讓學(xué)生的數(shù)學(xué)“抽象思維”踏上“具象化”滑輪

殷偶云

江蘇省南通市通州區(qū)金北學(xué)校初中部 226300

數(shù)學(xué)是一門充滿理性的學(xué)科.學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是一種抽象性、概括性的思維.如何讓學(xué)生的抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)直觀化、趣味化、有效化，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)注重點(diǎn).“具象化”，是一種對事物進(jìn)行可感知的、形象化的、具體性的、創(chuàng)造性的活動.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)“抽象思維”踏上“具象化”的滑輪，幫助他們搭建理解抽象的數(shù)學(xué)知識的“腳手架”，讓他們充分地動眼、動口、動手、動腦，進(jìn)行“具象化”的具身認(rèn)知.這一過程中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿趣味、非常形象，學(xué)生的思維認(rèn)知得到培養(yǎng)，教師激情助學(xué)的教學(xué)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn).

給學(xué)生“具象化”的導(dǎo)圖滑輪，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可視化

“思維導(dǎo)圖”又稱為“腦力激蕩圖”“靈感觸發(fā)圖”“心智地圖”等，是一種“形象的、高效的可視化學(xué)習(xí)工具”.［1］近年來，思維導(dǎo)圖已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于學(xué)生學(xué)習(xí)之中，它猶如一把利劍直達(dá)問題的核心，能促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，能促進(jìn)學(xué)生的思維溝通，能促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)用.思維導(dǎo)圖，讓數(shù)學(xué)認(rèn)知、數(shù)學(xué)思維等變得觸手可及、有跡可循.同時(shí)，思維導(dǎo)圖能讓學(xué)生友善用腦、健康用腦、和諧用腦.因此，思維導(dǎo)圖是一種高效的學(xué)習(xí)方式.借助思維導(dǎo)圖，學(xué)生能有效地疏導(dǎo)、整理知識，能對抽象的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行具體的分析，能將數(shù)學(xué)知識連點(diǎn)成線、連線成面、積面成體.

在建構(gòu)“具象化”的導(dǎo)圖滑輪的過程中，教師要抓住思維導(dǎo)圖的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，將一些重要的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)問題嵌入其中，讓其成為思維導(dǎo)圖的重要組成，從而誘發(fā)、引導(dǎo)、催生學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)探究.思維導(dǎo)圖，從根本上說就是將相關(guān)的數(shù)學(xué)知識勾連起來的一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，但這個(gè)網(wǎng)絡(luò)不是“呈現(xiàn)式”的，而是“暗示式”的，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向深刻、走向靈動.比如教學(xué)“平行四邊形”這一章，我們在教學(xué)中對“平行四邊形”“矩形”“菱形”“正方形”等輔以“要素”“性質(zhì)”“判定”“關(guān)系”等關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，以此建構(gòu)思維導(dǎo)圖.借助思維導(dǎo)圖，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)思考.如學(xué)生圍繞“邊”“角”“對角線”等要素展開這樣的自我追問：平行四邊形的對邊怎樣？平行四邊形的對角怎樣？平行四邊形的對角線怎樣？圍繞著“關(guān)系”，學(xué)生會展開這樣的自我追問：什么樣的四邊形是平行四邊形？什么樣的四邊形是矩形？什么樣的平行四邊形是矩形？什么樣的四邊形是菱形？什么樣的平行四邊形是菱形？什么樣的四邊形是正方形？什么樣的平行四邊形是正方形？什么樣的矩形是正方形？什么樣的菱形是正方形？等等.思維導(dǎo)圖，不僅能讓學(xué)生深刻理解平行四邊形、矩形、正方形、菱形等圖形的性質(zhì)、判定，還能讓學(xué)生把握平行四邊形與菱形、矩形和正方形之間的關(guān)系.

借助“具象化”的思維導(dǎo)圖滑輪，學(xué)生能將相關(guān)的知識整合，也能將相關(guān)的知識拆解.在整合與拆解的雙向操作中，學(xué)生能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)，構(gòu)建知識框架.思維導(dǎo)圖，往往將最核心的概念置于中心，將核心概念作為思維導(dǎo)圖的主干，將其他的相關(guān)概念等作為思維導(dǎo)圖的枝葉.借助思維導(dǎo)圖，學(xué)生能洞察知識的整體與局部之間的關(guān)系，能為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

給學(xué)生“具身化”的操作滑輪，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)外顯化

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種內(nèi)隱的思維活動，如何將學(xué)生的內(nèi)隱思維確證與表征出來？一個(gè)重要的策略，就是讓學(xué)生的思維外顯化.為教師要給學(xué)生“具身化”的操作滑輪，引導(dǎo)他們動手操作、動腦思考，將外顯的操作與內(nèi)隱的思維結(jié)合起來.可以這樣說，操作是學(xué)生思維的外援支撐，思維是學(xué)生操作的內(nèi)源驅(qū)動.通過學(xué)生的具身化操作，不僅能讓學(xué)生掌握知識，更能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)基本技能的形成，而且可以陶冶學(xué)生的情操、開發(fā)學(xué)生的潛能，拓展思維疆域，讓他們感受、體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂與成功的喜悅等.

