xiàn)[10]中提出的一種新型SMC采取了邊帶寬趨近的方式，并通過(guò)引進(jìn)反雙曲正弦函數(shù)等特征，比較有效地抑制了系統(tǒng)抖振。但系統(tǒng)受到較大參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)速度變慢，跟蹤精度變差。

綜上所述，本文提出了一種基于新型趨近律的全局快速終端SMC方法。該算法采用新型全局快速終端滑動(dòng)模態(tài)，并在結(jié)合傳統(tǒng)的冪次滑模趨近律的基礎(chǔ)上引入Fal函數(shù)設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行位置跟蹤，以減少系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)響應(yīng)速度，改善系統(tǒng)抖振現(xiàn)象。同時(shí)采用所設(shè)計(jì)的干擾觀測(cè)器估計(jì)PMLSM控制系統(tǒng)的負(fù)載擾動(dòng)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的前饋補(bǔ)償，并對(duì)觀測(cè)的誤差進(jìn)行補(bǔ)償，以增強(qiáng)魯棒性，提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。最后通過(guò)仿真分析驗(yàn)證本文所提控制方法的擾動(dòng)補(bǔ)償能力、位置跟蹤誤差和系統(tǒng)的魯棒性。

1 PMLSM數(shù)學(xué)模型

PMLSM伺服系統(tǒng)[11-13]大多數(shù)是一種非線性、不可確定的系統(tǒng)，為了降低其控制難度，對(duì)PMLSM伺服系統(tǒng)進(jìn)行矢量定向控制，即采用d軸電流id=0的磁場(chǎng)定向控制，電磁推力方程簡(jiǎn)化為

Fe=kfiq

(1)

PMLSM運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

式中:M為動(dòng)子質(zhì)量；v為動(dòng)子速度；B為黏滯摩擦系數(shù)；Fs為負(fù)載擾動(dòng)及系統(tǒng)摩擦力等不確定的因素總和。

為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析，忽略系統(tǒng)摩擦，PMLSM系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

定義狀態(tài)變量：

(4)

由式(3)、式(4)得到狀態(tài)方程為

(5)

式中:u為系統(tǒng)的控制輸入,u=iq；y為系統(tǒng)輸出位置信號(hào)；x0為給定的位置參考信號(hào)。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 滑動(dòng)模態(tài)函數(shù)設(shè)計(jì)

基于新型趨近律的全局快速終端SMC PMLSM伺服系統(tǒng)的控制策略框圖如圖1所示。定義PMLSM位置與速度誤差分別為

e=x1-xs

(6)

(7)

式中：x1為電機(jī)實(shí)際位置信號(hào);xs為能夠跟蹤任意給定輸出的位置信號(hào)。

針對(duì)結(jié)構(gòu)復(fù)雜線性SMC的系統(tǒng)趨近律設(shè)計(jì),需要構(gòu)建適合的線性滑模切換面，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)SMC函數(shù)，改善控制器系統(tǒng)運(yùn)行軌跡促使其以更加快速平滑的方式沿著滑模面運(yùn)動(dòng)。傳統(tǒng)的快速終端SMC方法中，假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)均處于逐步接近或近似平衡狀態(tài)時(shí)，與非線性快速滑動(dòng)模態(tài)的收斂速度相比，線性滑動(dòng)模態(tài)的收斂速度明顯更快。

圖1 基于新型趨近律的全局快速終端PMLSM伺服系統(tǒng)控制策略框圖

綜合考慮線性滑動(dòng)模態(tài)與快速終端滑動(dòng)模態(tài)，定義新型全局快速終端滑模面：

(8)

式中:k1和k2>0；α和β為正奇數(shù)且β>α。

系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面時(shí)(s=0)，有：

(9)

由式(9)得：

(10)

(11)

式(11)解為

(12)

當(dāng)t=0時(shí)，C=y(0)，式(12)變?yōu)?/p>

(13)

系統(tǒng)的收斂時(shí)間為t,式(13)變?yōu)?/p>

(14)

由于k1和k2>0,α和β為正奇數(shù)且β>α,y(0)=e(0)(β-α/β),則在滑動(dòng)模態(tài)基礎(chǔ)上，任意從初始狀態(tài)e(0)≠0收斂到平衡滑動(dòng)狀態(tài)e=0的收斂時(shí)間為

(15)

式(15)在確定了滑模面和其參數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的跟蹤誤差就可以保證在有限時(shí)間周期內(nèi)沿滑模面收斂為0。

2.2 新型滑模趨近律控制設(shè)計(jì)

趨近律能使系統(tǒng)從初始狀態(tài)收斂到滑模面，并保證系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上，選取合適的趨近律可以在相同抖振下，更快地趨近于0，減少系統(tǒng)抖振[14-15]。

為了更合理地設(shè)計(jì)SMC從而采用冪次趨近律。冪次趨近律表達(dá)式定義為

(16)

式中：k>0;0

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在遠(yuǎn)離滑模面時(shí)，通過(guò)調(diào)整?值可以保證整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能以一種相對(duì)較大的速度趨近于滑模面;當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)趨近滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，調(diào)整?值促使系統(tǒng)具有較小幅度變化的控制增益，從而降低抖振。

由以上分析可知，冪次趨近律雖然可以在一定程度上增加趨近速度，但接近滑模面時(shí)，系統(tǒng)抖振嚴(yán)重，滑模增益為0時(shí)，影響系統(tǒng)的魯棒性。

為了提高PMLSM伺服系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)，進(jìn)一步削弱系統(tǒng)抖振。本文在冪次趨近律的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的新型趨近律表達(dá)式為

(17)

利用Fal函數(shù)進(jìn)行平滑處理，F(xiàn)al函數(shù)的表達(dá)式為

(18)

式中：ε>0;0<δ<1;0<γ<1。

使用Fal函數(shù)代替開(kāi)關(guān)函數(shù)促使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程在滑模面上趨近原點(diǎn)時(shí)更加簡(jiǎn)單和平滑，依據(jù)s函數(shù)值的變化情況對(duì)系統(tǒng)趨近速率實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)地調(diào)整，降低系統(tǒng)抖振。Fal(s)、雙曲正切函數(shù)、sat(s)以及sign(s)運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖2所示。

圖2 Fal(s)、雙曲正切函數(shù)、sat(s)和sign(s)的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖

對(duì)式(8)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，并將式(5)、式(6)、式(7)和式(17)全部代入，得到控制率u為

(19)

為了提高PMLSM控制精度，在SMC外采用干擾觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)擾動(dòng)等進(jìn)行前饋補(bǔ)償，估計(jì)外部擾動(dòng)ds，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。

2.3 干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

觀測(cè)器是用估計(jì)輸出與實(shí)際輸出的差值對(duì)估計(jì)值進(jìn)行修正，因此可以將干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)為[16]

(20)

(21)

對(duì)式(21)進(jìn)行微分方程求解得：

(22)

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

(23)

將式(17)代入式(23)得：

(24)

根據(jù)以上理論分析，基于新型趨近控制器的式(19)可以寫(xiě)為

(25)

4 仿真分析

基于以上理論，設(shè)計(jì)出了基于新型趨近律的全局快速終端SMC。為了證明本文所提新型趨近律的全速快速終端SMC策略的有效性與準(zhǔn)確性，對(duì)PMLSM驅(qū)動(dòng)位置控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)進(jìn)行仿真分析，PMLSM的各項(xiàng)參數(shù)如表1所示。

表1 電機(jī)參數(shù)

控制器的各項(xiàng)參數(shù)為k1=40,k2=30,α=1.8,β=1.5,k=14.8,ε=0.5,δ=0.5,γ=0.5,?=0.8。

為了驗(yàn)證本文所提出的控制策略，與傳統(tǒng)的冪次趨近律進(jìn)行比較，傳統(tǒng)冪次趨近律如下：

u=iq=

(26)

4.1 輸入位置信號(hào)為正弦波信號(hào)

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的跟蹤性能，位置信號(hào)設(shè)定為1.5 mm、頻率為1.5 Hz。在4 s時(shí)施加外部擾動(dòng)，其值為40 N，基于傳統(tǒng)的冪次趨近律和本文提出的控制方法，位置跟蹤誤差曲線如圖3所示。圖4和圖5分別為基于傳統(tǒng)冪次趨近律與本文所提出控制方法的位置誤差曲線。由圖4可知，傳統(tǒng)冪次趨近律控制方法的位置誤差在電機(jī)剛運(yùn)行時(shí)上升到0.28 mm，并且出現(xiàn)了跳躍，在0.5 s時(shí)誤差逐漸接近0。在4 s時(shí)，突加外部擾動(dòng)40 N，位置誤差突然增加到5 mm，在4.12 s左右穩(wěn)定，但穩(wěn)定在0.2 mm附近，并伴隨抖振。由圖5可知，本文提出控制方法的位置誤差在電機(jī)剛運(yùn)行時(shí)，位置誤差在0.12 mm，在0.2 s時(shí)誤差逐漸趨于穩(wěn)定。在4 s時(shí)，突加外部擾動(dòng)40 N，位置誤差增加到2 mm，在4.09 s時(shí)穩(wěn)定在0附近。因此,本文所提出的新型趨近律全局快速終端SMC方法，其位置跟蹤精度高，魯棒性強(qiáng)。