比如初中數(shù)學(xué)有許多抽象的數(shù)學(xué)概念，僅僅依靠教師的口頭講解，學(xué)生是難以理解的，更難以應(yīng)用.為此，教師要有意識地將相關(guān)的數(shù)學(xué)概念形象化、可操作化，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)認(rèn)知的發(fā)展和提升.例如，在教學(xué)“認(rèn)識無理數(shù)”這一部分內(nèi)容時(shí)，筆者就為學(xué)生設(shè)計(jì)了如下操作：用兩張邊長為1（一般長度為1分米）的正方形紙片，將其對折，分別剪成4個(gè)等腰直角三角形.然后，將這四個(gè)等腰直角三角形拼接，使之成為一個(gè)大的正方形.這個(gè)大正方形的面積就是2（一般為2平方分米）.在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識2的算術(shù)平方根，認(rèn)識“勾股定理”等.這樣的一種操作，能讓學(xué)生理解“無理數(shù)”的內(nèi)涵.為了促進(jìn)學(xué)生將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來，筆者畫出一條數(shù)軸，讓學(xué)生以原點(diǎn)為起點(diǎn)，以拼成的大正方形的對角線的長度為半徑畫弧，也就是引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)軸上畫出對角線的長度，從而讓學(xué)生認(rèn)識到，盡管無理數(shù)是無線不循環(huán)小數(shù)，但其在數(shù)軸上也是可以用點(diǎn)來表示的.通過這樣的操作，促進(jìn)學(xué)生理解“數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)的關(guān)系”.由此，通過具身性的操作，學(xué)生理解了無理數(shù)，進(jìn)一步理解了實(shí)數(shù).同時(shí)，借助具身性操作，也能激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積極性，發(fā)掘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)創(chuàng)造性.

在具身性操作中，教師不僅要盤活學(xué)生的思維，更要催生學(xué)生的想象.通過思維、想象與操作的融合，讓學(xué)生更充分地將知識、實(shí)踐、興趣與學(xué)習(xí)融為一體.具身性的操作，不僅讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、關(guān)系等有了深刻的理解，而且進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生的動手操作能力、合作探究能力，豐富了他們的數(shù)學(xué)精神，潤澤了他們的數(shù)學(xué)生命.

給學(xué)生“游戲化”的活動滑輪，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)趣味化

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一種超功利的“玩中學(xué)”.給學(xué)生“游戲化”的活動滑輪，能讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)趣味化.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要激發(fā)學(xué)生的思維，引導(dǎo)他們習(xí)得知識、掌握方法、提高技能，從而縮小學(xué)生與數(shù)學(xué)、學(xué)生與教材之間的心理距離，激發(fā)求知欲望，讓數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)不再枯燥，讓初中數(shù)學(xué)課堂不再煩悶、沉悶等.游戲性，是存在于學(xué)生中間的學(xué)習(xí)或生活屬性.只有在游戲之中，學(xué)生才能感受、體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)科知識的無界性.

比如在教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”時(shí)，筆者依托學(xué)生所學(xué)的“三角形的內(nèi)角和”等相關(guān)知識，讓他們逐步思考、探究“四邊形”“五邊形”“六邊形”“n邊形”的內(nèi)角和.在這個(gè)過程中，筆者讓學(xué)生以游戲的方式展開，從而使得數(shù)學(xué)探究充滿一種趣味性.活動一開始，筆者讓學(xué)生用剪刀剪下了任意的一個(gè)四邊形、五邊形、六邊形等.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生用自己的方法展開探究.如此，有學(xué)生用量角器量；有學(xué)生將角撕下來拼；還有學(xué)生從多邊形的內(nèi)部、邊上或頂點(diǎn)上出發(fā)將多邊形分成若干個(gè)三角形，利用三角形的內(nèi)角和來求出多邊形的內(nèi)角和，等等.其中，采用測量和拼角的方法的學(xué)生，發(fā)現(xiàn)了這兩種方法對于五邊形、六邊形乃至于更多邊的多邊形不適用，因而紛紛轉(zhuǎn)向“將多邊形轉(zhuǎn)化成三角形”的方法.在探究的過程中，學(xué)生積極猜想、驗(yàn)證，充分探究多邊形的邊數(shù)與分割成的三角形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，等等.通過多向的游戲化活動，學(xué)生自主建構(gòu)了“多邊形的內(nèi)角和”.我們知道，游戲是一種自成目的、自我生成的活動，在活動中學(xué)生會積極主動質(zhì)疑、反思：多邊形的外角和等于多少度呢？多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)也存在著不變的關(guān)系嗎？通過積極主動質(zhì)疑，拓展數(shù)學(xué)活動的深度、廣度，讓數(shù)學(xué)活動更具有思維的含量、探究的質(zhì)量，進(jìn)而延伸學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

由于初中生的思維還處于具體形象向抽象邏輯過渡，很多方面還很不成熟，故他們對某些數(shù)學(xué)概念的理解比較膚淺.太抽象化的數(shù)學(xué)知識、太形式化的數(shù)學(xué)教學(xué)往往會讓學(xué)生生厭、生惡，會妨礙他們對數(shù)學(xué)知識的理解、表達(dá).而給學(xué)生游戲化的活動滑輪，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)趣味化、形象化，能降低他們建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的坡度和難度，從而大大提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效能.

給學(xué)生“合作性”的互動滑輪，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)化

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)彼此相互協(xié)作、互動合作的過程［2］.教師要給學(xué)生“合作性”的互動滑輪，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)化.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要為學(xué)生的合作互動搭建平臺，讓學(xué)生在團(tuán)隊(duì)觀察、理解、分析、研討等互動中，探索新的知識、完成活動內(nèi)容.師生、生生的合作性互動滑輪，能讓師生、生生抱團(tuán)發(fā)展、共同進(jìn)步.在這個(gè)過程中，教師要充分認(rèn)識自身的引導(dǎo)者角色，積極發(fā)揮學(xué)生主體性的作用，當(dāng)好學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的參與者、組織者、點(diǎn)撥者、協(xié)助者.

在“合作性”的互動滑輪帶動下，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)猶如“旅游”.教師要將黑板、講臺、時(shí)空等賦予學(xué)生，讓學(xué)生充當(dāng)學(xué)習(xí)的“導(dǎo)游”，最大限度地活躍思維、認(rèn)知，積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生在合作中傾聽、在合作中表達(dá)，通過傾聽與表達(dá)，讓學(xué)生積極分享.通過分享，增強(qiáng)合作意識與合作能力，不斷激發(fā)、強(qiáng)化學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)效能，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識形成真正的理解.例如教學(xué)“隨機(jī)事件與概率”這一部分內(nèi)容，為了讓學(xué)生感受、體驗(yàn)“等可能事件”的隨機(jī)性，筆者組織學(xué)生摸球.筆者對學(xué)生進(jìn)行分工，哪個(gè)學(xué)生負(fù)責(zé)搖球，哪個(gè)學(xué)生負(fù)責(zé)摸球，哪個(gè)學(xué)生負(fù)責(zé)記錄，哪個(gè)學(xué)生負(fù)責(zé)監(jiān)督，讓學(xué)生明白各自的職責(zé)，并為進(jìn)一步的合作學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).在合作學(xué)習(xí)中，筆者引導(dǎo)全體學(xué)生猜想摸球的結(jié)果，并將實(shí)際的摸球結(jié)果與他們的猜想聯(lián)系起來，從而讓學(xué)生對等可能性、事件的隨機(jī)性、事件的獨(dú)立性等知識有深刻的理解，對事件發(fā)生的頻率、事件發(fā)生的概率等知識也會形成深刻的理解.這樣的一種合作促進(jìn)了學(xué)生的互動交流，如摸球的學(xué)生會向記錄的學(xué)生詢問摸球結(jié)果；記錄的學(xué)生會向摸球的學(xué)生詢問摸球方法，等等.在這個(gè)過程中，學(xué)生還會就某些問題展開研討.在互助合作的過程中，學(xué)生提高了自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，發(fā)展了自身的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

課堂合作性的學(xué)習(xí)，能促進(jìn)師生、生生的互動、交流.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生組建“共同體”，形成一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的“團(tuán)隊(duì)”.在合作中，學(xué)生能感受、體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的快樂.在合作交流中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心；要讓學(xué)生既擁有不同的單一的學(xué)習(xí)任務(wù)，又擁有共同的整體的學(xué)習(xí)任務(wù).

具象思維是先于形象思維而存在的，同時(shí)也是學(xué)生抽象思維的基礎(chǔ)、源泉.通過制作“具象化”思維滑輪——思維導(dǎo)圖滑輪、動手操作滑輪、游戲活動滑輪、合作互動滑輪，引導(dǎo)學(xué)生在“做中思”“做中玩”“玩中思”“玩中學(xué)”.當(dāng)數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)探究踏上了“具象化”的滑輪，學(xué)生的學(xué)習(xí)就會充滿快樂，變苦學(xué)為樂學(xué)、變死學(xué)為活學(xué)、變厭學(xué)為愛學(xué).