圖3 正弦波信號(hào)位置跟蹤曲線

圖4 正弦波下傳統(tǒng)冪次趨近律位置誤差曲線

圖5 正弦波下本文所提方法位置誤差曲線

4.2 輸入位置信號(hào)為階躍信號(hào)

位置給定信號(hào)為1.5 mm，保持其他參數(shù)不變的情況下，在3 s時(shí)給定外部擾動(dòng)，為40 N。本文提出的控制算法與傳統(tǒng)冪次趨近律控制算法位置跟蹤曲線如圖6所示。從圖6可以看出，本文提出的控制方法在0.3 s跟蹤到給定位置信號(hào)，而傳統(tǒng)冪次趨近律控制算法在0.1 s有一個(gè)跳躍在0.5 s跟蹤到給定位置信號(hào)，本文提出的控制方法時(shí)間響應(yīng)更快。

圖6 階躍信號(hào)控制系統(tǒng)位置跟蹤曲線

基于傳統(tǒng)冪次趨近律控制方法與本文提出的控制方法所設(shè)計(jì)的位置控制器，其位置誤差曲線圖如圖7和圖8所示。從圖7可知，當(dāng)系統(tǒng)突加40 N外部擾動(dòng)時(shí)，基于傳統(tǒng)冪次趨近律控制算法的位置誤差迅速增大到6 mm，在4.14 s時(shí)能跟蹤到給定位置信號(hào)。從圖8可知，本文提出的控制算法在4 s加外部擾動(dòng)時(shí)，位置誤差增大到3.8 mm，最終在4.12 s跟蹤到給定位置，且平穩(wěn)運(yùn)行。通過(guò)圖7與圖8可知，本文提出的控制算法在突加外部擾動(dòng)時(shí)位置誤差更小，跟蹤位置響應(yīng)速度更快。

圖7 階躍信號(hào)下傳統(tǒng)冪次趨近律位置誤差曲線

圖8 階躍信號(hào)下本文所提方法位置誤差曲線

4.3 輸入位置信號(hào)為梯形波信號(hào)

選取周期為2 s的梯形波參考軌跡作為位置輸入信號(hào)，如圖9所示。基于傳統(tǒng)冪次趨近律控制方法與本文所提出的方法，位置跟蹤的誤差曲線如圖10和圖11所示。從圖10可以看出，基于傳統(tǒng)冪次趨近律控制方法位置誤差在-0.08～0.11 mm。從圖11可以看出，本文提出的控制方法位置誤差在-0.03～0.08 mm。由此說(shuō)明本文提出的控制方法具有更好的魯棒性，位置誤差也較小。

圖9 輸入位置給定信號(hào)

圖10 梯形波下傳統(tǒng)冪次趨近律位置誤差曲線

圖11 梯形波下本文所提方法位置誤差曲線

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)同時(shí)具有參數(shù)變化和外部負(fù)載擾動(dòng)特性的PMLSM位置伺服控制系統(tǒng)，為了改善其位置伺服控制系統(tǒng)的性能，本文主要利用改進(jìn)的滑模趨近律設(shè)計(jì)PMLSM伺服系統(tǒng)的位置控制器。由于外部的負(fù)載和擾動(dòng)變化等不確定因素帶來(lái)的影響，設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器，對(duì)外部擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)，通過(guò)前饋補(bǔ)償減少誤差。用李雅普諾夫函數(shù)證明了控制器設(shè)計(jì)的合理性和系統(tǒng)穩(wěn)定性，并證明了其在有限時(shí)間內(nèi)收斂。通過(guò)仿真分析，與傳統(tǒng)冪次趨近律控制方法相比，本文所提新型滑模趨近律控制方法，有效地提高了系統(tǒng)的位置跟蹤精度和響應(yīng)速度，增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗擾動(dòng)性能。